divisibilités entrelacées

Bonjour

Si $y$ divise $x^2+1$ il existe un entier $m$ tel que $x^2=my-1$. Alors il existe un entier $n$ tel que $y^3+1=n(my-1)=mny-n$. Mais alors, $y^3-mny=-n-1$ est divisible par $y$, donc ... Continue comme ça à tirer le fil, tu verras la fin!

En commençant comme dit Magnolia, on se ramène à l'exercice suivant : déterminer les couples $(a,b)$ d'entiers naturels non nuls tels que $ab-1$ divise $b^3+1$.

1) Les rôles de $a$ et $b$ sont symétriques, donc on peut supposer $b\leqslant a$.

2) Traiter les cas $b=1$ et $b=2$.

3) $ab-1$ divise $b^3+1+ab-1$, donc il divise $b^2+a$.

4) Soit $k=\dfrac{b^2+a}{ab-1}$, alors $k<2$ donc $k=1$.

5) Donc $b-1$ divise $b^2+1$ et c'est presque fini.