Dans le mille !
dans Arithmétique
On multiple la matrice $1\times 10$
$$\begin{pmatrix}
292 & 483 & 501 & 511 & 613 & 681 & 705 & 753 & 754 & 977
\end{pmatrix}$$
avec une matrice $10\times 1$ dont les entrées, non toutes nulles, valent toutes $\,1\,$, $\,-1\,$ ou $\,0\,$.
L'unique entrée du résultat peut-elle être un multiple de 1000 ou de 1001 ?
P.S. En moins de $3^{10}$ essais, svp.
$$\begin{pmatrix}
292 & 483 & 501 & 511 & 613 & 681 & 705 & 753 & 754 & 977
\end{pmatrix}$$
avec une matrice $10\times 1$ dont les entrées, non toutes nulles, valent toutes $\,1\,$, $\,-1\,$ ou $\,0\,$.
L'unique entrée du résultat peut-elle être un multiple de 1000 ou de 1001 ?
P.S. En moins de $3^{10}$ essais, svp.
Réponses
-
Sans aucun essai : oui et oui :-)
Indication : l'application qui va de $\{0,1\}^{10}$ dans $\mathbb{Z}$, qui à $(a_1,\cdots,a_{10})$ associe le reste de la division euclidienne de $292a_1+483a_2+501a_3+511a_4+613a_5+681a_6+705a_7+753a_8+754a_9+977a_{10}$ par $1000$ (resp. $1001$) ne peut pas être injective. -
$-681+705+753-754+977=1000$
$-681+705+977=1001$ -
À moins que tu te contentes de $292+613-681+753-977=0$.
-
Mais oui, c'est correct.
-
Malgré l'injonction, je n'ai pas pu m'empêcher de faire $3^{10}$ tests. Voici en principe toutes les réponses.
+292 +613 -681 +753 -977 = 0 +292 -483 +501 +511 +613 -681 -753 = 0 -292 +483 -501 -511 -613 +681 +753 = 0 -292 -613 +681 -753 +977 = 0 +483 -613 -681 -705 -753 -754 -977 = -4000 +292 +511 +681 -753 -754 -977 = -1000 +292 -483 +501 -511 +613 -681 -754 -977 = -2000 +292 -483 +511 -613 -681 +705 -754 -977 = -2000 -292 -483 +613 +681 +705 +753 -977 = 1000 +681 -705 -753 +754 -977 = -1000 -292 +483 +501 +511 -613 +681 +705 -753 +754 -977 = 1000 -483 -613 -681 +754 -977 = -2000 +292 +483 +501 -511 +705 +753 +754 -977 = 2000 +483 -501 -511 +613 +681 +705 +753 +754 -977 = 2000 +292 -501 -511 +613 -681 -705 -753 -754 = -3000 -483 +501 -511 -753 -754 = -2000 -292 -483 -501 -511 +613 +681 -753 -754 = -2000 +483 -681 +705 -753 -754 = -1000 -483 -501 +511 +613 -681 -705 -754 = -2000 -613 -681 -705 +753 -754 = -2000 +292 -483 +511 +681 +753 -754 = 1000 -292 +483 -511 -681 -753 +754 = -1000 +613 +681 +705 -753 +754 = 2000 +483 +501 -511 -613 +681 +705 +754 = 2000 -483 +681 -705 +753 +754 = 1000 +292 +483 +501 +511 -613 -681 +753 +754 = 2000 +483 -501 +511 +753 +754 = 2000 -292 +501 +511 -613 +681 +705 +753 +754 = 3000 -483 +501 +511 -613 -681 -705 -753 -754 +977 = -2000 -292 -483 -501 +511 -705 -753 -754 +977 = -2000 +483 +613 +681 -754 +977 = 2000 +292 -483 -501 -511 +613 -681 -705 +753 -754 +977 = -1000 -681 +705 +753 -754 +977 = 1000 +292 +483 -613 -681 -705 -753 +977 = -1000 -292 +483 -511 +613 +681 -705 +754 +977 = 2000 -292 +483 -501 +511 -613 +681 +754 +977 = 2000 -292 -511 -681 +753 +754 +977 = 1000 -483 +613 +681 +705 +753 +754 +977 = 4000 +292 -483 -501 -511 -613 -705 -753 -754 -977 = -5005 +292 +483 -613 -681 -753 -754 -977 = -3003 -292 -483 +501 -613 -681 -705 -754 -977 = -4004 -292 -483 -501 -613 -681 -705 -753 -977 = -5005 +501 +613 -681 -705 -753 -977 = -2002 +292 -483 +501 +511 +613 -705 -753 -977 = -1001 -292 +483 -511 -705 -977 = -2002 +681 -705 -977 = -1001 +483 -511 -613 -681 -705 -753 +754 -977 = -3003 +292 -613 -705 -753 +754 -977 = -2002 -292 -483 +613 +681 +705 +754 -977 = 1001 +292 +483 -501 -511 -613 -681 +753 +754 -977 = -1001 -292 +501 -511 -613 +681 +705 +753 +754 -977 = 1001 +292 -483 -501 -511 -613 -681 -753 -754 = -4004 -292 +613 +681 +753 -754 = 1001 -292 +483 -511 -681 = -1001 +292 -483 +511 +681 = 1001 +292 -613 -681 -753 +754 = -1001 -292 +483 +501 +511 +613 +681 +753 +754 = 4004 +292 -501 +511 +613 -681 -705 -753 -754 +977 = -1001 -292 -483 +501 +511 +613 +681 -753 -754 +977 = 1001 +292 +483 -613 -681 -705 -754 +977 = -1001 -292 +613 +705 +753 -754 +977 = 2002 -483 +511 +613 +681 +705 +753 -754 +977 = 3003 -681 +705 +977 = 1001 +292 -483 +511 +705 +977 = 2002 -292 +483 -501 -511 -613 +705 +753 +977 = 1001 -501 -613 +681 +705 +753 +977 = 2002 +292 +483 +501 +613 +681 +705 +753 +977 = 5005 +292 +483 -501 +613 +681 +705 +754 +977 = 4004 -292 -483 +613 +681 +753 +754 +977 = 3003 -292 +483 +501 +511 +613 +705 +753 +754 +977 = 5005
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