Équation $a^4+b^2=4+c^3$

Bonjour,

En flânant, je suis tombé sur cette question posée (il y a plus de trois ans) sur MathOverflow et restée sans réponse. Connaissant le niveau de beaucoup d'intervenants sur MO, je tiens à avouer tout de suite que je n'espère pas vraiment trouver une solution au problème :-)
Malgré mon anglais catastrophique, il me semble avoir compris que l'auteur de la question n'a (en particulier) pas réussi à trouver de solution à l'équation diophantienne $x^4+y^4-z^3=4$. Je me suis demandé si l'on pouvait déjà trouver des solutions à celle-ci :

Bon, évacuons tout de suite les solutions "triviales" $(a,b,c)$ du type $(t^3,2,t^4)$, $t\in\mathbb{Z}$ et imposons à $b$ d'être supérieur ou égal à $3$. Le casse-tête suivant ne pose pas énormément de difficultés (avis aux amateurs) :

Exercice : montrer que $(\star)$ possède une infinité de solutions non triviales.

$\hookrightarrow$ En revanche, pour l'instant, je sèche sur cette question : $(\star)$ possède-t-elle une infinité de solutions avec $b$ impair ?

J'ai fait un programme qui m'a fourni la liste des quelques solutions vérifiant $c\leqslant30\,000$ :

$(44,349,157)\\
(22,3995,253)\\
(68,4911,357)\\
(22,239165,3853)\\
(206,249109,3997)\\
(410,206765,4141)\\
(342,354107,5181)\\
(466,1188067,11341)$

Tout coup de pouce sera le bienvenu.