Les doigts dans le nez

Bonjour,

Soit $\displaystyle (n,x,y,z)$ une solution entière pimitive de l'équation $\displaystyle n^2 -x^2-y^2-z^2=0.$

On montre qu'au moins deux composantes, dont $n$, sont impaires.

Si toutes les composantes sont paires, alors la solution n'est pas primitive : contradiction. Il existe donc au moins une composante impaire. Du fait de la symétrie entre les composantes $\displaystyle x,y,z$, on peut supposer que la composante $x$ est impaire sans perte de généralité OU que la composante $n$ est impaire.

Cas $n$ impaire :
Si toutes les composantes $\displaystyle (x,y,z)$ sont paires : contradiction (car l'entier $\displaystyle n^2$, impair, ne peut pas être la somme de trois entiers $\displaystyle x^2, y^2, z^2$ pairs). Il existe donc au moins une composante impaire parmi $\displaystyle x,y,z$. On a donc démontré qu'il existe au moins deux composantes, dont $n$, impaires.

Cas $x$ impaire :
Si la composante $n$ est impaire, alors il existe au moins deux composantes $x$ et $n$, dont $n$, impaires.
Si la composante $n$ est paire, alors d'après l'équation $\displaystyle n^2 = x^2+y^2+z^2$, $y$ et $z$ sont de parité différente. Du fait de la symétrie entre les composantes $\displaystyle y,z$, on peut supposer que la composante $y$ est impaire sans perte de généralité. On sait qu'il existe alors des entiers $\displaystyle N, X, Y, Z$ tels que $\displaystyle n=2N, x=2X+1, y=2Y+1, z=2Z.$ On reporte dans l'équation $\displaystyle n^2 = x^2+y^2+z^2$, on divise par $2$ : contradiction (un nombre impair n'est pas pair).

Comme on a traité tous les cas, on a démontré qu'au moins deux composantes, dont $n$, sont impaires.

On montre que les deux autres composantes sont congrues à $0$ modulo $4$ OU à $2$ modulo $4.$

Il existe des entiers $\displaystyle N,X$ tels que $\displaystyle n=2N+1,x=2X+1.$ On reporte dans l'équation $\displaystyle n^2 = x^2+y^2+z^2$ et on trouve $\displaystyle 4(N+X+1)(N-X) = y^2+z^2.$ On a donc $\displaystyle y^2+z^2 = 0 \mod(4).$
La table des modulos $4$ montre qu'un carré est congru à $0$ ou $1$ modulo $4.$ On en déduit que $\displaystyle y^2 = 0 \mod(4)$ et $\displaystyle z^2 = 0 \mod(4).$ La table montre aussi que donc $y$ est congru à $0$ ou $2$ modulo $4.$
On montre que le cas croisé, ou l'une des composantes (parmi $y$ et $z$) est congrue à $0$ et l'autre à $2$ modulo $4$ mène à une contradiction. Dans ce cas, on sait qu'il existe des entiers $\displaystyle Y,Z$ tels que $\displaystyle y=4Y, z=4Z+2$ (les composantes $y$ et $z$ sont symétriques) que l'on reporte dans l'équation $\displaystyle 4(N+X+1)(N-X) = y^2+z^2$ pour trouver $\displaystyle (N+X+1)(N-X)=4Y^2+4Z^2+4Z+1$ : contradiction puisque le produit $\displaystyle (N+X+1)(N-X)$ est pair (il suffit de considérer les différents cas de parité sur $X$ et $N$).
Les deux autres composantes sont donc congrues à $0$ modulo $4$ OU à $2$ modulo $4.$

Regardons $n^2=x^2+y^2+z^2$ modulo $8$.
Les carrés impairs modulo $8$ sont tous $1$, les carrés de pairs divisibles par $4$ sont tous $0$, les carrés de pairs non divisible par $4$ sont tous $4$.
Il y a forcément au moins un impair parmi $n,x,y,z$ (primitivité de la solution). Forcément donc $n^2=1$ modulo $8$ et un et un seul des $x^2,y^2,z^2$ est égal à $1$ modulo $8$. Les deux autres carrés de droite sont tous deux égaux à $0$ modulo $8$, ou tous deux égaux à $4$ modulo $8$.