Chebotarev et Bateman-Horn

Sylvain · July 2017

Bonjour,

En lisant les articles de Wikipédia consacrés au théorème de Chebotarev et à la conjecture de Bateman-horn, il m'a semblé qu'il existait une certaine analogie entre les deux. Y a-t-il donc un cadre général dont ce théorème et cette conjecture seraient des cas particuliers ?

Merci d'avance.

Poirot · July 2017

J'imagine que tu parles du théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques quand tu dis "théorème de Chebotarev". Ceci n'est qu'un cas très particulier de ce théorème.

Concernant Bateman-Horn c'est une conjecture très générale pour laquelle le TNPPA est essentiellement le seul cas démontré à ce jour.

Sylvain · July 2017

Non non je parle bien du théorème de Chebotarev en toute généralité (même si je ne comprends pas bien tous les concepts impliqués) : la restriction "pas de diviseur premier fixé" est-elle en lien avec l'hypothèse de non ramification dans ce théorème ?

Sylvain · July 2017

Je pense notamment à une "arborescence" d'extensions d'un certain corps de nombres, de manière à considérer toutes les extensions "convenables" simultanément (et pas "juste" des tours d'extensions une par une).

flipflop · July 2017

Il est complexe a démontrer le théorème de Chebotarev ? C'est quoi les petits ingrédients ?

Poirot · July 2017

@flipflop : on fait essentiellement le boulot de De La Vallée-Poussin mais sur des fonctions $L$ d'Artin, ce qui n'est pas évident étant donné qu'en toute généralité on ne sait pas où sont leurs pôles (conjecture d'Artin pour ça par exemple). On a alors recours à une astuce où on se ramène au cas abélien, où ces fonctions sont alors des fonctions $L$ de Hecke (grâce à la loi de réciprocité d'Artin en théorie du corps de classes) pour lesquelles on connaît bien les pôles.

Poirot · July 2017

@Sylvain : la restriction "pas de diviseurs premiers fixés" est juste là car l'existence d'un diviseur premier fixé est une obstruction évidente à la véracité de la conjecture. Pour le reste de tes messages, c'est du charabia.

Sylvain · July 2017

Je veux dire : au lieu de considérer uniquement une extension $ L/K $, peut-on construire un arbre (graphe dirigé sans circuit) dont les sommets sont des corps tels qu'en passant du sommet $ A $ au sommet $ B $ par une arête on a une extension $ B/A $ sans sous-extension non triviale et appliquer le théorème de Chebotarev dans toutes ces extensions pour démontrer de nouveaux cas de la conjecture de Bateman-Horn ?

Poirot · July 2017

Mais quel rapport vois-tu entre Chebotarev et la conjecture en question ? Pourquoi chercher à appliquer Chebotarev de cette manière ?

flipflop · July 2017

Merci Poirot : donc c'est chaud

Je me perds rapidement avec la fonction zeta de Dedekind et les fonctions $L$ de Artin (pas trop compris) et de Hecke. Peut être un jour, je vais comprendre

Poirot · July 2017

La fonction $\zeta$ de Dedekind fait juste intervenir les normes d'idéaux du corps de nombres. Les fonctions $L$ de Hecke sont des généralisations des séries $L$ de Dirichlet, associées à des Grössencharakter, qui sont essentiellement des caractères du groupe des idèles du corps de nombres. Enfin les fonctions $L$ d'Artin sont associées à des représentations de groupes de Galois d'extensions galoisiennes de corps de nombres.

Bien sûr tous ces objets sont très liés, chacun vérifiant tout un tas de belles propriétés comparables à celle de $\zeta$ (prolongement analytique, équation fonctionnelle, etc.)

flipflop · July 2017

Ouhais bon Poirot, c'est bien costaud ce que tu racontes !!

En fait un caractère de Dirichlet c'est un caractère de $\left( \Z / m Z \right) ^\star$, que l'on voit comme le groupe de classe d'idéaux de rayon $\text{C}\ell_\mathfrak{m}$ avec $\mathfrak{m} = m \times \infty$. Ensuite le bord$\ell$ avec les idèles c'est que tu peux voir les groupes de classes de rayon comme quotient de ton groupe d'idèle et ça permet de voir un caractère de Dirichlet comme un caractère sur les idèles.

Et il faut faire un peu d'analyse complexe avec ces histoires, mon dieu bon courage ::o

reuns · July 2017

Bonjour, le théorème de densité de Cebotarev est démontré entièrement p.231-300 dans le bouquin de Neukrich. Je ne pense pas qu'il y ait des tonnes d'autres démonstrations (il faut montrer le PNT pour $\zeta(s)$ et en progression arithmétique, puis l'adapter, après avoir montré l'équation fonctionnelle et le prolongement analytique des fonctions L et theta de Dedekind, Hecke, Artin).

Il ne mentionne pas l'aspect modularité/automorphie : que la fonction theta soit un produit de formes modulaires/automorphes, qui a priori découle plus ou moins directement du fait que la série de Dirichlet soit entière et ait une équation fonctionnelle pour tout un tas de "twists" (conjectures et modularité de Serre, Artin, Langlands).

Mon impression c'est que c'est la lourdeur de la démonstration de ce théorème de Cebotarev (concernant donc tout un zoo de fonctions L et theta) qui a justifié la théorie adélique des formes automorphes et le programme de Langland.

flipflop · July 2017

Tu la dis le zoo, j'ai l'impression que chaque grands mathématiciens a inventé sa petit fonction zeta ou $L$ :-D

Merci pour le lien, y'a aussi une preuve (je ne sais pas si c'est vraiment complet) dans le pdf de Milne sur le corps de classe chapitre 6 et 8 !

J'ai essayé de fabriquer un caractère de Hecke (en fait je pensais qu'il y avait un lien avec les caractère de Hecke mais je me suis surement trompé (td))

Sur les idéaux premier $\mathfrak{p}$ de $\Z[ j]$ qui sont premiers à $3$, on prend $\chi(\mathfrak{p})=$ " l'unique générateur de $\mathfrak{p}$ congru à $1$ modulo $3$ dans $\Z[j]$ .. Beh, j'ai rien su faire de propre avec ça !

Poirot · July 2017

Ce n'est que mon avis personnel mais Neukirch est un peu illisible...

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