Quand $u(a,b,n)$ est-il entier ?
dans Arithmétique
Bonjour
Soit $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs, on définit, pour tout $n$ entier naturel, $$ u(a,b,n)=\frac{a(a+1)\dots(a+n)}{b(b+1)\dots(b+n)}.$$ Si $b=1$ ou si $a=b$, pour tout $n$, $u(a,b,n) \in \N$.
Existe-t-il un autre couple $(a,b)$ pour lequel on a cette propriété : $\forall n\in \N, u(a,b,n)\in \N$ ?
Merci d'avance.
Soit $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs, on définit, pour tout $n$ entier naturel, $$ u(a,b,n)=\frac{a(a+1)\dots(a+n)}{b(b+1)\dots(b+n)}.$$ Si $b=1$ ou si $a=b$, pour tout $n$, $u(a,b,n) \in \N$.
Existe-t-il un autre couple $(a,b)$ pour lequel on a cette propriété : $\forall n\in \N, u(a,b,n)\in \N$ ?
Merci d'avance.
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Réponses
Supposons qu'il existe un tel couple $(a,b)$ ; on a alors $1<b<a$.
On commence par constater que $u(a,b,n)=\dfrac{P(n)}{b\times\cdots\times(a-1)}$, où $P=(X+b+1)\times\cdots\times(X+a)$.
En notant $\Delta Q=Q(X+1)-Q(X)$ pour $Q\in\mathbb{R}[X]$, et en procédant par récurrence sur $k\in[\![0;a-b]\!]$, on voit facilement que $\Delta^kP=\dfrac{(a-b)!}{(a-b-k)!}(X+b+1+k)\times\cdots\times(X+a)$ et que $\forall n\in\N$, $b\times\cdots\times(a-1)\,|\,(\Delta^kP)(n)$. En particulier, $\Delta^{a-b}P$ est le polynôme constant $(a-b)!$ ; on a donc $b\times\cdots\times(a-1)\,|\,(b-a)!$, ce qui est absurde car $b\times\cdots\times(a-1)>(b-a)!$.