Preuve d'existence
dans Arithmétique
Bonsoir
Voici ma question.
Soit $m$, un entier strictement positif qui n'est pas une puissance d'un nombre premier.
Dans l'intervalle des entiers $[1,m-1]$, est-il vrai qu'il existe au moins un couple d'entiers $(\alpha_{1}, \alpha_{2})$ tel que $\alpha_{1}+\alpha_{2}\equiv 1\pmod m$ et $\alpha_{1}\times \alpha_{2}\equiv 0\pmod m$ ?
Merci d'avance.
Voici ma question.
Soit $m$, un entier strictement positif qui n'est pas une puissance d'un nombre premier.
Dans l'intervalle des entiers $[1,m-1]$, est-il vrai qu'il existe au moins un couple d'entiers $(\alpha_{1}, \alpha_{2})$ tel que $\alpha_{1}+\alpha_{2}\equiv 1\pmod m$ et $\alpha_{1}\times \alpha_{2}\equiv 0\pmod m$ ?
Merci d'avance.
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Réponses
$\alpha_1\times \alpha_2=km$
et:
$\alpha_1+\alpha_2=k'm+1$
Donc,
$\begin{align}\alpha_1^2&=\alpha_1(\alpha_1+\alpha_2)-\alpha_1\times\alpha_2\\
&=\alpha_1(k'm+1)-km\\
&=(\alpha_1k'-k)m+\alpha_1
\end{align}$
Donc $\alpha_1(\alpha_1-1)$ est divisible par $m$.
En fait, si m=6, un couple-solution peut être (3;4) :
On a bien
3+4 congru à 1 modulo 6
3*4 congru à 0 modulo 6
:-)
A propos, christophe c, ton intervention signifie-t-elle qu'il y a un lien entre ma question et les idempotents ?
Peux-tu en dire plus ?
Merci.
Cela dit, christophe c, cela m'intéresserait beaucoup de savoir si, dans l'anneau Z/mZ, les idempotents peuvent toujours s'unir par couples (a,b) tels que a+b est congru à 1 modulo m et a*b est congru à 0 modulo m.
Merci d'avance.
Je conseille à Gil Bill de commencer par prouver le résultat suivant : soient $a>1$ et $b>1$ deux entiers premiers entre eux ; il existe deux entiers $x$ et $y$ tels que $0<x<b$, $0<y<a$ et $xa+yb=ab+1$.
Ca sent un peu le Bézout, tout ça, non.
J'y reviendrai plus tard. Merci.
En effet,
si on prend l'entier $\alpha_1$ non nul et strictement inférieur à $m$ comme représentant de la classe $x$
si on prend l'entier $\alpha_2$ non nul et strictement inférieur à $m$ comme représentant de la classe $1-x$
$\alpha_1+\alpha_2\equiv x+(1-x)\equiv 1\mod{m}$
$\alpha_1\alpha_2\equiv x(1-x)\equiv x-x^2\equiv 0\mod{m}$
On a, $4(x^2-x)=(2x-1)^2-1$
Par ailleurs, si $m$ n'est pas un multiple de $2$,
$x^2-x\equiv 0\mod{m}$ est équivalent à $4(x^2-x)\equiv 0\mod{m}$ est équivalent à $(2x-1)^2\equiv 1\mod{m}$
Donc, si l'équation $x^2=1$ a plus de deux solutions modulo $m$ alors le problème posé a une solution.
PS:
Si je me souviens bien.
Si $m=p_1^{\alpha_1}\times ...\times p_k^{\alpha_k}$, les $p_i$ sont des nombres premiers distincts, alors l'équation $x^2\equiv 1\mod{m}$ a exactement $2^k$ solutions.
@Gil Bill : pour aller tout de même dans le sens de Christophe, il est vrai qu'on peut faire mieux (?) qu'avec ma première indication. Si tu écris $m=ab$, avec $a>1$ et $b>1$ premiers entre eux, tu peux prendre pour $\alpha_1$ le reste de la division euclidienne de $a^{\varphi(b)}$ par $m$, puis $\alpha_2=m+1-\alpha_1$.
Par exemple parmi les puissances de 4757372 :-D. Si donc tu retombes forcément sur 0 et 1 ça a des.conséquences drastiques sur l'anneau (son cardinal est une puissance à 1 près de tous ses éléments).
As-tu lu la question jusqu'au bout?
Personne ne conteste que dans un anneau commutatif (c'est le contexte du problème posé) on a un élément $x$ de cet anneau tel que $x^2=x$
(l'élément neutre pour l'addition et l'élément neutre pour la multiplication peuvent être pris pour $x$)
Mais ce n'était pas exactement la question de Gil Bill.
Son énoncé exclut de prendre ces deux éléments 0,1.
PS:
Si on ne s'interdit pas les valeurs 0,1 alors la question de Gill Bill est une trivialité sans nom:
On prend $\alpha_1=0$ et $\alpha_2=1$ et c'est fini on réalise bien les conditions demandées.
Ton premier message a été :
Qu'est-ce que cela apporte au problème posé?
D'autant plus, comme déjà indiqué 0,1 sont trivialement solutions de cette équation dans le contexte.
Tu as rectifié le tir:
C'est du vent pour moi: sans autre précision cela n'apporte rien à un début de solution.
Et non ce n'est pas du vent**: mais comme tu n'as pas lu. Dois-je répéter que l'ensemble des puissances de N'IMPORTE QUEL elt est un monoïde ou vas tu le lire demain ?
** et ça règle la question POSEE (peut être pas les question non posées :-D ). Et je mainitiens que sortir les mots savant Bézout idempotent etc ne sont pas une façon de réfléchir adaptée pour GillB
Tu peux me donner la preuve que dans tout monoïde associatif compact l'équation $x^2=x$ a plus de deux solutions?
Si la propriété est vraie ce que j'ignore parce que c'est me semble-t-il le coeur de la question. Et je n'attends pas qu'une réponse de type OUI. Merci d'avance.
Gill Bill a obtenu ses résultats.
On ne va pas recommencer une bataille cc-fdp. Allez prendre l'air, il fait beau aujourd'hui !
AD