Proche de "nombre de diviseurs"

depasse
depasse
dans Arithmétique
Bonjour,

j'aimerais savoir si la fonction qui envoie tout $n:=\Pi p_i^{\alpha_i}$ sur $\Pi (2 \alpha_i +1)$ a un nom "déposé" (et, si oui, lequel ;-) ) afin de regarder ce qu'en dit la toile avant de vous poser éventuellement des questions.

(Sauf erreur, elle donne le nombre de couples d'étrangers $(u,v)$ tels que $uv$ divise $n$).

Merci
Cordialement
Paul

Réponses

  • Breyer
    Breyer
    Si je ne trompe pas elle existe dans l'OEIS (A048691).
  • depasse
    depasse
    Merci beaucoup Breyer, c'est bien ce que je cherchais.
    Amicalement
    Paul
  • noix de totos
    noix de totos
    Il s'agit donc de la fonction $(\tau^\star)^{-1}$.
  • depasse
    depasse
    Merci noix de totos et...honte à moi qui ne connais pas la notation $\tau^{\star}$ :-S . Abrège-t-elle une notation où $\mu$ interviendrait?.
    En fait, je cherche des renseignements sur la fonction qui envoie $n$ sur le cardinal de $\{u+v; (u,v)=1; uv\mid n\}$ .
    Amicalement
    Paul
  • Sylvain
    Sylvain
    Je pense que c'est l'inverse de la fonction "nombre de diviseurs" pour la convolution de Möbius.
  • noix de totos
    noix de totos
    Une étoile mise en exposant sur une fonction arithmétique usuelle désigne l'analogue unitaire de cette fonction arithmétique : le produit de convolution sous-jacent utilisé n'est plus le produit de Dirichlet usuel, mais le produit de convolution unitaire, défini par
    $$(f \odot g)(n) := \sum_{\substack{d \mid n \\ (d,n/d)=1}} f(d)g(n/d).$$
    On peut définir ainsi les fonctions multiplicatives $\mu^\star$, $\tau^\star$, $\sigma^\star$, $\varphi^\star$, etc, analogues des $\mu$, $\tau$, $\sigma$, $\varphi$ habituelles. Par exemple, $\mu^{\star}(n) = (-1)^{\omega(n)}$ et $\tau^\star(n) = 2^{\omega(n)}$.
  • Sylvain
    Sylvain
    A ce propos noix de totos, j'ai un doute sur la définition de la fonction de Liouville : est-ce $ \lambda(n)=(-1)^{\omega(n)} $ ou $ \lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)} $?
  • depasse
    depasse
    @noix de totos
    Ah OK, j'ai compris, je crois! Merci
    @Sylvain
    J'ai pensé comme toi puis vérifié que c'était faux.

    Edit: Pardon Sylvain, tu dis sans doute la même chose que noix de totos: je ne connaissais pas le nom de convolution de Möbius et l'ai cru synonyme de convolution de Dirichlet
  • noix de totos
    noix de totos
    Si j'ai bien compris, ta fonction est le nombre de sommes formées de deux diviseurs unitaires de $n$.
  • noix de totos
    noix de totos
    @Sylvain : $\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$, à ne pas confondre avec $\mu^\star(n) = (-1)^{\omega(n)}$. Toutefois, ces deux fonctions sont égales sur les entiers sans facteur carré.
  • Sylvain
    Sylvain
    Merci. Cette fonction fait pas mal parler d'elle en ce moment avec les travaux sur la conjecture de Chowla, notamment par Tao. J'ai vu aussi que M. Ram Murty et un autre auteur ont écrit un article proposant une conjecture permettant de lever la barrière de parité et ainsi prouver, peut-être, la conjecture des nombres premiers jumeaux.
  • depasse
    depasse
    @noix de totos

    Prenons le cas $n=12$:

    les diviseurs unitaires de $12$ sont $1,3,4,12$. L'ensemble de leurs sommes deux à deux est $\{2,6,8,24,4,5,13,7,15,16\}$ de cardinal $10$ ,
    tandis que $\{(u,v)=1; u\leq v; uv\mid 12\}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(1,12),(2,3),(3,4)\}$, si bien que $\{u+v;(u,v)=1; uv\mid 12\}=\{2,3,4,5,7,13,5,7\}=\{2,3,4,5,7,13\}$ est de cardinal $6$.

    Edit: rajout de $u \leq v$
  • noix de totos
    noix de totos
    En somme, quel est le cardinal que tu calcules ?

    De toute façon, ce n'est pas une fonction classique à ma connaissance. Maintenant, que cherches-tu ? Son ordre moyen ?
  • depasse
    depasse
    Bonjour,

    @noix de totos,

    pour tout $n\in {N^*} ,
    E(n):=\{u+v; (u,v)\in N^{*2}; u\wedge v=1; uv\mid n\},
    C(n):=$ le cardinal de $E(n)$.

    C'est la fonction $C$ qui me préoccupe... ou plutôt me préoccupait car il me semble maintenant que ma question n'a plus d'intérêt pour moi, a fortiori pour autrui! J'espérais pouvoir majorer $C$ plus finement que par $\frac{1}{2} (\tau^\star)^{-1}$, sur les $n$ qui ont beaucoup de diviseurs, mais j'ai l'impression qu'en prenant un $n$ sans facteur carré, avec chaque $p_i$ "bien plus grand" que les $p_j$ ($j<i$) on peut arriver à ce que toutes les sommes $u+v$ de deux diviseurs étrangers $(u\leq v)$ de $n$ soient distinctes. Quel verbiage fumeux!

    Merci pour ta patience!

    Paul
  • noix de totos
    noix de totos
    OK.

    D'une manière générale, il est souvent difficile, pour des fonctions associées à la fonction nombre de diviseurs, de faire beaucoup mieux qu'une majoration en $\ll n^\varepsilon$.
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