$ \varphi(a^n-1) $ est divisible par $ n $

Autre méthode (bien que pas très éloignée) : On a évidemment $a^n \equiv 1 \pmod{a^n-1}$. Si l'ordre de $a$ modulo $a^n-1$ était $< n$, il existerait $m < n$ entier tel que $a^m \equiv 1 \pmod{a^n-1}$, donc $a^n-1$ diviserait $a^m-1$ et donc $n \leqslant m$, d'où contradiction. Ainsi, l'ordre de $a$ modulo $a^n-1$ est $n$, d'où $n \mid \varphi \left( a^n-1 \right)$ d'après le théorème d'Euler-Fermat.

Ceci se généralise à l'assertion suivante : si $a > b \geqslant 1$ sont entiers et $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$, alors $n \mid \varphi \left( a^n-b^n \right)$.

Rappelons aussi que, si $m \mid n$, alors $\varphi(m) \mid \varphi(n)$.