Nombres premiers de la forme f(n)

Piteux_gore · August 2017

Bonjour,

Existe-t-il une fonction f de N dans N telle que :
les nombres premiers de la forme p = f(n) sont en nombre fini ?

Une fonction autre que 2n, 3n, etc., bien entendu.

A+

LP · August 2017

Bonjour,
si $g$ est une fonction de $\N$ dans $\N$ et $k\geqslant 2$ est un nombre entier alors $f=kg$ doit faire l'affaire, non ?
LP

Piteux_gore · August 2017

RE

Une fonction autre que f(n) = k.g(n).

Par exemple, existe-t-il une fonction affine f(n) = an + b telle que les nombres premiers de la forme f(n) soient en nombre fini ?

A+

Rescassol · August 2017

Bonjour,

Quels que soient $a$ et $b$ premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers de la forme $an+b$ (Dirichlet si je me souviens bien).
Pour qu'il y en ait un nombre fini, il faut donc prendre $a=0$ ou $a$ premier, $n=1$, $b=0$.

Cordialement,

Rescassol

Sylvain · August 2017

Je confirme que ce théorème est dû à Dirichlet.

AD · August 2017

Bonsoir Piteuxgore
Toute fonction polynôme à coefficients entiers, ayant au moins deux racines entières.
Par exemple $f(n)=n^2-1$.
Alain

uvdose · August 2017

À noter que ça marche aussi avec certains polynômes de $\mathbb{Z}[X]$ irréductibles. Comme par exemple avec $f(n)=n^2+n+2$ (qui est pair pour tout $n$) ou avec $f(n)=n^3+3n^2+2n+12$ (qui est divisible par $6$ pour tout $n$). Néanmoins, la conjecture de Bouniakovski prévoit que seuls des exemples du type précédent peuvent fonctionner. La question de savoir s'il existe une infinité d'entiers premiers du type $n^2+1$ (problème n°4 de Landau) est toujours ouverte.

Nombres premiers de la forme f(n)

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