Une diophantienne

soland
soland
dans Arithmétique
Je l'ai résolue alors que j'étais trop jeune pour me soucier de mentionner les sources. $$
625+50(x+y)+x(x+3y)=0,\qquad\text{sur $\mathbb{Z}^2$}
$$

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    En réduisant classiquement l'équation de la conique et en posant $z=3x+50$, je trouve : $z(z+9y+50)=-625$, mais je ne jurerais pas de l'absence d'erreurs de calcul. Si c'est bon, ça donne a priori $10$ systèmes, dont on réduit le nombre par des considérations de divisibilité.
    À suivre...
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Ça m'a l'air bon et comme $z-50$ doit être multiple de $3$, ne restent pour $z$ que les $5$ valeurs : $-1,-25,-625,5,125$ au lieu des $10$ a priori.
    Merci soland, dommage pour l'absence de source, moi aussi j'avais autrefois l'insouciance de la jeunesse... Ça part et ça ne revient pas comme dit le César de Pagnol.
  • Chaurien
    Chaurien
    Si je ne me suis pas trompé il y a effectivement $5$ couples $(x,y)$ : $(-17,64),(-225,64),(-15,-20),(-225,-20),(-25,0)$. Il y a peut-être une solution plus simple...
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Et toi, comment as-tu fait ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Tiens, à cause de l'équation de Pell, j'attendais une infinité de solutions. Voici un dessin.66362
  • depasse
    depasse
    Bonjour,

    Sauf erreur, $(25,-20)$ est une solution.
    Cordialement
    Paul

    remarque: une voie (plus rapide?) consiste à réécrire l'équation $t^2=-y (3t-25)$ où $t:=x+25$.
    Une fois écartés les cas triviaux $(t,y)=(0,0)$ et $(t,y)=(8,64)$, on dit que tout diviseur premier de $3t-25$ est un diviseur premier de $t^2$, et donc de $t$, et donc de $25$. Ainsi $3t-25$ est une puissance de $5$ ou l'opposé d'une puissance de $5$.
  • soland
    soland
    Après avoir exprimé $-y$ en fonction de $x$ on met à contribution ce cher Euclide.
    Avec ce mentor, le résultat est alors à portée de baguette magique.
  • Math Coss
    Math Coss
    En effet ; en revanche, $(-225,-20)$ n'en est pas une (mais je maintiens mon dessin). C'est une faute de frappe de Chaurien, certainement.
  • depasse
    depasse
    Comme le dit Soland, dès qu'on a $t$ on a tout.
    Et l'ensemble des $t$ est $\{\frac{25+5^{2k+1}}{3}\}\cup\{\frac{25-5^{2k}}{3}\}$ où
    $k\in {N}$.
  • soland
    soland
    On a
    $$
    -9y = \frac{9(x+25)^2}{3x+50} \qquad\text{et}\qquad 9(x+25)^2-(3x+50)(3x+100) = 625=5^4
    $$
    Il ressort de la 1ère égalité que ${3x+50}$ divise $9(x+25)^2$, car $-9y$ est un entier,
    puis de la 2e que ${3x+50}$ est l'un des 10 diviseurs de $625$.
    La moitié de ces diviseurs s'éliminent avec un raisonnement$\pmod{3}$.
  • Chaurien
    Chaurien
    En effet, j'ai mal recopié mes solutions, qui sont : $(x,y)=(-17,64),(-225,64),(-15,-20),(25,-20),(-25,0)$, et j'espère que c'est enfin bon.
    L'appellation « équation de Pell » est unanimement reconnue comme erronée et doit être remplacée par « équation de Fermat ». Sa théorie s'appliquerait si la réduction de l'équation proposée donnait lieu à une équation $X^2-DY^2=m$, avec $D$ « libre de carré » ( puisqu'on me critique quand j'écris « quadratfrei », qui est pourtant bien joli :-D). Mais ici c'est $X^2-Y^2=m$, d'où un nombre fini de solutions en nombres entiers.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
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