Un énoncé simple, mais ...

Une idée comme ça... On pose $a=1$ et on trouve que la seule solution est $b=2$ et $c=3$. Puis on pose $a,b,c \geq 2$ et on doit pouvoir montrer assez facilement que $abc >a+b+c$

Bonjour,

Voici ce que fais.

Trouver trois nombres naturels strictement positifs dont leur somme est égale à leur produit, puis démontrer que c'est l'unique solution.

Soit $\displaystyle a,b,c$ trois entiers non nuls tels que $\displaystyle abc=a+b+c.$ La relation est symétrique. On peut fixer l'un quelconque, par exemple $a$, et inverser les deux autres, ici $b$ et $c$, sans changer la relation, ici : $\displaystyle acb = a +c+b.$ Sans perte de généralité, on peut alors supposer $\displaystyle 1 \leq a \leq b \leq c.$ On écrit $\displaystyle abc = a+b+c$ implique que $\displaystyle {1 \over bc} + {1 \over ca} +{1 \over ab} =1.$
On pose $\displaystyle x=ab, z=bc, y=ca$ et on a $\displaystyle 1/x+1/y+1/z=1$ avec $\displaystyle x=ab \leq y=ac \leq z=bc.$
On a donc $\displaystyle 3/x \geq 1/x+1/y+1/z=1$ et donc $\displaystyle x \leq 3.$ Comme $x$ est un entier non nul, on a soit $\displaystyle x=1$ : contradiction ; soit $\displaystyle x=2$ et $\displaystyle 1/y+1/z=1/2$ ; soit $\displaystyle x=3$ et $\displaystyle 1/y+1/z=2/3.$

Pour le cas $\displaystyle x=2$ : on a $\displaystyle 2/y \geq 1/y+1/z=1/2$ et donc $\displaystyle x=2 \leq y \leq 4$, et donc soit $\displaystyle y=2$ : contradiction ; soit $\displaystyle y=3$ et donc $\displaystyle z=6$ ; soit $\displaystyle y=4$ et donc $\displaystyle z=4.$ On a trouvé deux solutions $(\displaystyle x,y,z) = (2,3,6)$ ou $\displaystyle (x,y,z) = (2,4,4).$

Pour le cas $\displaystyle x=3$ : on a $\displaystyle 2/y \geq 1/y+1/z=2/3$ et donc $\displaystyle x=3 \leq y \leq 3$, et donc $\displaystyle y=3$ et donc $\displaystyle z=3.$ On a trouvé une solution $\displaystyle (x,y,z) = (3,3,3).$

On revient aux variables $\displaystyle (a,b,c)$ : comme $\displaystyle xyz=(abc)^2$ alors seule la solution $\displaystyle (x,y,z) = (2,3,6)$ vérifie cette contrainte. On a alors $\displaystyle x=ab=2, y=ac=3, z=bc=6.$ On calcule $\displaystyle a^2bc=a^2 \times 6 = 2 \times 3$ et donc $\displaystyle a=1$, puis $\displaystyle b=2$, puis $\displaystyle c=3.$

La réciproque est vraie : si $\displaystyle (a,b,c) = (1,2,3)$, alors $\displaystyle abc=a+b+c=6.$

On a démontré que la seule solution est le triplet $\displaystyle (1,2,3)$ et toutes ses permuations.

Si on a $n$ réels positifs $a_1,a_2,...,a_n$ dont la somme vaut $1$ , l'un, au moins, est inférieur ou égal à $\frac{1}{n}$


(autrement ils seraient tous strictement supérieurs à $\frac{1}{n}$ et donc leur somme serait strictement plus grande que $1$)

PS:

C'est aussi vrai que l'un, au moins, est supérieur ou égal à $\frac{1}{n}$.

$ a\le b\le c $, $ N : =abc=\prod p_{i}^{e_{i}} $ avec $ i< j $ implique $ p_{i}<p_{j} $ . $ N $ est pair donc $ p_{1}=2 $ . Si $ 2 $ est le seul diviseur premier de $ N $, $ a $, $ b $ et $ c $ sont des puissances de $ 2 $. $ a+b+c\le 3c $ donc $ abc\le 3c $ donc $ abc=2c $ donc $a=1 $ et $ b=2 $ donc $ c $ est impair. Contradiction. Donc il existe un diviseur premier impair de $ N $ .

Comme $ abc<3c $ $ ab=2 $ donc $ a=1 $ et $ b=2 $. Donc $ abc=3+c=2c $ et $ c=3 $ .

Bon ma rédaction est toujours aussi mauvaise mais vous avez compris l'idée...

N'oublions pas la relation
$$
\alpha + \beta + \gamma = \pi \;\Longrightarrow\; \tan \alpha\tan\beta \tan\gamma = \tan \alpha + \tan\beta + \tan\gamma
$$