Comment résoudre cette diophantienne ?
dans Arithmétique
Les substitutions
$$\begin{array}{ccccc}
x & \leftarrow & p+13 & , & p & \leftarrow & 4u+v \\
y & \leftarrow & q+6 & , & q & \leftarrow & u+v
\end{array}$$
transforment l'équation donnée
$29+2x-x^2+20y+4xy-6y^2=0\quad$ en $\quad 3\cdot(34-2u^2-v^2)=0$.
Cette dernière admet comme solution entière évidente $u=3$, $v=4$,
d'où une solution entière particulière $x=29$ et $y=13$ de l'équation proposée.
On peut paramétrer l'ellipse donnée via une droite de pente variable passant
par $(29, 13)$, ce qui donne facilement les solutions rationnelles.
Mais comment obtenir les solutions entières ??
(Autrement que par un scan informatique.)
$$\begin{array}{ccccc}
x & \leftarrow & p+13 & , & p & \leftarrow & 4u+v \\
y & \leftarrow & q+6 & , & q & \leftarrow & u+v
\end{array}$$
transforment l'équation donnée
$29+2x-x^2+20y+4xy-6y^2=0\quad$ en $\quad 3\cdot(34-2u^2-v^2)=0$.
Cette dernière admet comme solution entière évidente $u=3$, $v=4$,
d'où une solution entière particulière $x=29$ et $y=13$ de l'équation proposée.
On peut paramétrer l'ellipse donnée via une droite de pente variable passant
par $(29, 13)$, ce qui donne facilement les solutions rationnelles.
Mais comment obtenir les solutions entières ??
(Autrement que par un scan informatique.)
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Pour préciser la réponse de Nicolas, une seule solution, par scan de ... deux valeurs de $u$.
$$\ell^2+2m^2=102\;,$$
où $\ell=x-2y-1$ et $m=y-6$, ce qui s'inverse en $y=m+6$ et $x=\ell+2m+13$.
On peut remarquer que pour toute solution entière, $\ell$ est forcément pair. Posant $\ell=2k$, on arrive à
$$2k^2+m^2=51\;.$$
Sans ordinateur, on peut voir que les doubles de carrés inférieurs ou égaux à $51$ sont $0,2,8,18,32,50$. Parmi ceux-ci, les seuls dont les compléments à $51$ sont des carrés sont $2$ et $50$. On obtient donc huit couples solutions pour $(k,m)$ : $(1,7),(-1,7),(-1,-7),(1,-7),(5,1),(-5,1),(-5,-1),(5,-1)$, d'où les huit solutions entières de l'équation de départ :
$$(29,13),(25,13),(-3,-1),(1,-1),(25,7),(5,7),(1,5),(21,5)\;.$$
Celle-la, je sais la résoudre.
Comment résoudre $2u^2+v^2=n$ ?
Par exemple, pour $2k^2+m^2=51$, les facteur premiers $3$ et $17$ se décomposent sur $\Z[i\sqrt2]$ :
$3=(1+i\sqrt2)(1-i\sqrt2)$ et $17=(3+2i\sqrt2)(3-2i\sqrt2)$.
Les huit éléments de $\Z[i\sqrt2]$ dont la norme est $51$ s'en déduisent facilement.
Si on attrape facilement une racine carrée $z$ de $-2$ modulo le premier $p$ (pour $p$ congru à $1$ modulo $8$, c'est assez facile, pour $p$ congru à $3$ je ne sais pas) on peut obtenir la représentation $p=2u^2+v^2$ en calculant le pgcd de $p$ et de $z+i\sqrt2$ dans $\Z[i\sqrt2]$.
Tout ça doit être très classique, mais je n'ai pas de référence d'arithmétique sous la main.
$$2u^2+v^2= 56075093021523\;.$$
Cordialement,
Rescassol
Et celle-ci :
$$2u^2+v^2=1606938044258990275541962092341162602522202993782792835302073\;{?}$$
Que $p$ soit congru à $1$ modulo $8$ n'est pas un mystère : il suffit de regarder les trois derniers chiffres (car $8\mid1000$) et $73\equiv1\ [8]$.
À la recherche d'une racine $z$ de $-2$. Pour tout $a\in\mathbf{F}_p^*$, $a^{(p-1)/8}$ est une racine huitième de l'unité. Pour l'intuition géométrique, passons provisoirement chez les complexes : si $\zeta=\exp(i\pi/4)$, $\zeta-\zeta^{-1}=i\sqrt{2}$, qui est une racine carrée de $-2$. Plus généralement, si $\zeta$ est une racine primitive huitième de l'unité dans un corps à peu près quelconque, c'est-à-dire une racine de $X^4+1$, on a : $$(\zeta-\zeta^{-1})^2=\zeta^2+\zeta^{-2}-2=\frac{\zeta^4+1}{\zeta^2}-2=-2.$$
Pour les racines non primitives, $\zeta-\zeta^{-1}$ n'est pas une racine carré de $-2$. La recherche de $a$ consiste donc à parcourir des racines huitièmes de l'unité et à attendre de tomber sur une racine primitive, ce qui arrive tôt ou tard. Si j'étais plus sérieux, je reconnaîtrais sûrement une démonstration de la deuxième loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique.
On sait donc que $p$ divise $z^2+2=(z+i\sqrt2)(z-i\sqrt2)$. Mais $p$ n'est pas premier dans $\Z[i\sqrt2]$. S'il l'était, il diviserait l'un des deux facteurs $z\pm i\sqrt2$ et donc il diviserait l'autre (conjuguer $z\pm i\sqrt2=pk$), donc la différence $2i\sqrt2$, ce qui est absurde pour des raisons de norme. Ainsi, on peut écrire $p=(ui\sqrt2+v)(-ui\sqrt2+v)=U\bar{U}$, alors $z+i\sqrt2$ est divisible par $U$ ou $\bar U$ (mais pas par $p$, on vient de le voir), ce qui permet bien de retrouver $u$ et $v$ avec le PGCD de $p$ et $z+i\sqrt{2}$.
Edit: Pour illustrer cette différence de complexité, j'ai pris un nombre premier $p$ congru à $1$ mod $8$ avec $400$ chiffres environ. La factorisation de $p$ dans $\Z[i\sqrt{2}]$ prend un peu plus 11 secondes ; le calcul du PGCD de $p$ et $z+i\sqrt2$ prend moins de 3 centièmes de seconde !