Trapèze isocèle

Bonjour,

$a$ est la longueur des côtés qui ne sont pas base; $b$ et $B$ sont les longueurs des bases, $d$ celle des diagonales.
"l'angle inscrit+ 2 fois Al-Kashi" donne $$B(b^2+d^2-a^2)=b(B^2+d^2-a^2)$$.
$a, b$ et d sont impairs et donc, modulo $8$, $a^2=b^2=d^2=1$, si bien que,modulo $8$, $B=bB^2$, soit $$B(bB-1)=0$$.
Or $B$ est pair, donc $bB$ est pair, donc $bB- 1$ est impair, donc $B=0$.

Amicalement
Paul

Bonjour,

Notons qu'il est facile de voir que la condition $B(b^2+d^2-a^2)=b(B^2+d^2-a^2)$ de depasse équivaut tout simplement à : $bB=d^2-a^2$ (qu'on obtient directement grâce au Théorème de Ptolémée).

On peut aussi obtenir la relation $bB=d^2-a^2$ en appliquant deux fois le théorème de Pythagore.

Si $h$ désigne la hauteur du trapèze on a:

$d^2=h^2+\left(b+\dfrac12(B-b)\right)^2$ et $a^2=h^2+\left(\dfrac12(B-b)\right)^2$ d'où par différence: $d^2-a^2=b^2+b(B-b)=bB$.