conjecture nombres premiers

alain sabbah · August 2017

Bonjour a tous.

il me semble avoir trouvé une conjecture intéressante sur les nombres premiers et je voulais vérifier avec vous sa validité. Je l'ai testée pour des grands nombres,

Voici l'énoncé de la conjecture:

Tout entier naturel pair n>2 s'écrit comme étant la différence de deux nombre premiers p et q avec p<2n et q<n

Je vous remercie de m’informer si cette conjecture existe déjà et de sa validité.

uvdose · August 2017

C'est une conjecture séduisante. Peut-être a-t-elle déjà été formulée par quelqu'un d'autre.
Tu l'as vérifiée informatiquement jusqu'où ?
Quoi qu'il en soit, si elle vraie, elle doit être très difficile à prouver ! Regarde par exemple ici.

Sylvain · August 2017

C'est une version un peu différente de la conjecture de Polignac qui dit que tout nombre pair d s'écrit d'une infinité de façons différentes comme la différence de nombres premiers consécutifs.

alain sabbah · August 2017

Je vous remercie de vos réponses et de l’intérêt que vous avez portez a cette conjecture

J'ai bien vérifié cette conjecture pour des grands nombres premiers, mais il me faut un générateur de nombre premiers pour faire la vérification systématique sur ordinateur.

En ce qui concerne la conjecture de Polignac : tout nombre paire d s'écrit d'une infinité de façons différentes comme la différence de nombres premiers consécutifs.

Les nombres premiers du conjecture de Polignac sont consécutifs et ne sont pas forcement dans l’intervalle [0,2n], n étant un entier paire.

A mon sens, cette conjecture ressemble plutôt à celle de Goldbach.
Conjecture Goldbach : Pour tout nombre paire n, il existe deux nombres premiers p et q dans l’intervalle [0,n] avec p+q=n

La conjecture énoncée ci-dessus peut aussi s’écrire : Pour tout nombre pair n, il existe deux nombres premiers p et q dans l’intervalle [0,2n] avec p-q=n.

marco · August 2017

Bonjour,

La conjecture est vérifiée au moins jusqu'à $n=12\times10^6$.

Fin de partie · August 2017

J'ai écrit rapidement un petit programme (pour GP PARI programme libre) pour tester sur des petites valeurs cette conjecture.
(le programme n'est pas optimisé du tout)

forstep(n=4,100000,2,r=primes([2,n]);f=0;for(m=1,length(r),if(isprime(n+r[m])==1,f=1;break));if(f==0,print(n," NOK")));

Si vous avez des doutes sur son fonctionnement une version qui affiche les couples de pairs (p,q):

forstep(n=4,100000,2,r=primes([2,n]);f=0;for(m=1,length(r),if(isprime(n+r[m])==1,print(n," ",n+r[m]," ",r[m]);f=1;break));if(f==0,print(n," NOK")));

NB:
La fonction primes([2,n]) renvoie sous forme de tableau tous les nombres premiers entre 2 et n
length() renvoie la longueur du tableau ici.

Pour chaque nombre pair n compris entre 4 et 100000 on fait la liste des nombres premiers entre 2 et n.
On considère que ces nombres sont des q potentiels (n=p+q)
Pour chacun de ces q on regarde si q+n est un nombre premier (qui est nécessairement plus petit que 2n) si c'est le cas on affiche (n,p,q) avec n=p+q ou pas et on passe au n suivant. Si aucuns des q potentiels ne conviennent on affiche le message "n NOK".

Breyer · August 2017

A priori cette conjecture est équivalente à a(n)<=n où a est ici.

Fin de partie · August 2017

Au moins c'est une conjecture qui n'est pas démentie pour une très faible valeur de $n$.
(j'ai testé jusqu'à n=$10^6$)

alain sabbah · August 2017

Bonjour a tous

Je vous remercie infiniment pour votre assistance.

J'ai pu vérifier grâce a GP PARIS la validité de la conjecture pour quelques intervalles de 100000 au delà de 12,000,000.

Malheureusement mon ordinateur se bloque au delà de 12,000,000

Dois-je m'adresser au laboratoir de Université Bordeaux I, pour verifier la Conjecture pour des valeurs considerables.

alain sabbah · August 2017

On pourrait également vérifier numériquement que le nombre de couples (p,q) qui vérifie la conjecture pour n donné, ne peut qu'augmenter avec n et tendre donc vers l'infinie.

Qu'en pensez vous?

conjecture nombres premiers

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Bonjour!

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