Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
156 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Nombre premier de Fibonacci

Envoyé par Sylvain 
Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
avatar
Bonjour,

Si $ p\neq 5 $ est un nombre premier tel que le nombre de Fibonacci $ F_{p} $ est premier, a-t-on $ F_{p}\equiv\pm 1\pmod p $?

Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par michael.
LP
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
Bonjour,
si $p$ est un nombre premier différent de $5$ alors $F_p^2-1\equiv 0\pmod{p}$ (voir ici, p. 223) donc, comme $1$ n'a que $1$ et $-1$ comme racines carrées modulo $p$, $F_p\equiv \pm 1 \pmod{p}$.
LP



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par LP.
AP
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
Bonjour
le $\pm$ dépend du fait que $5$ est un carré ou pas modulo $p$
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
Bonjour, c'est un exercice intéressant. On peut faire de l'arithmétique dans l'anneau $\mathbb{Z}_p[\sqrt{5}] = \{ a+ \sqrt{5} b \bmod p\}$.

$$ F_p = \frac{1}{\sqrt{5}}\left( (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^p- (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^p\right) \equiv
\frac{1}{2\sqrt{5}}\left( (1+\sqrt{5})^p- (1-\sqrt{5})^p\right)\equiv \frac{(1^p+\sqrt{5}^p ) -(1^p+(-\sqrt{5})^p)}{2\sqrt{5}}
\equiv 5^{(p-1)/2} \equiv \left(\frac{5}{p}\right)\bmod p$$
Note que $\mathbb{Z}_p[\sqrt{5}] = \mathbf{F}_{p^2}$ ssi $\left(\frac{5}{p}\right) = -1$.

La même idée conduit au test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par reuns.
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
Notez que $\left(\frac{5}{p}\right)=\left(\frac{p}5\right)$ par réciprocité quadratique, qui ne dépend donc que de $p$ modulo $5$.
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
En effet c'est une très belle propriété de la suite de Fibonacci.
Un nombre premier $p \neq 5 $ divise $ F_{p-1}$ si $p=5k\pm 1$ et il divise $ F_{p+1}$ si $p=5k\pm 2$.
Il n'est pas nécessaire que $ F_{p}$ soit lui-même premier.
Notons que si $ F_{p}$ est premier, alors $p$ est premier, réciproque fausse, premier contre-exemple $ F_{19} = 4181 = 37 × 113 $. Ceci n'empêche pas $19$ de diviser $ F_{18} =2584$.
Peut-être Noix de Toto pourrait-il nous faire part des dernières nouvelles du front, concernant les nombres premiers de Fibonacci, à propos desquels il y a encore pas mal de choses inconnues, ce me semble ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
Et n'oublions pas la sœur de la suite de Fibonacci, qui est la suite de Lucas, de notre cher Édouard Lucas : $L_0=2,L_1=1,L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}$. Si $p $ est premier alors $p$ divise $L_{p}-1$. Réciproque fausse.
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
avatar
On ne sait pas justement si le nombre de nombres premiers de Fibonacci est fini ou non. J'espère que la question n'en sera plus une de mon vivant.
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
Ça dépend de ton âge.
Moi depuis mon jeune âge j'ai vu tomber : le théorème des quatre couleurs, le Grand Théorème de Fermat, la conjecture de Catalan, l'infinitude des nombres de Carmichael, quelques avancées sur le problème de Waring et peut-être d'autres dont je ne me suis pas aperçu.
Celle que j'aimerais voir résolue c'est Goldbach. Avec Chen Jingrun en 1973, nous pensions que ça y était, eh bien non.
Bon, les démonstrations sont hors de ma portée, mais ça fait plaisir de savoir que c'est résolu.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
avatar
J'aurai 36 ans le 3 novembre. Si Goldbach te tient à coeur, tu peux toujours tenter de rendre mon approche de la question rigoureuse, pour ma part je ne m'en sens pas le courage.
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
Non, merci. Je ne me suis jamais attaqué à un problème ouvert qui a résisté à des esprits bien plus forts que le mien. Chacun sa place. Je n'avais pas noté que tu envisageais de démontrer cette conjecture, mais je ne comprends pas bien que si c'est ton ambition, tu ne cherches pas toi-même à finaliser ta démonstration.
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a quatre mois
Si d'aventure, ontologiquement, les nombres pairs sont définis par la somme de 2 nombres premiers, on ne risque pas de démontrer un jour Goldbach..



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par abstract.


Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a quatre mois
Je me permets de renommer le fil puisqu'il est bien évident qu'il ne s'agit pas ici de nombres premiers de Fibonacci mais de diviseurs premiers de ces nombres.
Je vais donner une démonstration de la propriété et question, un peu plus longue, mais qui n'utilise pas d'extension de corps fini.
$ \bullet$ Lemme 1. Théorème d'Euler. Si $p$ est premier impair, alors le caractère quadratique d'un entier $a$ est donné par : $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (\frac{a}{p}) \pmod p$
$ \bullet$ Lemme 2. Divisibilité des coefficients binomiaux.
Il est bien connu que si $p$ est premier alors $p\mid (_{k}^{p})$ pour $1\leq k\leq p-1$.
La relation de récurrence de Pascal permet d'en déduire que :
$(_{~~k}^{p+1})\equiv 0 \pmod p$ pour $2\leq k\leq p-1$ ;
$(_{~~k}^{p-1})\equiv (-1)^{k} \pmod p$ pour $1\leq k\leq p-1$.
--------------------------------------------------------------------------------
$ \bullet$ Formule de Binet (Jacques) pour les nombres de Fibonacci : $F_{n}=\frac{\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }$, avec : $\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Il en résulte : $\displaystyle F_{2n}=\frac{1}{2^{2n-1}}\underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}(_{2j+1}^{~~2n})5^{j}$.
Soit un nombre premier $p \geq 7$, $p=2q+1$.
$ \bullet$ Alors d'abord : $\displaystyle 2^{p}F_{p-1}=2^{2q+1}F_{2q}=4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}(_{2j+1}^{~~2q})5^{j}=4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}(_{2j+1}^{p-1})5^{j}\equiv -4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}5^{j} \pmod p$, et de plus :
$\displaystyle -4\underset{j=0}{\overset{q-1}{\sum }}5^{j}=-(5^{q}-1)=-5^{\frac{p-1}{2}}+1
\equiv -(\frac{5}{p})+1 \pmod p$.
Conclusion : si $(\frac{5}{p})=1$ alors $p\mid F_{p-1}$.

$ \bullet$ Et ensuite : $\displaystyle 2^{p}F_{p+1}=2^{2q+1}F_{2q+2}
=\underset{j=0}{\overset{q}{\sum }}(_{2j+1}^{2q+2})5^{j}
=\underset{j=0}{\overset{q}{\sum }}(_{2j+1}^{p+1})5^{j}
\equiv (_{~~~~1}^{p+1})5^{0}+(_{~~p}^{p+1})5^{q} \pmod p$, et de plus :
$(_{~~~~1}^{p+1})5^{0}+(_{~~p}^{p+1})5^{q}=p+1+(p+1)5^{\frac{p-1}{2}}\equiv 5^{\frac{p-1}{2}}+1\equiv (\frac{5}{p})+1 \pmod p$.
Conclusion : si $(\frac{5}{p})=-1$ alors $p\mid F_{p+1}$.

On termine comme il a été dit avec la LRQ. Voir par exemple : [mon-partage.fr]
Voilà c'est un peu long mais ça ne sort pas de $\mathbb Z$.
Bonne journée en attendant l'été.
29/07/2017
Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a quatre mois
avatar
Ce qui m'importe c'est qu'elle soit démontrée, après que le point final soit écrit par moi ou quelqu'un d'autre, quelle importance ?
Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a quatre mois
Allons Sylvain, tu es un homme, fait pour marquer le monde de la trace de ton passage.
Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a quatre mois
Un aparté encore sur Goldbach et sa démonstration. Savez-vous si une branche des mathématiques étudie l’éventuelle cause de cette foultitude de cas qui semblent jumelés par exemple par l’addition et la multiplication, comme l’émergence d’un paradigme situé en amont ?
Voilà quelques exemples :
- Le logarithme pour transformer le produit en une somme
- Les fonctions Zêta qui " interprètent des problèmes d'origine arithmétique ou géométrique " Driss Essouabri [goo.gl]
et
" Depuis fort longtemps, on sait que la fonction de Riemann (et son ancêtre la fonction d’Euler) constitue un pont entre l’analyse et l’arithmétique, c'est-à-dire entre le continu et le discret. Grâce au théorème fondamental de l’arithmétique, on peut démontrer assez facilement l’identité d’Euler permettant de transformer la somme de Riemann en un produit infini étendu aux seuls nombres premiers ... La fonction Zêta de Riemann fournit un modèle de relations entre le discret et le continu. N’en va-t-il pas de même de la mécanique quantique ? La répartition des nombres premiers ne serait-elle dès lors que l’une des manifestations d’une loi plus générale gouvernant notre univers ? " Jean-Pierre Hauet [goo.gl]
- L’incroyable formule de Ramanujan qui associe l’exponentielle et pi [goo.gl]
- Sur l’éventuel adn des nombres entiers :
1) le crible que j’ai posé plus haut sur Goldbach : droites dimension 1 ? - Somme de 2 nombres premiers aux extrémités ; au centre les pairs et par déduction les impairs ; sur ce schéma, du bruit de l'interaction des premiers émerge de l'ordre.
2) le crible de Yuri Matiiassevitch : conique dimension 2 - Produit de 2 nombres entiers aux extrémités ; au centre les composés et par, déduction, les premiers ; sur ce schéma, du bruit de l'interaction des entiers émerge du désordre.
[goo.gl] ( si le lien plante, aller sur [goo.gl] ) et [www.geogebra.org]
* Si on juxtapose les deux, on a bien distinctement les premiers et les composés au centre [goo.gl]



Edité 11 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par abstract.
Conjecture sur premiers de Fibonacci
il y a quatre mois
avatar
Bonjour,

Soit $ p >5 $ un nombre premier et $ F_{p} $ le nombre de Fibonacci d'indice $ p $. Au couple $ (n,p) $ avec $ 0<p<\dfrac{\log F_{p}}{\log p} $ on associe le couple d'entiers relatifs $ \Gamma_{n}(F_{p})=(a_{n,p},b_{n,p}) $ tel que $ F_{p}=a_{n,p}p^{n}+b_{n,p} $ avec $ a_{n,p}>0 $ et $ \vert b_{n,p}\vert=\min(F_{p}\mod p^{n},p^{n}-(F_{p}\mod p^{n}) $ .
Je conjecture que $ F_{p} $ est premier si et seulement si il existe $ m $ tel que $ pr_{i}(\Gamma_{m}(F_{p}) $ est la somme de deux nombres premiers de Fibonacci, où $ pr_{i}(\Gamma_{m}(F_{p}) $ est le $ i $-eme élément de $ \Gamma_{m}(F_{p}) $ , avec $ i\equiv m\pmod 2 $ .
Quelqu'un peut confirmer ?

[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a six semaines
Bon anniversaire Sylvain. Le nombre 36 est le premier entier positif non trivial qui soit à la fois carré et triangulaire. Mais tu ne vivras pas assez pour atteindre le suivant.
Blague idiote : M. et Mme Étiré-Folboir ont un fils, et ils lui donnent comme prénom...
Bonne journée.
Fr. Ch.
Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a six semaines
Sylvain. grinning smiley
Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a cinq semaines
avatar
Salut !

Si $F_{i}$ est le nombre de Fibonacci de rang $i$, alors les suites:

$A_{n} = 2F_{3+8n} + 1 $, $B_{n} = 2F_{5+8n} + 1 $, $C_{n} = 2F_{4+24n} + 1 $, $D_{n} = 2F_{20+24n} + 1 $ et $E_{n} = 2F_{7+8n} + 3 $ ;

sont des suites de nombres premiers.

Merci.
Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a cinq semaines
avatar
De plus :

le nombre $G_{n} = 2F_{12+24n} + 1 $ n'est pas premier pour $n$ entier.

Merci.
Re: Nombre premier de Fibonacci
il y a cinq semaines
D'où proviennent ces affirmations ?
Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a cinq semaines
C'est plus souvent faux que vrai :


Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a cinq semaines
Soyons positifs : pour $B_n = 2F_{5+8n} + 1$, on trouve 3 entiers $1 \le n \le 50$ pour lesquels $B_n$ est premier.

> B := func < n | 2*Fibonacci(5+8*n) + 1 > ;
> [n : n in [1..50] | IsPrime(B(n))] ;      
[ 1, 2, 36 ]
Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a cinq semaines
Pour les $C_n$, ça se gâte nettement:


Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a cinq semaines
avatar
Merci à Chaurien dont je découvre à l'instant l'amical message...vendredi j'étais à Florence et à part écouter le dernier opus de MC Solaar je n'ai pas fait grand chose, en tout cas pas des maths. Chacun sa façon de fêter le bunka no hi (jour de la culture au Japon, ayant fait suite à la commémoration de l'anniversaire de l'empereur Meiji - et non de celui d'André Malraux né le 3 novembre 1901) !
Re: Diviseurs premiers des nombres de Fibonacci
il y a cinq semaines
avatar
Salut.

Merci d'avoir pris de votre temps... On me l'avait dit. Je dois pouvoir faire ces bouts de programmes.

Excuse-moi @Sylvain d’être un peu sorti du sujet....!
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 124 488, Messages: 1 188 917, Utilisateurs: 19 615.
Notre dernier utilisateur inscrit Gauss716.


Ce forum
Discussions: 4 394, Messages: 52 542.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page