Écarts entre premiers en log^{a}

Bonjour,

Soit pour $ 0\le\alpha\le 1 $ la quantité $ I_{\alpha}(x) : =\dfrac{\sharp\{n\le x,\log^{1-\alpha}n\le p_{n+1}-p_{n}\le\log^{1+\alpha}n\}}{\pi(x)} $ et $ J(\alpha)=\lim_{x\to\infty}I_{\alpha}(x) $.

Sous la conjecture de Cramer on a $J(1)=1 $ .

Y a-t-il une heuristique donnant la valeur de $ \alpha_{0} $ tel que $J(\alpha_{0})=1/2 $ ?