Premiers d'ordre k

Bonjour,

Je dis qu'un nombre premier $ p $ est d'ordre $ k $ si $ k $ est le plus petit entier positif $l $ tel que $ \pi^{(l)}(p) $ n'est pas premier où $ \pi^{(0)}(x)=x $ et $\pi^{(n+1)}=\pi\circ\pi^{(n)} $ et $ \pi $ la fonction de compte des nombres premiers.

Soit $\pi_{(k)}(x) $ le nombre de nombres premiers d'ordre $ k $ n'excédant pas $ x $ .
A-t-on $\lim_{x\to\infty}\dfrac{\pi_{(k)}(x)}{\pi(x)}=\zeta(k+1)-1 $?