Je me permets de renommer le fil puisqu'il est bien évident qu'il ne s'agit pas ici de nombres premiers de Fibonacci mais de diviseurs premiers de ces nombres.
Je vais donner une démonstration de la propriété et question, un peu plus longue, mais qui n'utilise pas d'extension de corps fini.
$ \bullet$
Lemme 1. Théorème d'Euler. Si $p$ est premier impair, alors le caractère quadratique d'un entier $a$ est donné par : $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (\frac{a}{p}) \pmod p$
$ \bullet$
Lemme 2. Divisibilité des coefficients binomiaux.
Il est bien connu que si $p$ est premier alors $p\mid (_{k}^{p})$ pour $1\leq k\leq p-1$.
La relation de récurrence de Pascal permet d'en déduire que :
$(_{~~k}^{p+1})\equiv 0 \pmod p$ pour $2\leq k\leq p-1$ ;
$(_{~~k}^{p-1})\equiv (-1)^{k} \pmod p$ pour $1\leq k\leq p-1$.
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$ \bullet$ Formule de Binet (Jacques) pour les nombres de Fibonacci : $F_{n}=\frac{\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }$, avec : $\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Il en résulte : $\displaystyle F_{2n}=\frac{1}{2^{2n-1}}\underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}(_{2j+1}^{~~2n})5^{j}$.
Soit un nombre premier $p \geq 7$, $p=2q+1$.
$ \bullet$ Alors d'abord : $\displaystyle 2^{p}F_{p-1}=2^{2q+1}F_{2q}=4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}(_{2j+1}^{~~2q})5^{j}=4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}(_{2j+1}^{p-1})5^{j}\equiv -4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}5^{j} \pmod p$, et de plus :
$\displaystyle -4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}5^{j}=-(5^{q}-1)=-5^{\frac{p-1}{2}}+1
\equiv -(\frac{5}{p})+1 \pmod p$.
Conclusion : si $(\frac{5}{p})=1$ alors $p\mid F_{p-1}$.
$ \bullet$ Et ensuite : $\displaystyle 2^{p}F_{p+1}=2^{2q+1}F_{2q+2}
=\underset{j=0}{\overset{q}{\sum }}(_{2j+1}^{2q+2})5^{j}
=\underset{j=0}{\overset{q}{\sum }}(_{2j+1}^{p+1})5^{j}
\equiv (_{~~~~1}^{p+1})5^{0}+(_{~~p}^{p+1})5^{q} \pmod p$, et de plus :
$(_{~~~~1}^{p+1})5^{0}+(_{~~p}^{p+1})5^{q}=p+1+(p+1)5^{\frac{p-1}{2}}\equiv 5^{\frac{p-1}{2}}+1\equiv (\frac{5}{p})+1 \pmod p$.
Conclusion : si $(\frac{5}{p})=-1$ alors $p\mid F_{p+1}$.
On termine comme il a été dit avec la LRQ. Voir par exemple : [
mon-partage.fr]
Voilà c'est un peu long mais ça ne sort pas de $\mathbb Z$.
Bonne journée en attendant l'été.
29/07/2017
