Distance aux nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour,
Soit $a$ un entier strictement positif, soit $p$ un nombre premier, on définit $E_{a,p}=\{x\in \N ~|~x\geq a~ \text{et}~ v_p(x)\geq1\}$
1) Soit $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs tels que, pour tout $p$ premier, $\min E_{a,p}-a\leq \min E_{b,p}-b$. A-t-on nécessairement $b=1$ ou $a=b$ ?
La réciproque est vraie. En effet, si $b=1$, $\min E_{a,p}-a \leq p-1$ et $\min E_{1,p}-1=p-1$.
Soit $a$ un entier strictement positif, soit $p$ un nombre premier, on définit $F_{a,p}=\{x\in \N ~|~x\geq a~ \text{et}~ v_p(x)=1\}$. Une variante de la première question est alors:
2) Soit $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs tels que, pour tout $p$ premier, $\min E_{a,p}-a\leq \min F_{b,p}-b$. A-t-on nécessairement $b=1$ ou $a=b$ ?
La réciproque est vraie pour la même raison.
Merci.
Soit $a$ un entier strictement positif, soit $p$ un nombre premier, on définit $E_{a,p}=\{x\in \N ~|~x\geq a~ \text{et}~ v_p(x)\geq1\}$
1) Soit $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs tels que, pour tout $p$ premier, $\min E_{a,p}-a\leq \min E_{b,p}-b$. A-t-on nécessairement $b=1$ ou $a=b$ ?
La réciproque est vraie. En effet, si $b=1$, $\min E_{a,p}-a \leq p-1$ et $\min E_{1,p}-1=p-1$.
Soit $a$ un entier strictement positif, soit $p$ un nombre premier, on définit $F_{a,p}=\{x\in \N ~|~x\geq a~ \text{et}~ v_p(x)=1\}$. Une variante de la première question est alors:
2) Soit $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs tels que, pour tout $p$ premier, $\min E_{a,p}-a\leq \min F_{b,p}-b$. A-t-on nécessairement $b=1$ ou $a=b$ ?
La réciproque est vraie pour la même raison.
Merci.
Réponses
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La deuxième question est reliée à cette question. En effet, si la réponse 2) est positive, on a bien $b=1$ ou $a=b$ si $\frac{a(a+1)\dots (a+n)}{b(b+1)\dots(b+n)}$, pour tout $n$. On choisit $b+n=\min F_{b,p}$ pour un $p$ premier.
[Edit 2: en fait la question 1) répond aussi à celle sur $\frac{a(a+1)\dots (a+n)}{b(b+1)\dots(b+n)}$.]
[Edit: est-il possible de changer le titre du fil en "Distance aux multiples d'un nombre premier" ? Merci par avance.]
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