Énoncé douteux

Je n'ai pas trop le temps de rédiger cela maintenant, mais, s'il s'agit de $\mathbb Q\cdot d^{1/2}$, il me semble qu'on peut le faire plus simplement, avec même $\lambda=0$, ce qui revient à ne pas introduire de terme correctif. Pour cela, commencer par remarquer que ${\rm tg}\, \ell a$ est dans ce sous-ensemble pour tout $\ell$ entier.

Voici une preuve, pour l'énoncé initial que j'ai proposé (tout douteux qu'il est) ; à noter qu'il s'agit bien de $\mathbf Q$ $\cdot\sqrt d$ et non pas ${\mathbf Q}[\sqrt d]$.

Cordialement, j__j

Je désigne par là le $\Q$--sev engendré par $\sqrt d$ (et non pas le sous-corps) ; ce n'est pas un choix, mais c'est l'énoncé que j'en avais !

Si ${\rm tg}\,a$ et ${\rm tg}\,b$ sont dans la droite, alors ${\rm tg}\,(a+b)$ aussi puisque le dénominateur de la formule est $1-{\rm tg}\,a\cdot{\rm tg}\,b$. On en conclut par récurrence sur $k$ que ${\rm tg}\,ka$ itou...

En revanche, tout se complique avec des $d^{1/4}$ ! Avec cela, je parviens seulement pour l'instant à mq les $\cos k\pi/q\in\Q[\sqrt d]$. Faut-il en outre utiliser le fait que l'automorphisme de l'énoncé permute les racines de l'équation $T_q(x)= (-1)^q$ ?

Me trompé-je si je dis que, si ${\rm tg}\,a=r_1\sqrt d$, alors ${\rm tg}\,ka=r(k)\sqrt d$, où $r(k+1)=(r_1+r(k))/(1-dr_1r(k))$ ? Ainsi, on reste bien dans la droite...

Cela dit, l'énoncé est ce qu'il est (je ne doute pas qu'il existe des résultats plus puissants, mais il s'agit d'un exo d'oral au niveau L2).

J'en conviens moi aussi ; il n'empêche que, même dans l'énoncé n°2, celui cité par etanche, il n'est question que de $\Q\cdot d^{1/4}$: le terme en facteur est dans $\Q$ et non pas dans une extension d'icelui.

En outre, comment fais-tu intervenir le déterminant (cf. supra) ? Il a pour effet de gommer la puissance de $d$ (le polynôme caractéristique aussi ; au reste, les matrices de cette forme, pour $a$ fixé, sont deux à deux semblables).

Je renonce à trouver une preuve du niveau L2 pour le cas ${\mathbf Q}[\sqrt d]\cdot\sqrt d$ mais (au niveau L3) ce qui suit me semble convaincant.

Supposons donc que $p\pi/q$ ait une tangente dans $K\cdot\sqrt d$, où $K={\mathbf Q}[\sqrt d]$ ; alors, il en va de même des $kp\pi/q$, du fait de la formule de multiplication des tangentes.Comme dans le premier cas étudié plus haut, on en déduit que $\cos p\pi/q$ est dans $K$ et donc que notre cosinus est de degré $\le2$ sur $\Q$. On en déduit que $\exp(2pi\pi/q)$ est de degré $\le4$ alors que l'on sait que cette exponentielle est de degré $\varphi(q)$. Comme $\varphi(q)\ge6$ lorsque $q$, impair, est $\ge7$, on voit qu'il ne reste plus qu'à étudier le cas où $q=3$ ou $q=5$.

Les $\cos p\pi/5$ sont bien dans une extension quadratique de $\Q$ (où $d=5$) mais les tangentes d'iceux ne me semblent pas de la forme correspondante.

Qu'en pensez-vous ? Cordialement, j__j