Comment résoudre cette diophantienne ?

2u²+v²=34, ça ne laisse pas beaucoup de possibilités.

Il n'y a pas beaucoup de carrés pairs inférieurs à 34.

$-2$ est un carré modulo le premier impair $p$ si et seulement si $p$ est congru à $1$ ou $3$ modulo $8$. On peut donc facilement, à partir d'une décomposition de $n$ en facteurs premiers, décider si $2u^2+v^2=n$ a une solution entière, et si oui compter le nombre de ces solutions.
Si on attrape facilement une racine carrée $z$ de $-2$ modulo le premier $p$ (pour $p$ congru à $1$ modulo $8$, c'est assez facile, pour $p$ congru à $3$ je ne sais pas) on peut obtenir la représentation $p=2u^2+v^2$ en calculant le pgcd de $p$ et de $z+i\sqrt2$ dans $\Z[i\sqrt2]$.
Tout ça doit être très classique, mais je n'ai pas de référence d'arithmétique sous la main.

Bonjour,

u=515093      v=7452815
u=966443      v=7362545
u=5140241     v=1797481
u=5230511     v=1165591

Cordialement,

Rescassol

u = 377613022076222921775080530684
v = 1149675978428667629340497203269

Non, cette fois-ci j'ai utilisé directement la fonction "factor" dans l'anneau $\Z[i\sqrt{2}]$. Au lieu de prendre un temps littéralement infini, la réponse a été instantanée (60 chiffres sans frémir).

sage: A = NumberField(x^2+2,'r').maximal_order()
sage: factor(A(1606938044258990275541962092341162602522202993782792835302073))
(-1) * (377613022076222921775080530684*r - 1149675978428667629340497203269) * (377613022076222921775080530684*r + 1149675978428667629340497203269)

NB : comme on n'a que deux facteurs, l'entier initial est premier dans $\Z$.

J'apprends en m'amusant...

Que $p$ soit congru à $1$ modulo $8$ n'est pas un mystère : il suffit de regarder les trois derniers chiffres (car $8\mid1000$) et $73\equiv1\ [8]$.

À la recherche d'une racine $z$ de $-2$. Pour tout $a\in\mathbf{F}_p^*$, $a^{(p-1)/8}$ est une racine huitième de l'unité. Pour l'intuition géométrique, passons provisoirement chez les complexes : si $\zeta=\exp(i\pi/4)$, $\zeta-\zeta^{-1}=i\sqrt{2}$, qui est une racine carrée de $-2$. Plus généralement, si $\zeta$ est une racine primitive huitième de l'unité dans un corps à peu près quelconque, c'est-à-dire une racine de $X^4+1$, on a : $$(\zeta-\zeta^{-1})^2=\zeta^2+\zeta^{-2}-2=\frac{\zeta^4+1}{\zeta^2}-2=-2.$$
Pour les racines non primitives, $\zeta-\zeta^{-1}$ n'est pas une racine carré de $-2$. La recherche de $a$ consiste donc à parcourir des racines huitièmes de l'unité et à attendre de tomber sur une racine primitive, ce qui arrive tôt ou tard. Si j'étais plus sérieux, je reconnaîtrais sûrement une démonstration de la deuxième loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique.

On sait donc que $p$ divise $z^2+2=(z+i\sqrt2)(z-i\sqrt2)$. Mais $p$ n'est pas premier dans $\Z[i\sqrt2]$. S'il l'était, il diviserait l'un des deux facteurs $z\pm i\sqrt2$ et donc il diviserait l'autre (conjuguer $z\pm i\sqrt2=pk$), donc la différence $2i\sqrt2$, ce qui est absurde pour des raisons de norme. Ainsi, on peut écrire $p=(ui\sqrt2+v)(-ui\sqrt2+v)=U\bar{U}$, alors $z+i\sqrt2$ est divisible par $U$ ou $\bar U$ (mais pas par $p$, on vient de le voir), ce qui permet bien de retrouver $u$ et $v$ avec le PGCD de $p$ et $z+i\sqrt{2}$.

p = 1606938044258990275541962092341162602522202993782792835302073
k = int((p-1)/8)
A = NumberField(x^2+2,'r2').maximal_order()
for a in range(1,10):
    if ((power_mod(ZZ(a),k,p)-power_mod(ZZ(a),-k,p))^2+2)%p==0:
        print a
### 3, 5 et 6 marchent
z = (power_mod(3,k,p)-power_mod(3,-k,p))%p
print z, (z^2+2)%p
### z est un nombre à 60 chiffres environ
(z+A('r2')).gcd(A(p))
### renvoie 377613022076222921775080530684*r2 - 1149675978428667629340497203269
print 377613022076222921775080530684^2*2+1149675978428667629340497203269^2-p
### affiche 0

Et qu'en pense Soland, qui a initié ce fil et qui voulait une méthode générale ?