pgcd entre deux sommes
dans Arithmétique
Bonjour
Exercice de pgcd, mais cette fois ce n'est pas le pgcd en lui même qui me dérange mais mais la suite elle même.
L'énoncé :
Sachant que n>2, calculer le pgcd de
1+2+3+...+n et 12017+22017+...+n2017
La première chose facile de dire que
1+2+3+...+n = n(n+1)/2
Mais pour la suite avec la puissance 2017 je n'ai aucune idée de comment faire avec
S'il vous plaît de l'aide.
Merci.
Exercice de pgcd, mais cette fois ce n'est pas le pgcd en lui même qui me dérange mais mais la suite elle même.
L'énoncé :
Sachant que n>2, calculer le pgcd de
1+2+3+...+n et 12017+22017+...+n2017
La première chose facile de dire que
1+2+3+...+n = n(n+1)/2
Mais pour la suite avec la puissance 2017 je n'ai aucune idée de comment faire avec
S'il vous plaît de l'aide.
Merci.
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Réponses
Numériquement, il semble que l'une des suites divise l'autre.
PS:
En conséquence, il faudrait distinguer deux cas:
n pair, n+1 pair.
Dans le premier cas, il faudrait calculer la somme des puissances de 2017 modulo n/2 et modulo n+1
Dans le deuxième cas,il faudrait calculer la somme des puissances de 2017 modulo n et modulo (n+1)/2.
(n et n+1 sont premiers entre eux. Ils ne peuvent pas être pairs tous les deux)
PS2:
Connaître le petit théorème de Fermat me semble être une aide utile.
Se rappeler que pour tout $x$ réels, $(-x)^{2017}=-x^{2017}$ me semble utile.
De même $n$ divise $2S_{n-1}$ donc également $2S_n$.
alors moi je n'ai pas encore étudier les modulo
un petit site serais utile je voudrais lire le cours
mais en prenant compte de ce que vous avez dis
je pense avoir quelque peut avancer
Alors pour l'exercice je l'ai fais en 2 cas
1/ cas ou n est pair
Nous avons 1^2017+2^2017+....+n^2017
Pour avoir la forme de l'identités remarquable
Je regroupe pour avoir
(1^2017+n^2017)+(2^2017+[n-1]^2017)+....
Comme n est pair donc il ne ya n/2 paires
En appliquant l'identité remarquable
On obtient :
1^2017+n^2017=(1+n)(n^2016-n^2015....+1)
(Je préfère nommer le 2eme diviseur X , puis pour les autres d'autres lettre pour ne pas réécrire tout le temps)
Donc 1+n^2017=(n+1)(X)
2^2017+(n-1)^2017=(2+n-1)(Y)
=(n+1)(Y)
Ainsi de suite
Pour avoir a la fin
1+2^2017+3^2017+...+n^2017= (n+1)(X+Y+Z.....)
d'un autre coté
avec les regroupement 1+n-1 et ...
On obtien
1+(n-1)^2017 +2^2017+(n-2)^2017....
Ce qui donne sans oublier le n et le terme du milieu
n(A)+n(B).....+ (n/2)^2017 + n^2017
Donc = n(A+B+C+....(n^2016/2^2017)+n^2016)
Donc = (n/2)(2A+2B+2C+.....(n^2016/2^2016) +2n^2016)
(Je ne sais pas si je peux faire ça)
Donc 1+2^2017+3^2017+..n^2017
Est divisible par n+1 et par n/2 dans le cas ou n est pair
Et nous avons 1+2+3+4+..+n est divisible par n/2 et n+1 seulement
Donc pgcd des deux somme est n(n+1)/2
Seulement si les deux termes sont premiers entre eux
J'ai cherché et trouvé comment prouver cela
Ce n'est pas tres difficile
n+1=n*1+1
n=1*n+0
Donc pgcd (n+1;n)=1
Donc pgcd de (n+1;n/2) aussi egale a 1
Donc le pgcd des deux sommes pour n pair est n(n+1)/2
Qui est par ailleurs 1+2+3+...+n
est ce que c'est juste ????
Autrement le reste m'a l'air d'aller dans la direction donnée par GBZM et me semble globalement correct.
Pour la rédaction cela me semble alourdir inutilement la démonstration l'emploi de ces X,Y..
PS:
On peut utiliser les congruences mais c'est peu différent de ton raisonnement.