Relation asymptotique

Breyer
Breyer
dans Arithmétique
Je me pose une question sans doute idiote. Existe-t-il des suites $f$ telles que l'implication ci-dessous ne soit pas valide?
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{f(k)}{k}=O\left(n^{\alpha}\right)\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}f(k)=O\left(n^{\alpha+1}\right)$$

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Si $f$ est positive, non:
    $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k} \leq M n^\alpha \implies \displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{nf(k)}{k} \leq Mn^{\alpha+1}$.

    $f$ étant positive, $\frac{nf(k)}{k} \geq f(k)$, de sorte que $\displaystyle\sum_{k=1}^n f(k) \leq M n^{\alpha +1}$.

    De même si $f$ est négative.

    Si $f$ change de signe je n'ai pas de contrexemple ni de preuve iimmédiate donc je vais me retenir de dire des bêtises.
  • marco
    marco
    Bonjour,

    Soit $f$ définie par $f(1)=1$, $f(2^i)=-1$ si $i \geq 1$, et $f(k)=0$ sinon.
    Alors $S(n)=\sum_{k=1}^{n} \frac{f(k)}{k}=\frac{1}{2^i}$ si $2^i \leq n<2^{i+1}$. Donc $|S(n)| \leq \frac{2}{n}$, donc $S(n)$ est un $O(n^{-1})$

    Mais $\sum_{k=1}^n f(k)$ n'est pas un $O(1)$
  • Breyer
    Breyer
    Merci maxtimax, ce cas là est effectivement trivial. Merci Marco pour cet exemple où $\sum_{k=1}^{n}\frac{f(k)}{k}=O\left(n^{-1}\right)$ et $\sum_{k=1}^{n}f(k)=O\left(\log(n)\right)$. j'ajouterai donc un epsilon.

    Existe-t-il des suites $f$ telles que l'implication ci-dessous ne soit pas valide?
    $$\sum_{k=1}^{n}\frac{f(k)}{k}=O\left(n^{\alpha}\right)\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}f(k)=O\left(n^{\alpha+1+\epsilon}\right)$$
  • noix de totos
    noix de totos
    Par sommation partielle
    $$\left | \sum_{k=1}^n f(k) \right | \leqslant n \left | \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k} \right | + \int_1^n \left | \sum_{k \leqslant t} \frac{f(k)}{k} \right | \textrm{d}t.$$
    En tenant compte de l'hypothèse, on obtient donc
    $$\left | \sum_{k=1}^n f(k) \right | \ll \begin{cases} n^{1+\alpha}, & \textrm{si } \alpha > -1 \\ \log n , & \textrm{si } \alpha = -1 \\ 1, & \textrm{si } \alpha < -1. \end{cases}$$
  • Breyer
    Breyer
    Merci noix de totos c'est clair!
  • noix de totos
    noix de totos
    De rien.

    Pourrais-tu préciser dans quel cadre tu souhaites utiliser ceci ? Merci.
  • Breyer
    Breyer
    J'étais juste en train de me repencher sur les liens entre le comportement des coefficients des séries de Dirichlet et la convergence de la série.
  • noix de totos
    noix de totos
    OK.

    Le truc de base à connaître est le suivant, si je puis me permettre :

    Soit $L(s,f) := \sum_{n=1}^\infty f(n) n^{-s}$ une série de Dirichlet à coefficients positifs ou nuls. Alors $L(s,f)$ converge pour tout $\sigma > \sigma_0$ si et seulement si, pour tout $\varepsilon > 0$, $\sum_{n \leqslant x} f(n) \ll x^{\sigma_0 + \varepsilon}$ (le résultat n'est plus nécessairement vrai si l'on enlève le $+\varepsilon$).
  • Breyer
    Breyer
    Merci noix de totos c'est cette équivalence que je cherchais. Je savais le montrer uniquement dans un sens:

    $\sum_{k=1}^{n}f(k)\ll n^{\sigma_{0}+\varepsilon}\Rightarrow F(s)$ analytique dans $\Re z>\sigma_{0}$

    en utilisant la formule $F(s)=s\int_{1}^{\infty}\left(\sum_{1\leq k\leq x}f(k)\right)x^{-s-1}dx$.

    Avec ta sommation par parties ça résout l'autre sens.
  • noix de totos
    noix de totos
    C'est ça !
  • Breyer
    Breyer
    Ôtes-moi d'un doute, il n'y a pas besoin de considérer les coefficients de la séries positifs ou nuls pour cette équivalence? En tout cas dans un sens c'est vrai quelque soit le signe.
  • noix de totos
    noix de totos
    Si ta fonction arithmétique $f$ est à valeurs complexes, il faut remplacer "converge" par "converge absolument".
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