À propos de $\zeta$
dans Arithmétique
Bonjour,
J'ai une question de naïve ici.
A cause de cette video, Visualizing the Riemann zeta function, j'imagine la somme de l'écriture littérale de zêta comme représentant une spirale comme celles qui apparaissent dans la vidéo (on passe d'un côté de la spirale au suivant 1) en le translatant au bout de lui-même, 2) en le réduisant par une homothétie d'un certain coefficient et 3) en faisant tourner le plus petit vecteur qui a résulté de 1) et 2) d'un certain angle).
Du coup, (soit $s=a+ib$), dans $n^s=n^{a+ib}=n^a \times n^{ib}$, je considère la partie de puissance réelle pure $n^a$ comme un vecteur d'une certaine longueur et la partie de puissance imaginaire pure $n^{ib}$ comme la rotation dont il faut faire tourner ce vecteur.
On a :
$\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{-s}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^a n^{ib}$
d'une part, et
$\zeta(1-s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{1-s}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{1-a} n^{-ib}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{n}{n^a} n^{-ib}$ d'autre part.
Il y a entre deux côtés successifs de la deuxième spirale le même angle qu'entre les deux côtés successifs correspondants de la première spirale sauf que la seconde spirale tourne dans le sens inverse de la première selon une sorte de symétrie par rapport à l'axe des réels (des $n^{-ib}$ dans la spirale de $\zeta(1-s)$ correspondant aux $n^{ib}$ dans la spirale de $\zeta(s)$).
J'ai cru comprendre que si $\zeta(s)$ est nulle, $\zeta(1-s)$ l'est aussi ([small]ce qui n'entraîne pas que $a=1-a$ dans mes égalités, dommage, ça entraînerait $a=\displaystyle\frac{1}{2}$ [/small]).
Pourriez-vous me dire si c'est fondé d'exprimer $\zeta(1-s)$ ainsi, si c'est fondé d'imaginer des spirales et si oui, comment relier mes deux expressions de $\zeta(s)$ et $\zeta(1-s)$ à l'équation fonctionnelle : $$
\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\Big(\frac{\pi s}{2}\Big)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
$$ Merci.
Bonne journée.
Aline
J'ai une question de naïve ici.
A cause de cette video, Visualizing the Riemann zeta function, j'imagine la somme de l'écriture littérale de zêta comme représentant une spirale comme celles qui apparaissent dans la vidéo (on passe d'un côté de la spirale au suivant 1) en le translatant au bout de lui-même, 2) en le réduisant par une homothétie d'un certain coefficient et 3) en faisant tourner le plus petit vecteur qui a résulté de 1) et 2) d'un certain angle).
Du coup, (soit $s=a+ib$), dans $n^s=n^{a+ib}=n^a \times n^{ib}$, je considère la partie de puissance réelle pure $n^a$ comme un vecteur d'une certaine longueur et la partie de puissance imaginaire pure $n^{ib}$ comme la rotation dont il faut faire tourner ce vecteur.
On a :
$\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{-s}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^a n^{ib}$
d'une part, et
$\zeta(1-s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{1-s}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{1-a} n^{-ib}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{n}{n^a} n^{-ib}$ d'autre part.
Il y a entre deux côtés successifs de la deuxième spirale le même angle qu'entre les deux côtés successifs correspondants de la première spirale sauf que la seconde spirale tourne dans le sens inverse de la première selon une sorte de symétrie par rapport à l'axe des réels (des $n^{-ib}$ dans la spirale de $\zeta(1-s)$ correspondant aux $n^{ib}$ dans la spirale de $\zeta(s)$).
J'ai cru comprendre que si $\zeta(s)$ est nulle, $\zeta(1-s)$ l'est aussi ([small]ce qui n'entraîne pas que $a=1-a$ dans mes égalités, dommage, ça entraînerait $a=\displaystyle\frac{1}{2}$ [/small]).
Pourriez-vous me dire si c'est fondé d'exprimer $\zeta(1-s)$ ainsi, si c'est fondé d'imaginer des spirales et si oui, comment relier mes deux expressions de $\zeta(s)$ et $\zeta(1-s)$ à l'équation fonctionnelle : $$
\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\Big(\frac{\pi s}{2}\Big)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
$$ Merci.
Bonne journée.
Aline
Réponses
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Il est faux de dire que $\zeta(s)=0$ implique $\zeta(1-s)=0$ (par exemple $\zeta(-2)=0$ alors que $\zeta(3)$ est un réel irrationnel...). Cela est vrai pour $0 < \mathfrak{Re}(s) < 1$ seulement, et provient de l'équation fonctionnelle dont tu parles. Je doute que l'on puisse établir cette équation fonctionnelle géométriquement !
Il faut prendre garde au fait que les valeurs de $\zeta$ ne sont données par la série dont tu parles que pour les parties réelles $> 1$ aussi. -
Bonjour,
Merci de la réponse. Je note bien que l'annulation simultanée pour $s$ et $1-s$ n'a lieu que dans la bande critique $\mathfrak{Re}(s) \in \;]0,1[$. Je comprends du reste du message que l'interprétation géométrique peut se faire pour $\mathfrak{Re}(s) > 1$ mais pas en deça dans la bande critique. Du coup, dans l'équation fonctionnelle, il ne faut pas prendre l'expression de $\zeta(1-s)$ que j'ai fournie, c'est ça ? Merci.
Cordialement,
Aline -
Par contre on a bien $ \xi(s)=\xi(1-s) $ avec $ \xi(s)=s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) $ .
-
Merci Sylvain.
-
Si tu appliques l'équation fonctionnelle sous la forme $$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}sin\left(\displaystyle\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$$ avec $\mathfrak{Re}(s) > 1$, il ne faut bien sûr pas dire que $\zeta(1-s)$ est donnée par la somme de la série usuelle puisque celle-ci diverge... En fait l'équation fonctionnelle est un moyen de définir $\zeta(s)$ pour $\mathfrak{Re}(s) \leq 0$ (sauf en $1$) où la série initiale diverge (il faut au préalable prolonger $\zeta$ jusqu'à la partie réelle $0$, mais c'est une broutille avec une formule intégrale). On parle de prolongement analytique.
Il faut également faire attention au facteur $\Gamma(1-s)$, qui n'est pas, si $\mathfrak{Re}(s) \geq 1$, donné par l'intégrale à paramètres usuelle définissant $\Gamma$, mais bien le prolongement analytique de $\Gamma$ aux complexes de partie réelle négative (privés de $-\mathbb N$). -
Bonjour,
Merci Poirot.
Je ne comprends pas : j'aurais pensé que le prolongement analytique permettait d'obtenir les valeurs en des points où ça divergerait à partir de valeurs en des points où ça convergerait. Dans la video, ils expliquent que ça converge à droite de la droite verticale partie réelle 1. Si je veux obtenir la valeur en un point en deça de cette droite, par exemple 1/3+4i, l'équation fonctionnelle exprime la valeur en ce point en fonction de celle en un point (2/3-4i) qui est aussi en deça de la droite, comment faire ? Comment font-ils pour calculer les valeurs pour les points d'abscisse réelle entre 0 et 1 en utilisant l'équation fonctionnelle ?
Tant pis.
Cordialement,
Aline -
En effet, il faut commencer par prolonger $\zeta$ sur le demi-plan $\Re(s)>0$ et montrer que l'équation fonctionnelle est satisfaite dans ce demi-plan. Wikipedia donne deux façons de prolonger : avec la formule sommatoire d'Abel ou avec la fonction $\eta$ de Dirichlet.
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@Aline Delves : En effet la bande critique des complexes de partie réelle entre $0$ et $1$ est stable par la transformation $s \mapsto 1-s$. Il n'y a pas d'incohérence, je dis juste que pour connaître $\zeta(z)$ où $\mathfrak{Re} z < 0$, il faut utiliser l'équation fonctionnelle avec $s = 1-z$ qui a une partie réelle $> 1$.
Imaginons que l'on ne connaisse que la série initiale et l'équation fonctionnelle, on n'obtiendrait alors que les valeurs de $\zeta$ en des complexes de partie réelle $> 1$ et $< 0$, ce qui laisse de côté toute la bande critique ! Il faut donc au moins connaître "initialement" (c'est-à-dire avant de s'amuser avec l'équation fonctionnelle) le prolongement analytique de $\zeta$ aux complexes de partie réelle $\geq \frac{1}{2}$. Pour ces valeurs-là, ce n'est pas l'équation fonctionnelle qui nous aide, mais un argument (simple) séparé. -
En effet, il n'y a pas d'incohérence. Remarquons toutefois que s'il s'agissait de prolonger la fonction $\zeta$ définie sur le demi-plan $\Re(s)>1$ en une fonction définie sur la réunion de deux demi-plans $\{s,\ \Re(s)<0\ \text{ou}\ \Re(s)>1\}$, il serait plus économique de poser $\zeta(s)=2$ lorsque $\Re(s)<0$.
Ce qui justifie l'usage de la relation fonctionnelle compliquée, c'est que la fonction $\zeta$ a été prolongée sur le demi-plan $\Re(s)>0$ et que le domaine final est connexe, au contraire du complémentaire de la bande critique. -
Merci pour vos réponses, elles sont éclairantes. Je voulais savoir si l'idée géométrique des spirales était utilisable dans la bande critique et ça n'est pas le cas. J'ai passé en pdf la preuve pour l'équation fonctionnelle trouvée sur l'article de wikipedia concernant la fonction zêta et en bas de page, j'ai noté pour m'en souvenir (s'il en était besoin) la formule qui semblerait la plus facile à utiliser. La formule "qui converge rapidement", je l'avais trouvée sur un autre forum à cette adresse : convergence plus rapide mais comme les sommes sont alternées, l'idée de spirale n'est plus adaptée du tout.
Bonne journée.
Aline
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