Nombre premier de Fibonacci
dans Arithmétique
Bonjour,
Si $ p\neq 5 $ est un nombre premier tel que le nombre de Fibonacci $ F_{p} $ est premier, a-t-on $ F_{p}\equiv\pm 1\pmod p $?
Merci d'avance.
Si $ p\neq 5 $ est un nombre premier tel que le nombre de Fibonacci $ F_{p} $ est premier, a-t-on $ F_{p}\equiv\pm 1\pmod p $?
Merci d'avance.
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Réponses
si $p$ est un nombre premier différent de $5$ alors $F_p^2-1\equiv 0\pmod{p}$ (voir ici, p. 223) donc, comme $1$ n'a que $1$ et $-1$ comme racines carrées modulo $p$, $F_p\equiv \pm 1 \pmod{p}$.
LP
le $\pm$ dépend du fait que $5$ est un carré ou pas modulo $p$
$$ F_p = \frac{1}{\sqrt{5}}\left( (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^p- (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^p\right) \equiv
\frac{1}{2\sqrt{5}}\left( (1+\sqrt{5})^p- (1-\sqrt{5})^p\right)\equiv \frac{(1^p+\sqrt{5}^p ) -(1^p+(-\sqrt{5})^p)}{2\sqrt{5}}
\equiv 5^{(p-1)/2} \equiv \left(\frac{5}{p}\right)\bmod p$$
Note que $\mathbb{Z}_p[\sqrt{5}] = \mathbf{F}_{p^2}$ ssi $\left(\frac{5}{p}\right) = -1$.
La même idée conduit au test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne.
Un nombre premier $p \neq 5 $ divise $ F_{p-1}$ si $p=5k\pm 1$ et il divise $ F_{p+1}$ si $p=5k\pm 2$.
Il n'est pas nécessaire que $ F_{p}$ soit lui-même premier.
Notons que si $ F_{p}$ est premier, alors $p$ est premier, réciproque fausse, premier contre-exemple $ F_{19} = 4181 = 37 × 113 $. Ceci n'empêche pas $19$ de diviser $ F_{18} =2584$.
Peut-être Noix de Toto pourrait-il nous faire part des dernières nouvelles du front, concernant les nombres premiers de Fibonacci, à propos desquels il y a encore pas mal de choses inconnues, ce me semble ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Moi depuis mon jeune âge j'ai vu tomber : le théorème des quatre couleurs, le Grand Théorème de Fermat, la conjecture de Catalan, l'infinitude des nombres de Carmichael, quelques avancées sur le problème de Waring et peut-être d'autres dont je ne me suis pas aperçu.
Celle que j'aimerais voir résolue c'est Goldbach. Avec Chen Jingrun en 1973, nous pensions que ça y était, eh bien non.
Bon, les démonstrations sont hors de ma portée, mais ça fait plaisir de savoir que c'est résolu.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Je vais donner une démonstration de la propriété et question, un peu plus longue, mais qui n'utilise pas d'extension de corps fini.
$ \bullet$ Lemme 1. Théorème d'Euler. Si $p$ est premier impair, alors le caractère quadratique d'un entier $a$ est donné par : $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (\frac{a}{p}) \pmod p$
$ \bullet$ Lemme 2. Divisibilité des coefficients binomiaux.
Il est bien connu que si $p$ est premier alors $p\mid (_{k}^{p})$ pour $1\leq k\leq p-1$.
La relation de récurrence de Pascal permet d'en déduire que :
$(_{~~k}^{p+1})\equiv 0 \pmod p$ pour $2\leq k\leq p-1$ ;
$(_{~~k}^{p-1})\equiv (-1)^{k} \pmod p$ pour $1\leq k\leq p-1$.
$ \bullet$ Formule de Binet (Jacques) pour les nombres de Fibonacci : $F_{n}=\frac{\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }$, avec : $\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Il en résulte : $\displaystyle F_{2n}=\frac{1}{2^{2n-1}}\underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}(_{2j+1}^{~~2n})5^{j}$.
Soit un nombre premier $p \geq 7$, $p=2q+1$.
$ \bullet$ Alors d'abord : $\displaystyle 2^{p}F_{p-1}=2^{2q+1}F_{2q}=4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}(_{2j+1}^{~~2q})5^{j}=4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}(_{2j+1}^{p-1})5^{j}\equiv -4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}5^{j} \pmod p$, et de plus :
$\displaystyle -4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}5^{j}=-(5^{q}-1)=-5^{\frac{p-1}{2}}+1
\equiv -(\frac{5}{p})+1 \pmod p$.
Conclusion : si $(\frac{5}{p})=1$ alors $p\mid F_{p-1}$.
$ \bullet$ Et ensuite : $\displaystyle 2^{p}F_{p+1}=2^{2q+1}F_{2q+2}
=\underset{j=0}{\overset{q}{\sum }}(_{2j+1}^{2q+2})5^{j}
=\underset{j=0}{\overset{q}{\sum }}(_{2j+1}^{p+1})5^{j}
\equiv (_{~~~~1}^{p+1})5^{0}+(_{~~p}^{p+1})5^{q} \pmod p$, et de plus :
$(_{~~~~1}^{p+1})5^{0}+(_{~~p}^{p+1})5^{q}=p+1+(p+1)5^{\frac{p-1}{2}}\equiv 5^{\frac{p-1}{2}}+1\equiv (\frac{5}{p})+1 \pmod p$.
Conclusion : si $(\frac{5}{p})=-1$ alors $p\mid F_{p+1}$.
On termine comme il a été dit avec la LRQ. Voir par exemple : https://mon-partage.fr/f/038XWJtf/
Voilà c'est un peu long mais ça ne sort pas de $\mathbb Z$.
Bonne journée en attendant l'été.
29/07/2017
Voilà quelques exemples :
- Le logarithme pour transformer le produit en une somme
- Les fonctions Zêta qui " interprètent des problèmes d'origine arithmétique ou géométrique " Driss Essouabri https://goo.gl/R8esqD
et
" Depuis fort longtemps, on sait que la fonction de Riemann (et son ancêtre la fonction d’Euler) constitue un pont entre l’analyse et l’arithmétique, c'est-à-dire entre le continu et le discret. Grâce au théorème fondamental de l’arithmétique, on peut démontrer assez facilement l’identité d’Euler permettant de transformer la somme de Riemann en un produit infini étendu aux seuls nombres premiers ... La fonction Zêta de Riemann fournit un modèle de relations entre le discret et le continu. N’en va-t-il pas de même de la mécanique quantique ? La répartition des nombres premiers ne serait-elle dès lors que l’une des manifestations d’une loi plus générale gouvernant notre univers ? " Jean-Pierre Hauet https://goo.gl/wS5HqC
- L’incroyable formule de Ramanujan qui associe l’exponentielle et pi https://goo.gl/wXqdfN
- Sur l’éventuel adn des nombres entiers :
1) le crible que j’ai posé plus haut sur Goldbach : droites dimension 1 ? - Somme de 2 nombres premiers aux extrémités ; au centre les pairs et par déduction les impairs ; sur ce schéma, du bruit de l'interaction des premiers émerge de l'ordre.
2) le crible de Yuri Matiiassevitch : conique dimension 2 - Produit de 2 nombres entiers aux extrémités ; au centre les composés et par, déduction, les premiers ; sur ce schéma, du bruit de l'interaction des entiers émerge du désordre.
https://goo.gl/Mc9YHP ( si le lien plante, aller sur https://goo.gl/7r5hrD ) et https://www.geogebra.org/m/Ye8Vr7j2
* Si on juxtapose les deux, on a bien distinctement les premiers et les composés au centre https://goo.gl/1snQwd
Soit $ p >5 $ un nombre premier et $ F_{p} $ le nombre de Fibonacci d'indice $ p $. Au couple $ (n,p) $ avec $ 0<p<\dfrac{\log F_{p}}{\log p} $ on associe le couple d'entiers relatifs $ \Gamma_{n}(F_{p})=(a_{n,p},b_{n,p}) $ tel que $ F_{p}=a_{n,p}p^{n}+b_{n,p} $ avec $ a_{n,p}>0 $ et $ \vert b_{n,p}\vert=\min(F_{p}\mod p^{n},p^{n}-(F_{p}\mod p^{n}) $ .
Je conjecture que $ F_{p} $ est premier si et seulement si il existe $ m $ tel que $ pr_{i}(\Gamma_{m}(F_{p}) $ est la somme de deux nombres premiers de Fibonacci, où $ pr_{i}(\Gamma_{m}(F_{p}) $ est le $ i $-eme élément de $ \Gamma_{m}(F_{p}) $ , avec $ i\equiv m\pmod 2 $ .
Quelqu'un peut confirmer ?
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
Blague idiote : M. et Mme Étiré-Folboir ont un fils, et ils lui donnent comme prénom...
Bonne journée.
Fr. Ch.
Si $F_{i}$ est le nombre de Fibonacci de rang $i$, alors les suites:
$A_{n} = 2F_{3+8n} + 1 $, $B_{n} = 2F_{5+8n} + 1 $, $C_{n} = 2F_{4+24n} + 1 $, $D_{n} = 2F_{20+24n} + 1 $ et $E_{n} = 2F_{7+8n} + 3 $ ;
sont des suites de nombres premiers.
Merci.
le nombre $G_{n} = 2F_{12+24n} + 1 $ n'est pas premier pour $n$ entier.
Merci.
Merci d'avoir pris de votre temps... On me l'avait dit. Je dois pouvoir faire ces bouts de programmes.
Excuse-moi @Sylvain d’être un peu sorti du sujet....!