Gamma(n) divisible par n ?
dans Arithmétique
Bonjour,
Le théorème de Wilson établit qu'un entier $ p $ est premier si et seulement s'il divise $ 1+\Gamma(p) $ .
Si $ n $ est composé, $ n $ divise-t-il nécessairement $ \Gamma(n) $?
Le théorème de Wilson établit qu'un entier $ p $ est premier si et seulement s'il divise $ 1+\Gamma(p) $ .
Si $ n $ est composé, $ n $ divise-t-il nécessairement $ \Gamma(n) $?
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Réponses
C'est (au moins) la deuxième fois aujourd'hui.
Mais gamma(p+1) est divisible par p, et toutes les valeurs suivantes également. En particulier gamma(2p).
Comme toutes les valeurs sont paires dès gamma(3), gamma(2p) est donc divisible par 2p. Cela suffira-t-il ?
Le théorème de Wilson peut donc s'énoncer avec sa réciproque.
Pour $n \in \mathbb N$, $n \geq 2$, on a : $(n-1)!\equiv -1 \pmod n$ si et seulement si $n$ est premier.
Curieux corollaire.
Pour $n \in \mathbb N$, $n \geq 2$, soit : $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{n}\overset{n}{\underset{h=1}{\sum }}\exp (2ih\pi \frac{(n-1)!+1}{n})$ (avec bien sûr $i^2=-1$). Alors, $u_{n}=1$ si $n$ est premier et $u_{n}=0$ sinon.
Bonne journée ; le ciel bleu reprendrait-il ses droits ?
Fr. Ch.
$$\pi(n) = \sum_{k=2}^n \left( \left \lfloor \frac{(k-1)!+1}{k} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{(k-1)!}{k} \right \rfloor \right)$$
où $\lfloor x \rfloor$ est la partie entière de $x \in \mathbb{R}$ (on voit bien l'influence de Wilson ici). Ces identités ont en commun le fait qu'elles soient esthétiques et...absolument inutiles sur le plan pratique.
Dirons-nous avec Cyrano :
« Non ! non, c'est bien plus beau lorsque c'est inutile !» ?
À chacun d'en juger...
Fr. Ch.