Trois pêcheurs
dans Arithmétique
Bonjour,
exercice :
partie-1:
Je vous partage cet exercice fascinant,
Trois amis sont partis à la pêche. Ils ont un seul panier commun pour mettre leur pêche (les poissons pêchés). Après des heures de pêche, à la nuit tombée, les trois pêcheurs s'endorment.
- Durant la nuit l'un des trois se réveille, ayant faim , et ne voulant pas déranger ses deux amis endormis , il partage le panier de poissons en trois parts égales, lui restant 1 poisson , il le jette à la mer, il grille sa part de poisson la mange et remet les 2 parts de ses deux amis dans le panier et se rendormit.
-Le deuxième se réveille a son tour; il a faim aussi. Ne sachant pas que l'un de ses amis a déjà mangé sa part de poisson, il fait pareil: partageant le panier en 3 parts égales. Lui restant 1 poisson le balance à la mer, mange sa part et remet les 2 parts de ses deux amis dans le panier et se rendormit.
- Le troisième se réveille enfin à son tour, il fait la même chose.
Le matin les trois amis se réveillent et trouvent un nombre de poisson, il décident de le vendre.
questions:
1- Combien de poissons font la pêche (P) ? (avant le réveil du premier ami), nombre de poissons péchés.
2- Combien de poissons font la vente (V) ? (le nombre de poissons restant dans le panier le matin pour les vendre)
3- que'ce-qu'il se passe quand la pêche P est inférieure ou égale à 5 poissons ?
partie-2
Prenant une droite (D) d'équation : Y = aX + b..(D) coupe l'axe des (x) en -b/a quand Y=0. et coupe l'axe des (y) en b quand X=0. (D) forme deux aires avec l'axe des (x), une aire (A) au dessus qui s'étend jusqu'à l'infini; et une aire (B) au dessous.qui s'étend aussi jusqu'à l'infini.
-1/Est-ce-que l'on peut calculer les aires (A) et (B) ?
prenant la droite V=f(P) pour exemple à étudier: -b/a=19/4.l'aire (A) sera quand P>19/4. et l'aire (B) quand P<19/4.
-2/Si oui à quoi est égal l'aire global (G) : G = A + B = ?
Merci.
..//..
exercice :
partie-1:
Je vous partage cet exercice fascinant,
Trois amis sont partis à la pêche. Ils ont un seul panier commun pour mettre leur pêche (les poissons pêchés). Après des heures de pêche, à la nuit tombée, les trois pêcheurs s'endorment.
- Durant la nuit l'un des trois se réveille, ayant faim , et ne voulant pas déranger ses deux amis endormis , il partage le panier de poissons en trois parts égales, lui restant 1 poisson , il le jette à la mer, il grille sa part de poisson la mange et remet les 2 parts de ses deux amis dans le panier et se rendormit.
-Le deuxième se réveille a son tour; il a faim aussi. Ne sachant pas que l'un de ses amis a déjà mangé sa part de poisson, il fait pareil: partageant le panier en 3 parts égales. Lui restant 1 poisson le balance à la mer, mange sa part et remet les 2 parts de ses deux amis dans le panier et se rendormit.
- Le troisième se réveille enfin à son tour, il fait la même chose.
Le matin les trois amis se réveillent et trouvent un nombre de poisson, il décident de le vendre.
questions:
1- Combien de poissons font la pêche (P) ? (avant le réveil du premier ami), nombre de poissons péchés.
2- Combien de poissons font la vente (V) ? (le nombre de poissons restant dans le panier le matin pour les vendre)
3- que'ce-qu'il se passe quand la pêche P est inférieure ou égale à 5 poissons ?
partie-2
Prenant une droite (D) d'équation : Y = aX + b..(D) coupe l'axe des (x) en -b/a quand Y=0. et coupe l'axe des (y) en b quand X=0. (D) forme deux aires avec l'axe des (x), une aire (A) au dessus qui s'étend jusqu'à l'infini; et une aire (B) au dessous.qui s'étend aussi jusqu'à l'infini.
-1/Est-ce-que l'on peut calculer les aires (A) et (B) ?
prenant la droite V=f(P) pour exemple à étudier: -b/a=19/4.l'aire (A) sera quand P>19/4. et l'aire (B) quand P<19/4.
-2/Si oui à quoi est égal l'aire global (G) : G = A + B = ?
Merci.
..//..
Réponses
-
Fascinant, ou que tu ne sais pas résoudre et pour lequel tu viens demander de l'aide ?
Qu'as-tu fait, où bloques-tu ? -
bonjour,
j'ai essayé , je n'ai pas pu trouver une manière logique d'analyse. -
Es-tu sûr qu'il ne manque pas une donnée dans ton problème?
-
Bonjour, merci de me répondre,
Non les données sont exactes et complètes., rien de plus que ça. j'ai deux inconnus: P et V. et la méthode répétitive d'action de chaque ami pour manger . -
Et tu espères obtenir des réponses qui soient des nombres uniques?
-
oui des nombres , la valeur de P et de V .
-
Eh bien, pose le problème, traduis l'énoncé. On verra avec toi.
-
Je souscris à la conclusion de Dom.
-
après une journée de pêche le panier contient P poissons. durant la nuit les 3 pécheurs se succèdent l'un après l'autre. chacun divise P par 3 , il
trouve 3 fois 1/3 plus 1 poisson. il le jette à la mer et mange le tiers 1/3 et remet les 2/3 dans le panier.. le matin il restent V poissons; un nombre que les 3 amis vont vendre. -
Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1516346,1516620#msg-1516620
[Inutile de recopier l’antépénultième message. Un lien suffit. AD]
Tu dis: P - V = 19 ?, wow stp donne moi la méthode d'analyse. -
Sirepico123:
S'il y a x poissons pêchés au départ, quel est le nombre, en fonction de x, de poissons qui restent quand le deuxième ami se lève pour aller manger? -
ok voyant voir,
P=x.
le 1ier fait: X/3= 3Y + 1 . balance 1 et mange Y. je pense -
S'il mange Y poissons alors ton expression de Y en fonction de X est fausse.
Visualise bien ce que dit l'énoncé. -
oui l'exercice me fait tourné en rond.
-
Relis toi.
Si Y est le nombre de poissons mangés par le premier ami et si x est le nombre de poissons pêchés (le nombre de poissons avant que les amis aillent se coucher) tu ne vois pas comment exprimer X en fonction de Y?
(ou Y en fonction de X si tu préfères)? -
J'ai hâte de connaître l'ensemble de solutions. Personnellement, je trouve que l'écart minimum "Pêchés-Vendus" vaut 57, ce qui est le triple de la solution donnée par Dom.
Aurais-je commis une erreur ? :-( -
Oui.
Par ailleurs, il me semble qu'avec la formule qui donne en fonction de x le nombre de poissons vendus il me semble qu'il faut connaître les congruences ou tester un certain nombre d'entiers pour avoir la plus petite solution à ce problème. -
Ok voyons voir,
la pêche (P) : P=x.
le 1ier fait: X/3= 3Y + 1 . balance 1 et mange Y. il laisse 2Y. Y= ((X/3) - 1) / 3
le 2ieme fait: 2Y/3 = 3Z + 1. balance 1 et mange Z. -
j'attend que dom me répond et nous aide avec sa méthode , je ne sais comment il a analysé ça ??!! :-S
de plus si Pêche moins Vente vaut 19 comme il a dit (va savoir comment lol); P - V = 19. donc P - 19 = V.
ok si P=30, donc V=30-19=11: vérifiant avec 30 et 11
le 1ier: 30/3=9+1= 3*3+1; balance 1 , il mange 3 il laisse 6.
le 2ieme: 6/3=1+1. balance 1 et mange 1/3. laisse 2/3
le3ieme: (2/3)/3=2/9= -7/9+1. balance 1 et mange -7/27 et laisse -14/27.
le matin la vente (V): V= -14/27 et la vente doit être égale à 11. 11 est loin d'être -14/27 ;;; lol
lol est ce que je déconne ?? -
Tes formules sont encore fausses.
Supposons que le nombre de poissons pêchés X, soit égal au nombre 28.
Quel est le nombre Y de poissons mangés par le premier ami et combien il va en laisser?
Une fois que tu auras répondu donne la bonne formule qui donne X en fonction de Y (ou Y en fonction de X). -
C'est d'accord, Dom et Fin de partie. J'avais mal interprété une phrase du problème.
-
Je tente d'être sympathique !
Voilà comment j'ai procédé : sans trop d'arithmétique, uniquement avec des histoires de parité.
J'associe les lettres A, B, et C aux pêcheurs successifs.
Je me permets des enchaînements d'égalités.
Soit $P$ le nombre de poissons pêchés.
1) $P = 3a+1$ où $a$ est un entier.
Le pêcheur A en a mangé $a$ et il en reste $2a$.
2) $2a= 3b+1$ où $b$ est un entier.
Le pêcheur B en a mangé $b$ et il en reste $2b$.
3) $2b=3c+1$ où $c$ est un entier.
Le pêcheur C en a magné $c$ et il en reste $2c$, à vendre.
4) L'égalité 3) entraîne que $c$ est impair. (Pourquoi ?)
$c=2d+1$ où $d$ est un entier naturel (au minimum 0).
Alors : $2b=3(2d+1)+1=6d+3+1=6d+4$
Donc : $b=3d+2$.
5) L'égalité 2) entraîne :
$2a=3(3d+2)+1=9d+6+1=9d+7$
Cela entraîne que $d$ est impair. (Pourquoi ?)
$d=2e+1$ où $e$ est entier naturel.
Alors : $2a=9(2e+1)+7=18e+9+7=18e+16$
Donc : $a=9e+8$.
Donc : $P=3(9e+8)+1=27e+24+1=27e+25$.
Et : $V=2c=2(2d+1)=4d+2=4(2e+1)+2=8e+4+2=8e+6$
Ce n'est théoriquement pas terminé.
Il est conseillé de vérifier, par exemple, si pour tout entier naturel $e$, la formule donnée pour $P$ est valide.
Remarque : $P-V=27e+25-8e-6=19(e+1)$.
On démontre que la différence est un multiple (positif) de $19$. -
Tu confonds les phrases 1) et 2):
1) (celle de Dom): le plus petit des entiers $P-V$ qui réalise ton histoire est $19$.
2) On prend n'importe quel entier supérieur à $19$, on l'appelle $P$ et, ni vu ni connu, j't'embrouille, ça marche à tous les coups, on se retrouve à vendre $P-19$ poissons. -
Pourquoi ils jettent des poissons morts à la mer ?
Pourquoi ne mangent-ils pas ensemble, entre amis, à des heures régulières ?
Ils les mangent crus les poissons, comme ça, avec les écailles !?
Je ne vois pas transparaître cela dans la solution de sieur Dom.
S -
En effet, on peut démontrer que la différence est dans la table de 19, la plus petite étant 19 justement.
-
Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1516346,1516822#msg-1516822
[Inutile de recopier un message présent sur le forum, surtout s'il est caché ! Un lien suffit. AD]
Merci c'est intéressant
donc suivant ton analyse:
P-V= 19t, (t appartient à N). en posons: e+1=t.
premier cas t=1 donc V=P-19.
mais mon contre-exemple:
P=30, implique V=30-19=11 montre que ça ne marche pas. à la fin je ne trouve pas 11 mais -14/27 -
-
samok écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1516346,1516834#msg-1516834
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Les données du problème veulent ça: que les trois pécheurs agissent l'un après l'autre individuellement. chacun mange seul en croyant que ses amis n'ont pas encore manger. il ne veut pas les déranger car il dormaient. chacun jette un poisson car il ne veut pas ce casser la tête à diviser 1 poisson par 3 pour être équitable avec ses amis alors il opte à s'en débarrasser. j'ai dit qu'ils grillent leur parts de poissons et ne pas qu'ils les mangent crues. en plus tout ça n'est pas important pour résoudre notre problème lol -
Comme chacun sait, tout trio de pêcheurs dignes de ce nom qui a pêché $25$ poissons n'omettra pas de les garder vivants dans un seau d'eau afin que les trois poissons qui seront remis à la mer soient bien des femelles.
-
Sirepico123:
Ne te focalise pas sur 19. Cette valeur on l'obtient quand on a la formule qui donne le nombre de poissons final en fonction du nombre de poissons initial.
Je repose une dernière fois la question:
Si Y est le nombre de poissons mangés par le premier ami et si X est le nombre de poissons pêchés quelle est l'expression qui donne Y en fonction de X (ou X en fonction de Y)?
Je t'avais suggéré de supposer que le nombre initial est 28 pour que tu te rendes compte que la formule que tu as donnée précédemment était fausse et que cela t'aide à trouver la bonne formule. -
Samok:
Surement que les pêcheurs sont des mathématiciens. Ils font des trucs que les gens sensés ne font pas. Jeter à la mer un poisson qu'ils ont pris la peine de pêcher par exemple. -
Si chacun en avait gardé un dans sa poche, au lieu de le jeter, ils auraient été ravis d'en avoir autant. Dans les poches.
-
La seule question d'importance est de sauver trois femelles et, sans eau, je ne sais comment faire!
-
Mais avec l'eau, je sais! X:-(
-
les poissons vivants dans le seau à fin que les 3 rejetés deviennent des femelles ou des hermaphrodites ; en attendant leur métamorphose je me suis penché sur mon problème:
la pêche (P) : P=x.
le 1ier fait: X/3= 3Y + 1 . balance 1 et mange Y. il laisse 2Y. Y= (-1 +X/3) / 3 = (X-3)/9
le 2ieme fait: 2Y/3 = 3Z + 1. balance 1 et mange Z. il laisse 2Z. Z= (-1+2Y/3)/3 = (-3+2Y)/9 = (-27/9 + (2X-6)/9 )/9 = (2X-33)/81
le 3ieme fait: 2Z/3 = 3T + 1. balance 1 et mange T. il laisse 2T. T = (-1 + 2Z/3)/3 = (-3+2Z)/9 = (-243/81+ (4X-66)/81) /9 = (4X - 309) / 729
le matin reste V=2T=(8X-618) / 729 = (8P-618) / 729 -
Pars de $P=25$, vérifie que ça te mène à $V=6$. Déduis-en que quelque chose ne va pas dans ton raisonnement/calcul.
Mes blagues sur les femelles n'ont bien sûr rien à voir avec ton problème. C'est une réponse au sieur qui moque. -
lol c'était pareil, j'ai dit ça pour l'autre pas pour toi. les autre aussi ( dom et fin de partie ) l'ont fait, quand nous discutions sérieusement le mec faisait le malin .
P=25 et V=6 vérifient bien la théorie de dom, (25-6=19).(tu)
le 1ier: 25-1=24; 24/3=8, mange 8 et laisse 16.
le 2ieme: 16-1=15. 15/3=5. mange 5 et laisse 10.
le 3ieme: 10-1=9. 9/3=3. mange 3 et laisse 6.(:P)
P=25 et V=6 sont les solutions merci.
il reste à savoir comment tu as analysé ça? quelles formule de lien entre P et V pour trouver 25 et 6 ? :-S
merci -
depasse écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1516346,1516950#msg-1516950
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Est-ce que tu as une idée sur mon deuxième exercice ??(:D -
Bonjour !
Il y a une solution (imaginaire) évidente, c'est $P=-2$.
Comme les solutions sont congrues modulo $27$ la plus petite solution est $25$.
(Ceci dit, le premier qui se farcit 8 poissons grillés, ce n'est pas très réel non plus. A moins que ce ne soient des sardines...)
Problème analogue et connu : celui des 5 naufragés et du singe sur une île déserte qui amassent des noix de coco.
Même scénario que les pêcheurs mais chaque naufragé, à son tour, donne une noix au singe (c'est déjà moins de gaspillage) cache sa part et rassemble les quatre parts restantes. En plus à la fin, quand tout le monde est réveillé, il y a encore une noix pour le singe pour que la division se fasse exactement...
Cette fois c'est modulo $15625$ et avec la "solution évidente" $-4$ on devrait avoir amassé $15621$ noix le premier jour...Bon courage ! -
sirepico123 :
X/3= 3Y + 1
N'est pas la BONNE formule.
Peux-tu relire l'énoncé?Enoncé a écrit:il partage le panier de poissons en trois parts égales, lui restant 1 poisson -
@sirepico123
il ton donné une indication : les congruences.il reste à savoir comment tu as analysé ça? quelles formule de lien entre P et V pour trouver 25 et 6 ? :-Sconfused smiley
les trois premières valeurs doivent être congrues à 1 modulo 3. et 2x est divisible par 2.
si X = 1
tu as donc 2x ; soit x multiplié par 3 et tu rajoutes 1 , avec x = 1 ou 2 pas possible, donc X = 3 et 3*3 +1 que tu redivises par 2, tu multiplies à nouveau par 3 , tu rajoutes 1 ...etc...
tu as une série de 4 nombres, 25; 16; 10 ; 6 .
pour une autre série tu multiplies tes quatre nombres par 2 auquel tu rajoutes 2 ...etc
52 ; 34 ; 22 ; 14......etc
n'étant pas matheux, je suppose qu'il y a solution ou explication plus mathématique ...par les intervenants...
Pour ton 2ème exercice ...la seule chose que je remarque une valeur infinie ou une aire infinie je ne sais pas la calculer...mais une aire A infinie plus une aire B infinie cela donne G avec une infinité de chiffres ...:)o...X:-(
bonne continuation... -
P=25+27k, V=6+8k.
-
Bon, clairement, mon aptitude à distinguer les femelles dans un seau d'eau n'impressionne personne!
-
la relation de Dom entre P et la vente est bonne: V=f(P)=P-19. mais cette condition seule est faible incomplète faute de trouver des contres-exemples pour la défausser. je pense il lui manque une relation de V en fonction de P. j'en déduit un système. ??:-D
à l'aide de l'exemple P=25 et V=6 que depasse m'a sorti de son chapeau magique X:-( , (je ne sais pas encore comment trouver P=25 pour
V=6). qui font solution du problème. j'ai reprit mon analyse de P vers V et de V vers P.
posant: D1 le dîner du 1ier; D2 du 2ieme et D3 du 3ieme.
1ier cas allons de P :
le 1ier fait: P-1. le 1 balancé. puis (P-1)/3. il mange D1=(P-1)/3. il laisse 2D1= (2P-2)/3.
le 2ième fait: (2D1)-1 = (2P-5)/3 . le 1 balancé puis ( (2P-5)/3) /3=(2P-5)/9. il mange D2=(2P-5)/9. il laisse 2D2= (4P-10)/9.
le 3ieme fait: (2D2)-1 = (4P-19)/9. le 1 balancé puis (4P-19)/27. il mange D3=(4P-19)/27. il laisse 2D3=(8P-38)/27.
le matin reste V=2D3=(8P-38)/27.
en trouve V=f(P)=(8P-38)/27
2ieme cas allons de V :
le 3ieme a laissé V=2D3. il a mangé D3=V/2. il a divisé par trois 3D3=3V/2. il a trouvé (laissé par le 2ieme) (3D3)+1(le 1 balancé)=3V/2 +1= (3V+2)/2.
le 2ième a laissé (3V+2)/2=2D2. il a mangé D2=(3V+2)/4. il a divisé par trois 3D2=(9V+6)/4.il a trouvé (laissé par le 1ier) (3D2)+1(le 1
balancé)=(9V+6)/4 +1= (9V+10)/4.
le 1ier a laissé (9V+10)/4=2D1. il a mangé D1=(9V+10)/8. il a divisé par trois 3D1=(27V+30)/8. il a trouvé (la pêche P) P=(3D1)+1(le 1 balancé)
=(27V+30)/8 +1= (27V+38)/8.
P=f(V)=(27V+38)/8
les deux cas sont pareils on trouvera la même ou les mêmes solutions puisque les deux droites V=f(P) et P=f(V) sont tout simplement réciproquent. par la première médiane V=P ou P=V.
les deux droite se croisent entre elles et avec la médiane en P=V= -2. je trouve la solution imaginaire de rakam.
reste a savoir comment trouver la solution magique de depasse quand P=25 et V=6 ???!!!:-X et comment trouver les autres solutions si elles sont une infinité. P et V sont des entiers naturels de N. -
Cette formule V=(8P-38)/27 est correcte je pense.
Mais elle ne produit pas que des nombres entiers.
Tu peux commencer par chercher le plus petit nombre P entier naturel tel que 8P-38 est divisible par 27.
Cela peut se faire en testant P=1,2,....
Autrement si tu as des connaissances en congruence tu peux trouver les valeurs P qui font que 8P-38 est divisible par 27 directement.
PS:
Si tu connais un nombre Q tel que (8Q-38) est divisible par 27 il n'est pas difficile d'obtenir tous les autres.
En effet,
Si $(8Q-38)$ et $(8P-38)$ sont divisibles par 27 alors leur différence $(8Q-38)-(8P+38)=8(Q-P)$ l'est aussi mais
8 est premier avec 27 donc cela implique que Q-P doit être divisible par 27.
Les nombres P tels que 8P-38 est divisible par 27 sont donc tous les nombres de la forme $Q+27k$ avec $k$ un entier. -
Je t'ai donné toute la résolution (disons l'analyse).
Tu refais une erreur déjà signalée : je dis que si P est minimum alors P-V=19.
Mais je ne dis pas qu'à chaque solution on a P-V=19.
Plus généralement, j'ai démontré que P-V est un multiple de 19.
Par exemple :
P = 2158 est une solution possible.
V= 638
P-V= 19 x 80
As-tu lu mon message caché ? -
intéressant , j'y réfléchi
-
oui dom j'au lu tous tes massages cachés ou pas lol. franchement ton analyse est un casse-tête lol doliprane était sans succès.
-
Sinusix écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1516346,1517490#msg-1517490
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intéressant merci beaucoup. ça fait l'affaire. stp je suis plus intéressé par l'analyse et par (comment tu as fait). soit gentille de me donner un peu de temps et donne moi ton enchaînement.
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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