Somme 1/p²

Nicolas:
Tu penses bien que p n'est pas un vulgaire entier mais un nombre premier d'où le p=2

Sylvain t'a dit pourquoi la somme est convergente (il faut juste changer "positive" par "croissante").

Petite correction, la série associée vaut $\frac{\pi^2}{6}-1.$

Bonjour, voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_des_inverses_des_nombres_premiers

[Correction du lien. AD]

En théorie des nombres, il faut rappeler que la convention consistant à indicer des sommes ou produits par la lettre $p$ signifie (presque) toujours des sommes ou produits portant sur des nombres premiers.

Certaines séries peuvent parfois avoir des "formes (plus ou moins) closes", comme par exemple
$$\sum_p \frac{\log p}{p(p-1)} = E - \gamma$$
ou
$$\sum_p \frac{1}{(p-1)^2} = \sum_{n=2}^\infty \frac{J_2(n)-\varphi(n)}{n} \log \zeta(n)$$
(dans ce dernier cas, difficile de parler de "forme close"...).

Dans la série de ce fil, pas de formule exacte connue, mais on peut facilement l'approcher à l'aide de ce principe simple : si $A \geqslant 2$ réel $f$ est une fonction dérivable sur $\left[ 2 , + \infty \right[$ telle que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x) \theta(x)}{\log x} = 0$, alors
$$\sum_{p > A} f(p) = - \frac{f(A)\theta(A)}{\log A} - \int_A^\infty \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t} \left( \frac{f(t)}{\log t} \right) \theta(t) \, \textrm{d}t.$$
Par exemple, avec la majoration $\theta(x) < 1,000028 \, x$, on obtient
$$\sum_{p > A} \frac{1}{p^2} < \frac{2,000056}{A \log A}.$$
Par exemple avec $A=500 \, 000$, l'utilisation du logiciel GP/PARI donne
$$\sum_p \frac{1}{p^2} < 0,452 \, 248$$
ce qui est très convenable.

@noix de toto : Bonjour. Lorsque tu dis que la majoration est très convenable, veux-tu dire qu'on a également un contrôle sur l'erreur et que l'on peut savoir que la majoration est "très proche" de l'égalité ?

Bonjour à tous,

@Sylvain : $E$ est l'une des constantes de Mertens, i.e. celle intervenant dans la somme $\sum_{p \leqslant x} \log p/p$. Elle est approximativement égale à $E \approx 1,332 \, 582 \, 275 \, 733 \, 220 \, 87 \dotsc$ Ensuite, il s'agit bien de $f$ dans la somme, la $1$ère fonction de Chebyshev $\theta$ intervenant ensuite dans le membre de droite par sommation partielle. La formule indiquée plus haut est donc correcte.

@Cyrano : je te renvoie vers la réponse de Skyffer3, très satisfaisante. J'ajouterais que je pensais aussi à la majoration "triviale"
$$\sum_p \frac{1}{p^2} < \log \zeta(2) \approx 0,4977 \dotsc$$
nettement moins bonne (c'est en ce sens qu'il faut comprendre le mot "convenable").