Suite convergeant vers r0(n)

Bonjour,

Sous la conjecture de Goldbach, posons pour $n $ entier naturel assez grand, $ r_{0}(n) : =\inf\{r\geq 0,(n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\} $.

Soit $ (u_{k}(n)) $ la suite définie par $ u_{0}(n)=0 $ et $ u_{k+1}(n)=u_{k}(n)+1-\dfrac{\Lambda(n-u_{k}(n))\Lambda(n+u_{k}(n))}{\log (n-u_{k}(n))\log (n+u_{k}(n))} $ où $ \Lambda $ est la fonction de von Mangoldt. Cette suite converge vers $ r_{0}(n) $ et cette limite est atteinte quand $ k $ vaut ladite limite.

Soit $ \rho(n) $ la solution de l'équation d'inconnue $ x $ $ \log(n-x)\log(n+x)=x $ .

Peut-on montrer que $r_{0}(n)\lesssim\rho(n) $?