Trouver tous les nombres ayant 8 diviseurs

messy · July 2017

Bonjour
j'ai ii un exercice que j'ai deja exposé a d'autre personne dans un autre forum
mais je ne suis pas sur de la solution car on a pas trouvé "toute la solution"
mais je ne suis sur de rien
donc je demande ici a des personne dessayer de le résoudre
l'énoncé :
trouver tous les nombres naturels n dont le nombre de ces diviseurs positifs est 8
et sont 1=d₁<d₂<d₃<d₄<d₅<d₆<d₇<d₈=n
tel que 2d₂d₅=d₃d₄+3
voila bein pour tout dire
on a pas reussit a determiner "tous" les n mais les critères de n
maintenant je veux voir si on peut les détérminer tous
Merci

Merci d'utiliser des signes de ponctuation, et des majuscules en début de phrase. --JLT

depasse · July 2017

Bonsoir,

A vérifier:
les solutions sont $27\times41$ et tous les $3\times (2u+7)\times (2u^2+14u+25)$ tels que $2u+7$ et $2u^2+14u+25$ sont premiers et $u\geq 0$ .

soland · July 2017

Plus simple :
Soit $p$, $q$, $r$ trois premiers distincts.
Alors $p^7$, $pq^3$, $pqr$ ont huit diviseurs et tout entier
ayant huit diviseurs est de l'un de ces trois types.

GaBuZoMeu · July 2017

@soland : tu as juste oublié la moitié de la consigne.

Sylvain · July 2017

Et ce n'est pas $ p^9 $ mais $ p^7 $ .

soland · July 2017

Je vais aller me recoucher.

GaBuZoMeu · July 2017

Question indiscrète : comment se fait-il que le message de Soland ait été modifié pour tenir compte de la coquille signalée par Sylvain sans qu'on ait de trace de la modification (le fameux "Edité 1 fois. La dernière correction date.. ") ? Le message de Sylvain devient alors incompréhensible, autant le supprimer à ce moment-là.
$p^7$
PS : j'ai changé un exposant 9 en 7 ci-dessus, et ça m'a rajouté illico "Edité 1 fois" (maintenant, 2 fois).
(maintenant 4 fois: j'ai aussi fait un essai. jacquot)

nicolas.patrois · July 2017

Cela arrive quand la correction est très proche de la rédaction du message.

Poirot · July 2017

J'avoue ne pas avoir la réponse à cette question, mais j'ai des doutes concernant l'affirmation de nicolas.patrois. De nombreuses fois j'ai modifié un de mes messages dès son envoi car je me suis rendu compte d'une erreur au moment de cliquer sur Envoyer, et le forum affichait tout de même "Edité 1 fois".

messy · July 2017

Bonjour.
Pouvez-vous poster les démonstrations ou méthodes ?
Comment avez-vous trouvé ces résultats ??
Ça ne ressemblait pas a ça les essais dont j'ai parlé.
S'il vous plaît vite vous avez suscitér en moi une nouvelle curiosité.

[Merci de faire un effort sur le français. De plus, nous ne sommes pas à tes ordres donc inutile de dire "vite". Poirot]

jandri · July 2017

Je confirme les résultats obtenus par depasse.

Comme l'a dit soland il faut commencer par montrer que $n$ est de la forme $p^7$, $p^3q$,ou $pqr$, $p,q,r$ désignant des nombres premiers distincts.

Le cas $n=p^7$ est le plus simple car les diviseurs $p^k$ sont rangés par ordre croissant, mais on n'obtient pas de solution.

Le cas $n=p^3q$ est plus long à étudier car il y a 4 sous-cas selon la place de $q$ par rapport aux puissances de $p$.
Seul le sous-cas $q>p^3$ conduit à une solution (donnée par depasse).

Le cas $n=pqr$ avec $p<q<r$ a deux sous-cas, $r<pq$ et $r>pq$.
Seul le sous-cas $r>pq$ conduit a des solutions données par $p=3$ et $r=\dfrac12(q^2+1)$ pour $q$ et $r$ premiers, $q>5$.

CyD · August 2017

Bonjour,

une remarque pour Jandri : dans le dernier cas de $n=pqr$ , j'ai l'impression que $q=5$ fonctionne. Est-ce que j'ai les neurones qui se croisent ? :-)

Si je retrouve bien les résultats de Jandri , je ne retrouve pas le deuxième cas de Depasse. Comment arrivez-vous à ce résultat ?

Cordialement,
CyD

jandri · August 2017

Dans le dernier cas, si $q=5$ on obtient $r=13$ qui est inférieur à $pq=15$ alors qu'on a supposé $r>pq$.

Le deuxième cas de Depasse correspond à $q=2u+7$ d'où $r=\dfrac{(2u+7)^2+1}2=2u^2+14u+25$ avec $u\geq0$ pour que l'on ait $pq<r$.

CyD · August 2017

Merci pour votre réponse.

CyD.

messy · August 2017

Re
merci pour vos reponses
j'ai toujours une petite lacune
pour les 2 premiers cas c'est nickel
pour n=pqr le cas ou r<pq je l'ai compris
mais pour n>pq
on a 1<3<q<3q<r<3r<qr<3qr
avec r=(1+q²)/2
la je suis d'accord avec q>7
mais d'ou ramener que q s'ecrit sous la forme de 2u+7 ??