Racine carrée d'une série de Dirichlet

Étant donnée une fonction multiplicative $f$, tu cherches donc une fonction multiplicative $g$ vérifiant $f = g \star g$, où $\star$ désigne le produit de convolution de Dirichlet. En appliquant cette identité sur les puissances primaires (ce qui est suffisant), il vient
$$g(1) = 1 \quad \textrm{et} \quad f \left( p^\alpha \right) = \sum_{k=0}^\alpha g \left( p^k \right) g \left( p^{\alpha-k} \right) \quad \left( \alpha \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1} \right).$$
De proche en proche, on obtient
$$g(p) = \tfrac{1}{2} f(p), \quad g \left( p^2 \right ) = \tfrac{1}{2} f \left( p^2 \right) - \tfrac{1}{8} \left( f(p) \right)^2 , \dotsc$$

Pour (essayer de) généraliser, il peut être intéressant de voir comment on a étendu la fonction $\zeta^k$ (définie comme ci-dessus) avec $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$, à la fonction $\zeta^z$ où $z \in \mathbb{C}$ : l'élément générique $\tau_k \left( p^\alpha \right)$ étant égal à $\dbinom{k+\alpha - 1}{\alpha}$, on a naturellement utilisé la définition du coefficient binomial généralisé
$${z \choose n} := \frac{1}{n!} \prod_{k=0}^{n-1} (z-k) \quad \left( z \in \mathbb{C}, \ n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1} \right)$$
de sorte que l'on pose
$$\tau_z \left( p^\alpha \right) := {z + \alpha - 1 \choose \alpha} \quad \left( p \ \textrm{premier}, \ \alpha \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}, \ z \in \mathbb{C} \right).$$
ce qui permet d'en déduire une définition de $\zeta^z$ tout à fait analogue à celle de $\zeta^k$.

Ainsi, pouvoir généraliser à la fonction $F^r$ avec $r$ réel (ou complexe) quelconque nécessite d'avoir une forme particulière de $f \left( p^\alpha \right)$. Dans le cas contraire, il me semble difficile de définir $F^r$ correctement.