Une équation arithmétique
dans Arithmétique
Bonjour
J'ai un petit problème avec l'arithmétique, s'il vous plaît, je veux résoudre cette équation.
Déterminer $n$ dans $\mathbb{Z}$ tel que $3n+4 / 11n+8$
Merci d'avance. :-)
J'ai un petit problème avec l'arithmétique, s'il vous plaît, je veux résoudre cette équation.
Déterminer $n$ dans $\mathbb{Z}$ tel que $3n+4 / 11n+8$
Merci d'avance. :-)
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Réponses
Tu dois savoir lire et copier un énoncé correctement. Quel est l'énoncé ?
merci pour votre reponse @YvesM .
Essaie d'écrire, pour tout $\displaystyle n \in \N$, le rapport $\displaystyle {11n+8 \over 3n+4}$ comme la somme d'un entier et d'un nombre réel strictement plus petit que $1.$ Le seul nombre entier strictement plus petit que $1$ est $0.$ Conclus.
Pour t'aider un peu : $\displaystyle 11 = 3 \times 3 + 2.$
PS:
Tu as besoin de savoir que:
Si m non nul divise a alors, pour tout b entier, m divise ab.
Si m non nul divise a et b alors m divise a+b
PS2:
Si mes calculs sont corrects il y a exactement 6 valeurs de n, entier relatif, qui conviennent.
pgcd(a,b)=a si et seulement si a divise b.
Comme déjà indiqué plus haut on peut faire disparaître les "n" de $3n+4$ et $11n+8$ mais bien sûr il faut faire ça proprement et je t'ai déjà donné une indication pour le faire. As-tu répondu à la question que je te posais plus haut, c'est à dire, trouve deux nombres entiers $x,y$ tels que $3x+11y=0$ ?
@jamal
quand Fdp parle d' "un couple simple", il veut dire, je crois, "simple mais quand-même pas $(0,0)$".
Quelle contrainte veux-tu dans la forme donnée à l'ensemble des solutions?
C'est sûr que cette solution va beaucoup aider pour la suite de la résolution du problème.
je ne te cherchais absolument pas. Je me suis juste mis (en tout cas j'ai essayé) à la place de Jamal qui reçoit l'aide " Trouve un couple simple $(x,y)$ tel que $3x+11y=0$. Comme Jamal ne répondait pas, j'ai imaginé que, peut-être, il s'était dit que c'est de $(0,0)$ que tu voulais lui parler et qu'il ne voyait quoi faire de ton aide et perdait donc, dès lors, son temps à tenter de décoder un message sans information. C'est donc par pur altruisme que je suis intervenu, certain par ailleurs que nulle sottise, a fortiori perversion, ne t'avait fait omettre de déclarer: "autre que $(0,0)$". Juste un oubli.
On ne peut pas se mettre à la place des autres quand il s'agit de savoir ce qu'ils comprennent ou ne comprennent pas.
(le dialogue permet de se faire une idée mais sans plus)
Tout ce qu'on peut faire c'est d'être honnête: donner une indication en ayant en tête une solution qu'on sait correcte.
En l'occurrence, j'ai mené les calculs jusqu'au bout honnêtement et mon indication n'est pas (qu') un prétexte pour poster un message de plus. Je ne peux pas faire plus si ce n'est développer la solution (standard) à laquelle je pense. Cela attendra quelques temps si c'est encore d'actualité dans les heures qui viennent.
PS:
Je me demande s'il y a un passage dans la charte qui indique qu'on ne devrait donner une indication que si on est sûr et capable de développer réellement la solution esquissée.
j'aurai personnellement écrit $\frac{11n+8}{3n+4}=4-\frac{n+8}{3n+4}$ et en suite raisonné en distinguant deux cas : $n\in \mathbb{N}$ et $n<0$ pour savoir pour quelles valeurs de $n$, $\frac{n+8}{3n+4}$ n'est pas entier.
En plus condensé je résous l'inéquation $-1<\frac{n+8}{3n+4}<1$ dans $\mathbb{Z}$ en n'oubliant pas le cas $n=-8$.
Jean-éric
Or, $3n+4$ divise $11n+8$ donc $3n+4$ est un diviseur de $3n+4$ et de $11n+8$ et par conséquent $3n+4$ divise $20$.
Il ne reste plus qu'à résoudre les équations $3n+4=d$ avec $d$ un entier qui divise $20$ et à ne conserver que les valeurs de $n$ qui conviennent.
SI $z:=(11n+8)/(3n+4)\in\mathbb{Z}$, ALORS
$$
11-3\,\frac{11n+8}{3n+4} = \frac{20}{3n+4}\in\mathbb{Z} \qquad\text{Donc $3n+4$ est un diviseur de 20.}
$$
Soit $d:=(3n+4)$ un diviseur de 20. On a $n=(d-4)/3$, donc $d\equiv 1 \pmod{3}$.
Voici les diviseurs de 20 qui sont $\equiv 1 \pmod{3}$ : $-20, -5, -2, 1, 4, 10$.
Les $n$ correspondants sont $-8, -3, -2, -1, 0, 2$. Après vérification, toutes ces valeurs de $n$ conviennent.