Nombres P-aliques
dans Arithmétique
Soit un polynôme irréductible $P$ de ${\mathbb Q}[X]$ et soient les entiers $P$-aliques définis par la limite projective des quotients par les idéaux principaux $(P^n)$ : $$
{\mathbb Z}_P = \lim_{\leftarrow} {\mathbb Q}[X]/(P^n)
$$ C'est un anneau intègre et on peut définir les nombres $P$-aliques :
$$ {\mathbb Q}_P = Frac ({\mathbb Z}_P)
$$ le corps des fractions de l'anneau des entiers $P$-aliques.
{\mathbb Z}_P = \lim_{\leftarrow} {\mathbb Q}[X]/(P^n)
$$ C'est un anneau intègre et on peut définir les nombres $P$-aliques :
$$ {\mathbb Q}_P = Frac ({\mathbb Z}_P)
$$ le corps des fractions de l'anneau des entiers $P$-aliques.
Réponses
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Quelle est ta question ?
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Il n'y a pas de question mais une constatation.
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conjecture : Apollonius = Satan
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Pour $f \in \mathbb{Q}[x]$ pose $|f|_v = 2^{-n}$ si $f \in (P^n), f \not\in (P^{n+1})$. Ton corps est le cas le plus simple de complétion non-Archimédienne $\mathbb{Q}(x)_v$ d'un corps de fonction $\mathbb{Q}(x)$.
Si $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ est le corps de décomposition de $P$, il se passe quoi pour $\mathbb{Q}(x)_v(\alpha)$ ? Et si $\alpha$ est juste une racine de $P$ ?
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