Une équation arithmétique

jamal.ossad · August 2017

Bonjour
J'ai un petit problème avec l'arithmétique, s'il vous plaît, je veux résoudre cette équation.

Déterminer $n$ dans $\mathbb{Z}$ tel que $3n+4 / 11n+8$

Merci d'avance. :-)

YvesM · August 2017

Bonjour,

Tu dois savoir lire et copier un énoncé correctement. Quel est l'énoncé ?

jamal.ossad · August 2017

Déterminer l'ensemble des $n$ entiers relatifs tels que : $11n+8$ soit divisible par $3n+4$.
merci pour votre reponse @YvesM .

YvesM · August 2017

Bonjour,

Essaie d'écrire, pour tout $\displaystyle n \in \N$, le rapport $\displaystyle {11n+8 \over 3n+4}$ comme la somme d'un entier et d'un nombre réel strictement plus petit que $1.$ Le seul nombre entier strictement plus petit que $1$ est $0.$ Conclus.

Pour t'aider un peu : $\displaystyle 11 = 3 \times 3 + 2.$

depasse · August 2017

N'oublions pas que $n$ est entier relatif: il peut être $0,-1,-2,-3,...$

Fin de partie · August 2017

Trouve un couple-solution simple en valeurs entières de l'équation $3x+11y=0$

PS:
Tu as besoin de savoir que:
Si m non nul divise a alors, pour tout b entier, m divise ab.
Si m non nul divise a et b alors m divise a+b

PS2:
Si mes calculs sont corrects il y a exactement 6 valeurs de n, entier relatif, qui conviennent.

jamal.ossad · August 2017

Bonjour, je voudrais avoir un peu plus de détails sur les solution.oui $n=2$ est une solution quand $n$ est un entier naturel mais puisque en travail dans l 'ensemble des nombres relatives j ai bloqué quand $n$ un nombre entier relative négative ,merci pour un peu plus de détails 8-)8-)8-)

Fin de partie · August 2017

a,b entiers non nuls.

pgcd(a,b)=a si et seulement si a divise b.

Comme déjà indiqué plus haut on peut faire disparaître les "n" de $3n+4$ et $11n+8$ mais bien sûr il faut faire ça proprement et je t'ai déjà donné une indication pour le faire. As-tu répondu à la question que je te posais plus haut, c'est à dire, trouve deux nombres entiers $x,y$ tels que $3x+11y=0$ ?

depasse · August 2017

Bonjour,

@jamal
quand Fdp parle d' "un couple simple", il veut dire, je crois, "simple mais quand-même pas $(0,0)$".

christophe c · August 2017

De mon téléphone: encore une question qui n'est pas posée conformément au désir de son auteur, la réponse, évidente, étant {n dans Z | 11n+8 divise 3n+4}.

Quelle contrainte veux-tu dans la forme donnée à l'ensemble des solutions?

Fin de partie · August 2017

Depasse:

C'est sûr que cette solution va beaucoup aider pour la suite de la résolution du problème.

depasse · August 2017

@Fdp,

je ne te cherchais absolument pas. Je me suis juste mis (en tout cas j'ai essayé) à la place de Jamal qui reçoit l'aide " Trouve un couple simple $(x,y)$ tel que $3x+11y=0$. Comme Jamal ne répondait pas, j'ai imaginé que, peut-être, il s'était dit que c'est de $(0,0)$ que tu voulais lui parler et qu'il ne voyait quoi faire de ton aide et perdait donc, dès lors, son temps à tenter de décoder un message sans information. C'est donc par pur altruisme que je suis intervenu, certain par ailleurs que nulle sottise, a fortiori perversion, ne t'avait fait omettre de déclarer: "autre que $(0,0)$". Juste un oubli.

Fin de partie · August 2017

Depasse:

On ne peut pas se mettre à la place des autres quand il s'agit de savoir ce qu'ils comprennent ou ne comprennent pas.
(le dialogue permet de se faire une idée mais sans plus)
Tout ce qu'on peut faire c'est d'être honnête: donner une indication en ayant en tête une solution qu'on sait correcte.

En l'occurrence, j'ai mené les calculs jusqu'au bout honnêtement et mon indication n'est pas (qu') un prétexte pour poster un message de plus. Je ne peux pas faire plus si ce n'est développer la solution (standard) à laquelle je pense. Cela attendra quelques temps si c'est encore d'actualité dans les heures qui viennent.

PS:
Je me demande s'il y a un passage dans la charte qui indique qu'on ne devrait donner une indication que si on est sûr et capable de développer réellement la solution esquissée.

jean-éric · August 2017

Bonjour,

j'aurai personnellement écrit $\frac{11n+8}{3n+4}=4-\frac{n+8}{3n+4}$ et en suite raisonné en distinguant deux cas : $n\in \mathbb{N}$ et $n<0$ pour savoir pour quelles valeurs de $n$, $\frac{n+8}{3n+4}$ n'est pas entier.

En plus condensé je résous l'inéquation $-1<\frac{n+8}{3n+4}<1$ dans $\mathbb{Z}$ en n'oubliant pas le cas $n=-8$.

Jean-éric

Fin de partie · August 2017

Puisque $11(3n+4)-3(11n+8)=20$ tout diviseur de $3n+4$ et de $11n+8$ divise $20$

Or, $3n+4$ divise $11n+8$ donc $3n+4$ est un diviseur de $3n+4$ et de $11n+8$ et par conséquent $3n+4$ divise $20$.

Il ne reste plus qu'à résoudre les équations $3n+4=d$ avec $d$ un entier qui divise $20$ et à ne conserver que les valeurs de $n$ qui conviennent.

jamal.ossad · August 2017

merci @Fin de partie c'est déja fait grace a votre indication .encore une fois, merci infiniment:-):-?(:P)

soland · August 2017

Autrement :
SI $z:=(11n+8)/(3n+4)\in\mathbb{Z}$, ALORS
$$
11-3\,\frac{11n+8}{3n+4} = \frac{20}{3n+4}\in\mathbb{Z} \qquad\text{Donc $3n+4$ est un diviseur de 20.}
$$
Soit $d:=(3n+4)$ un diviseur de 20. On a $n=(d-4)/3$, donc $d\equiv 1 \pmod{3}$.
Voici les diviseurs de 20 qui sont $\equiv 1 \pmod{3}$ : $-20, -5, -2, 1, 4, 10$.

Les $n$ correspondants sont $-8, -3, -2, -1, 0, 2$. Après vérification, toutes ces valeurs de $n$ conviennent.

Une équation arithmétique

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