Trapèze isocèle
dans Arithmétique
Je donnerai plus tard la référence de ce problème mignon.
Les longueurs des côtés et des diagonales d'un trapèze isocèle
sont toutes des entiers impairs, sauf celle de l'une des bases.
Si la longueur de cette base est entière, elle est un multiple de 8 .
Les longueurs des côtés et des diagonales d'un trapèze isocèle
sont toutes des entiers impairs, sauf celle de l'une des bases.
Si la longueur de cette base est entière, elle est un multiple de 8 .
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Réponses
$a$ est la longueur des côtés qui ne sont pas base; $b$ et $B$ sont les longueurs des bases, $d$ celle des diagonales.
"l'angle inscrit+ 2 fois Al-Kashi" donne $$B(b^2+d^2-a^2)=b(B^2+d^2-a^2)$$.
$a, b$ et d sont impairs et donc, modulo $8$, $a^2=b^2=d^2=1$, si bien que,modulo $8$, $B=bB^2$, soit $$B(bB-1)=0$$.
Or $B$ est pair, donc $bB$ est pair, donc $bB- 1$ est impair, donc $B=0$.
Amicalement
Paul
Notons qu'il est facile de voir que la condition $B(b^2+d^2-a^2)=b(B^2+d^2-a^2)$ de depasse équivaut tout simplement à : $bB=d^2-a^2$ (qu'on obtient directement grâce au Théorème de Ptolémée).
Si $h$ désigne la hauteur du trapèze on a:
$d^2=h^2+\left(b+\dfrac12(B-b)\right)^2$ et $a^2=h^2+\left(\dfrac12(B-b)\right)^2$ d'où par différence: $d^2-a^2=b^2+b(B-b)=bB$.