Chers amis de Diophante,

Merci à tous les participants.

K.R.S. Sastry, Bangalore, en Inde
Mayhem 279 in Crux Mathematicorum 33.1 (2007) p.9

Je suis parti sur les fonctions symétriques $s_1:=\alpha+\beta$ et $s_2:=\alpha\beta$.
L'équation se récrit
$$
s_1^2-2s_2 = s_1^3-3s_1s_2 \quad\text{ou encore}\quad s_2 = \frac{s_1^3-s_1^2}{3s_1-2}
$$
$\alpha$ et $\beta$ sont solution de $Z^2-s_1Z+s_2=0$ dont le discriminant est
$$
\Delta = s_1^2 - 4 \frac{s_1^3-s_1^2}{3s_1-2} = s_1^2\centerdot \frac{-s_1+2}{3s_1-2}
\quad\text{On pose donc}\quad k^2 := \frac{-s_1+2}{3s_1-2} \quad\text{qui donne}\quad s_1 = 2\centerdot\frac{k^2+1}{3k^2+1}
$$
$$
\text{En fin de compte,}\quad ( \alpha , \beta ) = \left( \frac{1-k+k^2-k^3)}{1+3k^2},\frac{1+k+k^2+k^3}{1+3k^2} \right)
$$
C'est moins joli que GBZM, mais on fait ce qu'on peut.