Preuve d'existence

Sneg · August 2017

Bonsoir
Voici ma question.

Soit $m$, un entier strictement positif qui n'est pas une puissance d'un nombre premier.
Dans l'intervalle des entiers $[1,m-1]$, est-il vrai qu'il existe au moins un couple d'entiers $(\alpha_{1}, \alpha_{2})$ tel que $\alpha_{1}+\alpha_{2}\equiv 1\pmod m$ et $\alpha_{1}\times \alpha_{2}\equiv 0\pmod m$ ?

Merci d'avance.

Fin de partie · August 2017

On a:

$\alpha_1\times \alpha_2=km$

et:

$\alpha_1+\alpha_2=k'm+1$

Donc,

$\begin{align}\alpha_1^2&=\alpha_1(\alpha_1+\alpha_2)-\alpha_1\times\alpha_2\\
&=\alpha_1(k'm+1)-km\\
&=(\alpha_1k'-k)m+\alpha_1
\end{align}$

Donc $\alpha_1(\alpha_1-1)$ est divisible par $m$.

Sneg · August 2017

Bonsoir, Fin de partie.

En fait, si m=6, un couple-solution peut être (3;4) :
On a bien
3+4 congru à 1 modulo 6
3*4 congru à 0 modulo 6

:-)

Fin de partie · August 2017

Oui, merci je me suis rendu compte de mon erreur et j'ai changé mon message.

christophe c · August 2017

Il n'y a pas besoin de faire d'hypothèse : dans TOUT monoïde associatif compact (donc en particulier fini) il existe u tel que u^2=u. L'arithmétique n'y est pour rien.

christophe c · August 2017

J'ai abrégé u * u par u^2

Sneg · August 2017

Merci, Fin de partie et christophe c.

A propos, christophe c, ton intervention signifie-t-elle qu'il y a un lien entre ma question et les idempotents ?
Peux-tu en dire plus ?
Merci.

christophe c · August 2017

Si ce n'est qu'une histoire de mot oui il existe toujours un idempotent dans un monoïde compact. Essaie de le prouver seul ce n'est pas très dur. Indication: prendre le plus petit ensemble non vide stable par *.

Sneg · August 2017

Je ne suis pas très forte en algèbre et doute pouvoir démontrer quoi que ce soit en cette matière.

Cela dit, christophe c, cela m'intéresserait beaucoup de savoir si, dans l'anneau Z/mZ, les idempotents peuvent toujours s'unir par couples (a,b) tels que a+b est congru à 1 modulo m et a*b est congru à 0 modulo m.
Merci d'avance.

christophe c · August 2017

Ce n'est pas "de l'algèbre. Si uu=u alors si on est dans un anneau u(1-u) =0 et u +(1-u) =1. (Bases de la.classe de 5ieme).

uvdose · August 2017

@cc : Gil Bill demande à $\alpha_1$ et $\alpha_2$ d'être dans $[\![1;m-1]\!]$.

Je conseille à Gil Bill de commencer par prouver le résultat suivant : soient $a>1$ et $b>1$ deux entiers premiers entre eux ; il existe deux entiers $x$ et $y$ tels que $0<x<b$, $0<y<a$ et $xa+yb=ab+1$.

christophe c · August 2017

@UV: je ne peux hélas même plus m'excuser je viens de repasser en mode latexerror. Mais je te fais confiance. J'imagine que tu veux dire que (0,1) est interdit? Bizarre il me semblait avoir bien vérifié qu'elle ne les interdisait pas. Mais de mon téléphone j'ai peut être raté le passage.

christophe c · August 2017

@fdp: les erreurs mieux vaut les barrer SANS LES EFFACER et écrire à la suite les amendements. Car ensuite les lecteurs peuvent se repérer. Là on n'a plus d'infos.

Sneg · August 2017

uvdose, merci d'intervenir.

Ca sent un peu le Bézout, tout ça, non.

J'y reviendrai plus tard. Merci.

christophe c · August 2017

Ce que je t'ai dit reste de toute façon valable même si tu écartés (0,1). Ça t'infligera juste une CNS à formuler (rappelle-toi que l'ensemble des puissances d'un élément est un monoïde). Mais cela dit: il fait que tu t'en sortes un peu plus toute seule et sans mot savant ou je ne sais quel BG arithmétique excessif.

Fin de partie · August 2017

Si l'équation $x^2=x$ a une solution modulo m qui n'est pas la classe de 1 ou de 0 alors il y a une solution au problème posé.

En effet,
si on prend l'entier $\alpha_1$ non nul et strictement inférieur à $m$ comme représentant de la classe $x$
si on prend l'entier $\alpha_2$ non nul et strictement inférieur à $m$ comme représentant de la classe $1-x$

$\alpha_1+\alpha_2\equiv x+(1-x)\equiv 1\mod{m}$

$\alpha_1\alpha_2\equiv x(1-x)\equiv x-x^2\equiv 0\mod{m}$

On a, $4(x^2-x)=(2x-1)^2-1$

Par ailleurs, si $m$ n'est pas un multiple de $2$,

$x^2-x\equiv 0\mod{m}$ est équivalent à $4(x^2-x)\equiv 0\mod{m}$ est équivalent à $(2x-1)^2\equiv 1\mod{m}$

Donc, si l'équation $x^2=1$ a plus de deux solutions modulo $m$ alors le problème posé a une solution.

PS:
Si je me souviens bien.
Si $m=p_1^{\alpha_1}\times ...\times p_k^{\alpha_k}$, les $p_i$ sont des nombres premiers distincts, alors l'équation $x^2\equiv 1\mod{m}$ a exactement $2^k$ solutions.

uvdose · August 2017

@cc : si ton idée depuis le départ est d'utiliser le fait que dans un monoïde, le carré de l'élément neutre est égal à lui-même, je ne pense pas que cela permette de résoudre l'exercice de Gil Bill. Ou alors, peux-tu détailler ce que tu veux dire ?

@Gil Bill : pour aller tout de même dans le sens de Christophe, il est vrai qu'on peut faire mieux (?) qu'avec ma première indication. Si tu écris $m=ab$, avec $a>1$ et $b>1$ premiers entre eux, tu peux prendre pour $\alpha_1$ le reste de la division euclidienne de $a^{\varphi(b)}$ par $m$, puis $\alpha_2=m+1-\alpha_1$.

christophe c · August 2017

@UV: c'est déjà fait voir posts plus haut. Dans N'IMPORTE QUEL MONOIDE!

Par exemple parmi les puissances de 4757372 :-D. Si donc tu retombes forcément sur 0 et 1 ça a des.conséquences drastiques sur l'anneau (son cardinal est une puissance à 1 près de tous ses éléments).

Fin de partie · August 2017

Christophe:

As-tu lu la question jusqu'au bout?

Personne ne conteste que dans un anneau commutatif (c'est le contexte du problème posé) on a un élément $x$ de cet anneau tel que $x^2=x$
(l'élément neutre pour l'addition et l'élément neutre pour la multiplication peuvent être pris pour $x$)

Mais ce n'était pas exactement la question de Gil Bill.
Son énoncé exclut de prendre ces deux éléments 0,1.

PS:
Si on ne s'interdit pas les valeurs 0,1 alors la question de Gill Bill est une trivialité sans nom:
On prend $\alpha_1=0$ et $\alpha_2=1$ et c'est fini on réalise bien les conditions demandées.

christophe c · August 2017

Merci pour ce moment comique FdP. :-D J'ai bien ri (avec le gras.en plus excellentissime). Apperemment même les fils maths tu les lis en diagonale :-D

Fin de partie · August 2017

Christophe:

Ton premier message a été :

Christophe a écrit:

Il n'y a pas besoin de faire d'hypothèse : dans TOUT monoïde associatif compact (donc en particulier fini) il existe u tel que u^2=u. L'arithmétique n'y est pour rien

Qu'est-ce que cela apporte au problème posé?

D'autant plus, comme déjà indiqué 0,1 sont trivialement solutions de cette équation dans le contexte.

Tu as rectifié le tir:

Christophe a écrit:

Ce que je t'ai dit reste de toute façon valable même si tu écartés (0,1). Ça t'infligera juste une CNS à formuler (rappelle-toi que l'ensemble des puissances d'un élément est un monoïde). Mais cela dit: il fait que tu t'en sortes un peu plus toute seule et sans mot savant ou je ne sais quel BG arithmétique excessif.

C'est du vent pour moi: sans autre précision cela n'apporte rien à un début de solution.

christophe c · August 2017

:-D oui tout ça c'était hier regroupé en 10mn. Un fil ne se réduit pas a son premier post. Lorsqu'on poste le 57 ou bien on précise qu'on répond au 1 ou bien on lit de 1 à 56.

Et non ce n'est pas du vent**: mais comme tu n'as pas lu. Dois-je répéter que l'ensemble des puissances de N'IMPORTE QUEL elt est un monoïde ou vas tu le lire demain ?

** et ça règle la question POSEE (peut être pas les question non posées :-D ). Et je mainitiens que sortir les mots savant Bézout idempotent etc ne sont pas une façon de réfléchir adaptée pour GillB

christophe c · August 2017

PS: rie.n de méchant hein... Tu n'es pas le seul à lire en diagonale.

Fin de partie · August 2017

Christophe:

Tu peux me donner la preuve que dans tout monoïde associatif compact l'équation $x^2=x$ a plus de deux solutions?
Si la propriété est vraie ce que j'ignore parce que c'est me semble-t-il le coeur de la question. Et je n'attends pas qu'une réponse de type OUI. Merci d'avance.