Un énoncé simple, mais ...
dans Arithmétique
Un ami, m'a posé cette question : "trouve trois nombres naturels strictement positifs dont leur somme est égale à leur produit", puis démontre que c'est l'unique solution.
La solution triviale est 1+2+3 = 1*2*3, mais on sèche tous les deux pour la démonstration qui fait que c'est l'unique solution.
En programmant j'ai constaté que les solutions de a+b+c = a.b.c sont les suivantes
{-x;0,x}
{-3;-2;-1}
{1;2;3}
puis une infinité du type {a,b, n/d}
Seule {1;2;3} correspond aux contraintes ci-dessus.
J'ai pensé à utiliser des suites avec un raisonnement par récurrence, à utiliser des limites, ou l'étude d'une fonction f(a,b,c) = a+b+c-abc = 0.
Mais je ne vois pas comment le démontrer.
Auriez-vous une idée pour commencer ?
La solution triviale est 1+2+3 = 1*2*3, mais on sèche tous les deux pour la démonstration qui fait que c'est l'unique solution.
En programmant j'ai constaté que les solutions de a+b+c = a.b.c sont les suivantes
{-x;0,x}
{-3;-2;-1}
{1;2;3}
puis une infinité du type {a,b, n/d}
Seule {1;2;3} correspond aux contraintes ci-dessus.
J'ai pensé à utiliser des suites avec un raisonnement par récurrence, à utiliser des limites, ou l'étude d'une fonction f(a,b,c) = a+b+c-abc = 0.
Mais je ne vois pas comment le démontrer.
Auriez-vous une idée pour commencer ?
Réponses
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Une idée comme ça... On pose $a=1$ et on trouve que la seule solution est $b=2$ et $c=3$. Puis on pose $a,b,c \geq 2$ et on doit pouvoir montrer assez facilement que $abc >a+b+c$
-
Si a,b,c sont strictement positifs et vérifient $abc=a+b+c$
alors on a:
$\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}=1$
Et on peut supposer que $a\geq b\geq c$
PS:
Si deux nombres $u,v$ positifs sont tels que $u+v=1$
alors l'un est supérieur ou égal à $\frac{1}{2}$ et l'autre inférieur ou égal à $\frac{1}{2}$
(est inutile à considérer ici) -
Bonjour,
Voici ce que fais.
Trouver trois nombres naturels strictement positifs dont leur somme est égale à leur produit, puis démontrer que c'est l'unique solution.
Soit $\displaystyle a,b,c$ trois entiers non nuls tels que $\displaystyle abc=a+b+c.$ La relation est symétrique. On peut fixer l'un quelconque, par exemple $a$, et inverser les deux autres, ici $b$ et $c$, sans changer la relation, ici : $\displaystyle acb = a +c+b.$ Sans perte de généralité, on peut alors supposer $\displaystyle 1 \leq a \leq b \leq c.$ On écrit $\displaystyle abc = a+b+c$ implique que $\displaystyle {1 \over bc} + {1 \over ca} +{1 \over ab} =1.$
On pose $\displaystyle x=ab, z=bc, y=ca$ et on a $\displaystyle 1/x+1/y+1/z=1$ avec $\displaystyle x=ab \leq y=ac \leq z=bc.$
On a donc $\displaystyle 3/x \geq 1/x+1/y+1/z=1$ et donc $\displaystyle x \leq 3.$ Comme $x$ est un entier non nul, on a soit $\displaystyle x=1$ : contradiction ; soit $\displaystyle x=2$ et $\displaystyle 1/y+1/z=1/2$ ; soit $\displaystyle x=3$ et $\displaystyle 1/y+1/z=2/3.$
Pour le cas $\displaystyle x=2$ : on a $\displaystyle 2/y \geq 1/y+1/z=1/2$ et donc $\displaystyle x=2 \leq y \leq 4$, et donc soit $\displaystyle y=2$ : contradiction ; soit $\displaystyle y=3$ et donc $\displaystyle z=6$ ; soit $\displaystyle y=4$ et donc $\displaystyle z=4.$ On a trouvé deux solutions $(\displaystyle x,y,z) = (2,3,6)$ ou $\displaystyle (x,y,z) = (2,4,4).$
Pour le cas $\displaystyle x=3$ : on a $\displaystyle 2/y \geq 1/y+1/z=2/3$ et donc $\displaystyle x=3 \leq y \leq 3$, et donc $\displaystyle y=3$ et donc $\displaystyle z=3.$ On a trouvé une solution $\displaystyle (x,y,z) = (3,3,3).$
On revient aux variables $\displaystyle (a,b,c)$ : comme $\displaystyle xyz=(abc)^2$ alors seule la solution $\displaystyle (x,y,z) = (2,3,6)$ vérifie cette contrainte. On a alors $\displaystyle x=ab=2, y=ac=3, z=bc=6.$ On calcule $\displaystyle a^2bc=a^2 \times 6 = 2 \times 3$ et donc $\displaystyle a=1$, puis $\displaystyle b=2$, puis $\displaystyle c=3.$
La réciproque est vraie : si $\displaystyle (a,b,c) = (1,2,3)$, alors $\displaystyle abc=a+b+c=6.$
On a démontré que la seule solution est le triplet $\displaystyle (1,2,3)$ et toutes ses permuations. -
Si on a $n$ réels positifs $a_1,a_2,...,a_n$ dont la somme vaut $1$ , l'un, au moins, est inférieur ou égal à $\frac{1}{n}$
(autrement ils seraient tous strictement supérieurs à $\frac{1}{n}$ et donc leur somme serait strictement plus grande que $1$)
PS:
C'est aussi vrai que l'un, au moins, est supérieur ou égal à $\frac{1}{n}$. -
Gebrane0:
Ce problème revient sous une forme, ou une autre, sur le forum. Je suis certain de l'avoir vu dans un autre fil.
PS:
Je ne sais pas si j'aurais pensé à utiliser des inégalités pour résoudre ce problème si je n'avais pas lu une solution quelque part. -
$ a\le b\le c $, $ N : =abc=\prod p_{i}^{e_{i}} $ avec $ i< j $ implique $ p_{i}<p_{j} $ . $ N $ est pair donc $ p_{1}=2 $ . Si $ 2 $ est le seul diviseur premier de $ N $, $ a $, $ b $ et $ c $ sont des puissances de $ 2 $. $ a+b+c\le 3c $ donc $ abc\le 3c $ donc $ abc=2c $ donc $a=1 $ et $ b=2 $ donc $ c $ est impair. Contradiction. Donc il existe un diviseur premier impair de $ N $ .
-
Syvain:
Pourquoi N devrait-il être pair? -
Comme $ abc<3c $ $ ab=2 $ donc $ a=1 $ et $ b=2 $. Donc $ abc=3+c=2c $ et $ c=3 $ .
-
Bien vu. Si $ N $ est impair il a au moins deux diviseurs premiers impairs (car 1+1+c>c) dont l'un, mettons $ q $, divise $ b $ . donc $ abc\ge qc\ge 3c $ donc $ a=b=c $ donc $ 3c=c^3 $ , impossible.
-
Bon ma rédaction est toujours aussi mauvaise mais vous avez compris l'idée...
-
Pourquoi ne pas repartir sur l'idée qu'on peut supposer $a\geq b \geq c $ ? C'est quand même plus simple il me semble :
$a+b+c \leq 3a$, pour peu que $bc > 3$ c'est fini. Or il n'y a qu'un nombre fini de personnes pour qui $bc \leq 3$, on les calcule et on voit que ça marche.
La même méthode a été appliquée sur une question sur math.stackexchange, solutions de l'équation $\frac{xyz}{x+y+z} = n$ (ici $n=1$) -
YvesM écrivait:
> On a donc $\displaystyle 3/x \geq 1/x+1/y+1/z=1$
Ah oui, bravo, j'ai tourné en rond dans tous les sens. Ca s'était bien vu. (idem pour Maxtimax) -
En fait je réfléchis et tape en même temps, d'où le manque de simplicité de certaines de mes interventions.
-
N'oublions pas la relation
$$
\alpha + \beta + \gamma = \pi \;\Longrightarrow\; \tan \alpha\tan\beta \tan\gamma = \tan \alpha + \tan\beta + \tan\gamma
$$
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Bonjour!
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