Une somme de carrés
dans Arithmétique
Montrer que
$$
p^4+q^4+r^4+s^4-4pqrs = \sum z_i^2
$$
où les $z_i$ sont des polynômes à coefficients réels dont on ne donne pas le nombre.
Trouver ensuite les zéros du membre de gauche.
P.S. J'ai perdu la référence.
$$
p^4+q^4+r^4+s^4-4pqrs = \sum z_i^2
$$
où les $z_i$ sont des polynômes à coefficients réels dont on ne donne pas le nombre.
Trouver ensuite les zéros du membre de gauche.
P.S. J'ai perdu la référence.
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Réponses
$$\color{white}{\begin{align*}&(p^2-q^2)^2+(p^2-r^2)^2+(p^2-s^2)^2+(q^2-r^2)^2+(q^2-s^2)^2+(r^2-s^2)^2\\
&\qquad{} + 2(pq-rs)^2+2(pr-qs)^2+2(ps-qr)^2\end{align*}}$$
est trois fois le polynôme positif proposé. Et comme on voit apparaître une bonne vielle inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique, elle est satisfaite si et seulement si les valeurs absolues de $p,q,r,s$ sont égales et un nombre pair d'entre eux est positif.
Merci pour ta contribution.
Trois carrés suffisent.
$$X^4Y^2 + X^2Y^4+Z^6 – 3X^2Y^2Z^2\;.$$
$$X^4Y^2 + X^2Y^4+Z^6 – 3X^2Y^2Z^2=\\\left[\dfrac{Z^3(X^2-Y^2)}{X^2+Y^2}\right]^2+\left[\dfrac{XYZ(X^2+Y^2-2Z^2)}{X^2+Y^2}\right]^2+\left[\dfrac{X^2Y(X^2+Y^2-2Z^2)}{X^2+Y^2}\right]^2+\left[\dfrac{XY^2(X^2+Y^2-2Z^2)}{X^2+Y^2}\right]^2\;.$$
(Mots clés : polynôme de Motzkin, dix-septième problème de Hilbert. Merci GBZM, ça fait du bien de s'instruire !).
Comment fais-tu ?
Merci à tous les trois
Paul
On sait qu'un polynôme de $\R[X]$ positif s’écrit comme somme de carrés de deux polynômes de $\R[X]$ et je me demandais, qu'en est-il pour un polynôme de $\R[X,Y]$? d’après ce fil c'est faux mais seulement somme de carrés de fonctions rationnelles
Hilbert dixit : toute forme de degré $2k$ en $n$ variables semi-définie positive est somme de carrés de formes de degré $k$ si et seulement si
1) $2k=2$
ou
2) $n=2$
ou
3) $n=3$ et $2k=4$.
Les situations cruciales sont pour $(n,2k)=(3,6)$ (contre exemple : polynôme de Motzkin, entre autres) et $(n,2k)=(4,4)$. Voici un contre-exemple pour ce dernier cas, également arithmético-géométrique :
$$W^4 + X^2 Y^2 + Y^2 Z^2 + Z^2 X^2 - 4 X Y Z W\;.$$
Montrer que $X^4Y^2+X^2Y^4+Z^6-3X^2Y^2Z^2=\sum\limits_{i}z_i^{2017}$, où les $z_i$ sont des éléments de $\mathbb{R}[X,Y,Z]$ dont on ne donne pas le nombre.
Il y a une coquille dans la décomposition en quatre carrés de fractions que tu as donnée il y a quatre jours.
Il faut $X^2+Y^2-2Z^2$ au lieu de $X^2-Y^2-2Z^2$ (trois fois).
1) Prouver que la famille $((X-k)^{n})_{0\leqslant k\leqslant n}$ est une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$.
2) Décomposer $X$ dans la base précédente : $X=\sum\limits_{k=0}^{n}\lambda_k(X-k)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\left[\sqrt[n]{\lambda_k}(X-k)\right]^{n}$.
3) Substituer $P$ à $X$ dans l'égalité précédente.