L-séries (et autres délices) pour petits
Hello,
Suite à la suggestion de Poirot in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1524054,1524330#msg-1524330 et vu l'état du fil ``Homographies et petits groupes de Galois'', j'ouvre un nouveau fil, sorte de suite (sic) de ce fil. Je reprends le contexte du groupe diédral $D_4$ et du polynôme $X^4 - a$ dont les notations sont en dessous du post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1523908#msg-1523908. Attention au disfonctionnement du fil ``Homographies ...'', il faut descendre en dessous de ce post pointé pour comprendre. A la couche groupiste avec actions du groupe $D_4$, j'ajoute ici la couche galoisienne ci-dessous où $x = \root 4 \of a$ est une racine de $F(X) = X^4 - a$ avec $a \in \Z$ choisi pour que $F$ soit irréductible sur $\Q$. Etant petit joueur, et voulant $\Theta$-jouer (au sens des $\Theta$-séries) plus tard, je suppose $a$ positif et non carré (donc $a \ge 2$). Voici un morceau d'information galoisienne où $\sqrt a = x^2$ :
$$
\xymatrix {
&&L\ar@{-}[dll]\ar@{-}[ddl]|{\langle r^2,s\rangle} \ar@{-}[dd]|{\langle r^2,rs\rangle} \ar@{-}[ddr]|{\langle r\rangle}
\\
E=\Q(x)\ar@{-}[dr] &&& \\
&\Q(\sqrt a)\ar@{-}[dr] &\Q(i\sqrt a) \ar@{-}[d] &\Q(i)\ar@{-}[dl] &&&\\
&&\Q \\
}
$$
En voulant identifier les conducteurs des L-séries des représentations de $D_4$ de dimension 1 notées $\rho_{1,2}$, $\rho_{1,4}$ et $\rho'_1$, je me suis aperçu que je faisais fausse route : il fallait oser en faire plus et en fait identifier ces L-séries en fournissant, pour chacune d'entre elles, le caractère de Dirichlet $\chi$ tel que
$$
L_{\rho} = L_\chi \qquad \hbox {$\rho$ une des 3 représentations de dimension 1 ci-dessus}
$$
On sait que cela signifie, pour les $p$-Euler facteurs :
$$
Z_p(L_\rho, T) = {1 \over \det_{\rm IN} \big(I - \det(\rho(\text{Frob}_p)) T \big)} = {1 \over 1 - \chi(p) T} \qquad\qquad (\star)
$$
L'indice IN à $\det$, c'est le fameux coup de l'inertie neutralisée. Je vais encore en reparler (plus tard) quitte à passer pour le gars qui fait une fixette. Vu la petitesse de la dimension 1, $(\star)$ équivaut à
$$
\chi(p) = \cases { \det(\rho(\text{Frob}_p)) &si $p$ est non ramifié dans $L$\cr 0&sinon}
$$
Et là je me suis posé une question (qui prouve que je n'y connais rien) : pourquoi, étant donné une représentation de dimension 1 d'un groupe de Galois $\rho : G = \text{Gal}(L/K) \to \C^*$, où $L/K$ est une extension galoisienne de corps de nombres, un tel caractère $\chi$ de Dirichlet existerait-il ?
Quelle double ignorance de ma part ! L'existence de $\chi$ is the E. Artin's famous fundamental reciprocity law of abelian class field theory comme écrit par Gelbart en bas de la page 180 in https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183551573
Voir aussi http://www.ams.org/journals/bull/2016-53-01/S0273-0979-2015-01515-6/S0273-0979-2015-01515-6.pdf, à la page 21, section 4.7 : the case $n=1$ finds a satisfactory solution in class field theory ...etc.. C'est d'ailleurs cet auteur qui m'a inspiré en ce qui concerne $D_4$ : cf example 3.4.2 pages 9-10. Mais l'auteur explique-t-il vraiment pour les petits ce qui se passe ? Moi, je trouve que non. De la même manière qu'il sortira, à la page 4, comme du chapeau du magicien, le polynôme $X^3 + X^2 - 2X -1$ sans en signaler sa provenance. Il s'agit du simplest cubic field $X^3 - aX^2 - (a+3)X -1$ pour $a=-1$, de discriminant carré $(a^2 + 3a + 9)^2$.
En étudiant le noyau des 3 représentations $\rho_{1,2}, \rho_{1,4}, \rho'_1$, de manière groupiste d'une part et de manière galoisienne d'autre part (il y a intérêt à connaître ce que signifie $\text{Gal}(X^4 - a) \simeq D_4$ !), on comprend, de manière intuitive disons, que l'on va tomber sur les caractères de Kronecker $\chi_{-4}$, $\chi_{-a}$ et $\chi_a$. Note : $\text{Disc}(X^4 - a) = -4^4 a^3 \sim -a$ où $\sim$ signifie égal à un carré près.
Bilan : traitons des exemples et encore des exemples. Et terminons celui-ci : $D_4$ & $X^4 - a$. Et tant pis, si en étudiant des exemples, on s'enfonce dans des forêts trop profondes (pour nous), ce qui oblige à faire marche aarrière. Je pense par exemple à $X^3 - aX^2 - (a+3)X -1$ dont on n'a vraiment pas vu la fin (réaliser le corps cubique dans une extension cyclotomique) : c'est un tantinet plus complexe que de citer le théorème de Kronecker-Weber dans les salons mondains.
Suite à la suggestion de Poirot in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1524054,1524330#msg-1524330 et vu l'état du fil ``Homographies et petits groupes de Galois'', j'ouvre un nouveau fil, sorte de suite (sic) de ce fil. Je reprends le contexte du groupe diédral $D_4$ et du polynôme $X^4 - a$ dont les notations sont en dessous du post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1523908#msg-1523908. Attention au disfonctionnement du fil ``Homographies ...'', il faut descendre en dessous de ce post pointé pour comprendre. A la couche groupiste avec actions du groupe $D_4$, j'ajoute ici la couche galoisienne ci-dessous où $x = \root 4 \of a$ est une racine de $F(X) = X^4 - a$ avec $a \in \Z$ choisi pour que $F$ soit irréductible sur $\Q$. Etant petit joueur, et voulant $\Theta$-jouer (au sens des $\Theta$-séries) plus tard, je suppose $a$ positif et non carré (donc $a \ge 2$). Voici un morceau d'information galoisienne où $\sqrt a = x^2$ :
$$
\xymatrix {
&&L\ar@{-}[dll]\ar@{-}[ddl]|{\langle r^2,s\rangle} \ar@{-}[dd]|{\langle r^2,rs\rangle} \ar@{-}[ddr]|{\langle r\rangle}
\\
E=\Q(x)\ar@{-}[dr] &&& \\
&\Q(\sqrt a)\ar@{-}[dr] &\Q(i\sqrt a) \ar@{-}[d] &\Q(i)\ar@{-}[dl] &&&\\
&&\Q \\
}
$$
En voulant identifier les conducteurs des L-séries des représentations de $D_4$ de dimension 1 notées $\rho_{1,2}$, $\rho_{1,4}$ et $\rho'_1$, je me suis aperçu que je faisais fausse route : il fallait oser en faire plus et en fait identifier ces L-séries en fournissant, pour chacune d'entre elles, le caractère de Dirichlet $\chi$ tel que
$$
L_{\rho} = L_\chi \qquad \hbox {$\rho$ une des 3 représentations de dimension 1 ci-dessus}
$$
On sait que cela signifie, pour les $p$-Euler facteurs :
$$
Z_p(L_\rho, T) = {1 \over \det_{\rm IN} \big(I - \det(\rho(\text{Frob}_p)) T \big)} = {1 \over 1 - \chi(p) T} \qquad\qquad (\star)
$$
L'indice IN à $\det$, c'est le fameux coup de l'inertie neutralisée. Je vais encore en reparler (plus tard) quitte à passer pour le gars qui fait une fixette. Vu la petitesse de la dimension 1, $(\star)$ équivaut à
$$
\chi(p) = \cases { \det(\rho(\text{Frob}_p)) &si $p$ est non ramifié dans $L$\cr 0&sinon}
$$
Et là je me suis posé une question (qui prouve que je n'y connais rien) : pourquoi, étant donné une représentation de dimension 1 d'un groupe de Galois $\rho : G = \text{Gal}(L/K) \to \C^*$, où $L/K$ est une extension galoisienne de corps de nombres, un tel caractère $\chi$ de Dirichlet existerait-il ?
Quelle double ignorance de ma part ! L'existence de $\chi$ is the E. Artin's famous fundamental reciprocity law of abelian class field theory comme écrit par Gelbart en bas de la page 180 in https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183551573
Voir aussi http://www.ams.org/journals/bull/2016-53-01/S0273-0979-2015-01515-6/S0273-0979-2015-01515-6.pdf, à la page 21, section 4.7 : the case $n=1$ finds a satisfactory solution in class field theory ...etc.. C'est d'ailleurs cet auteur qui m'a inspiré en ce qui concerne $D_4$ : cf example 3.4.2 pages 9-10. Mais l'auteur explique-t-il vraiment pour les petits ce qui se passe ? Moi, je trouve que non. De la même manière qu'il sortira, à la page 4, comme du chapeau du magicien, le polynôme $X^3 + X^2 - 2X -1$ sans en signaler sa provenance. Il s'agit du simplest cubic field $X^3 - aX^2 - (a+3)X -1$ pour $a=-1$, de discriminant carré $(a^2 + 3a + 9)^2$.
En étudiant le noyau des 3 représentations $\rho_{1,2}, \rho_{1,4}, \rho'_1$, de manière groupiste d'une part et de manière galoisienne d'autre part (il y a intérêt à connaître ce que signifie $\text{Gal}(X^4 - a) \simeq D_4$ !), on comprend, de manière intuitive disons, que l'on va tomber sur les caractères de Kronecker $\chi_{-4}$, $\chi_{-a}$ et $\chi_a$. Note : $\text{Disc}(X^4 - a) = -4^4 a^3 \sim -a$ où $\sim$ signifie égal à un carré près.
Bilan : traitons des exemples et encore des exemples. Et terminons celui-ci : $D_4$ & $X^4 - a$. Et tant pis, si en étudiant des exemples, on s'enfonce dans des forêts trop profondes (pour nous), ce qui oblige à faire marche aarrière. Je pense par exemple à $X^3 - aX^2 - (a+3)X -1$ dont on n'a vraiment pas vu la fin (réaliser le corps cubique dans une extension cyclotomique) : c'est un tantinet plus complexe que de citer le théorème de Kronecker-Weber dans les salons mondains.
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Réponses
Je sais bien que c'est week-end pour toi. De temps en temps, je comprends pourquoi je ne comprends pas. Par exemple quand on dit ``représentation d'Artin de dimension 1 sur $\Q$'' donc morphisme continu $\rho : \text{Gal}(\overline\Q/\Q) \to \C^*$, j'ai (j'avais) tendance à me barrer en courant. Peut-être à cause du fait que j'ai peur de l'immensité qui figure dans ces objets ? Mais si on remplace cet objet par l'objet un peu près équivalent $\text{Gal}(L/\Q) \to \mathbb U_N \subset \Q(\root N\of 1)^*$ où $L/\Q$ est galoisienne (finie), c'est déjà moins effrayant.
Et en considérant le noyau de $\rho$, on constate que c'est étroitement lié au théorème de Kronecker-Weber. Voir par exemple example 3.4.1 page 9 de http://www.ams.org/journals/bull/2016-53-01/S0273-0979-2015-01515-6/S0273-0979-2015-01515-6.pdf
Et c'est bien pour cela qu'il faut étudier dare-dare $\det(\rho_E)$ où $\rho_E$ est notre chère représentation permutationnelle. Je veux dire par là qu'il y avait pour nous une certaine mode à jouer avec les représentations irréductibles de dimension 2 (j'espère que tu es toujours d'accord pour continuer à étudier le cadre armé par les polynômes irréductible de $\Z[X]$ de degré 3 de discriminant $< 0$ et même de discriminant non carré), mais de temps en temps, cela ne peut pas faire de mal, bébés que nous sommes, de redescendre à la dimension 1.
Autre chose : ma fixette ``inertie neutalisée''. Je la vois partout maintenant que je sais. Et de manière franche. Par exemple dans l'exposé de Heilbronn (Zeta-Functions and L-functions, chap VIII). L'auteur fait une première passe en donnant une définition provisoire d'une L-série sans y inclure les facteurs locaux ramifiés. Et il le dit franco. Et 4 pages plus loin, cette fois, il donne LA définition en spécifiant les facteurs locaux ramifiés. Ce n'est pas fait en planquette. Et il y a l'exemple $S_3$ qui est traité en détails !
Il s'agit de l'ouvrage ``Algebraic Number Theory'' (Eds Cassels & Frölich, 1967), suite à la conférence ''Algebraic Number Theory" du 1 au 17 septembre 1965 (Brighton, Sussex).
15 chapitres (le dernier est la reproduction de la thèse de Tate). 15 exposés avec des noms prestigieux : Frölich, Cassels, Birch, Attyah, Wall, Gruenberg, Serre, Tate, Heilbronn, Roquette, Kneser, Hasse, Swinnerton-Dyer, Serre (again), Hoechsmann.
Thèmes : Local fields, Global Fields, Kummer extensions, Cohomology of groups, Profinite Groups, Local Class Field Theory, Global Class Field Theory, Zeta-functions and L-functions, Class-field Towers, Semi-Simple Algebraic Groups, History of Class Field Theory (par Hasse lui-même !), Complex multiplication, ...etc..
Je ne sais pas ce qui m'a pris en 1995 de faire chauffer ma carte bancaire. Je viens de ressortir l'ouvrage en question : ni trace de soleil ni de café.
Vaste programme !
Comme je ne suis pas sûr que tu aies reçu une notification de ta boîte mail (encore en rade ?), je te signale ici que je t'ai envoyé deux messages en mp à propos d'une certaine page 458.
Vu. Mais je ne suis pas complètement d'accord avec ton ``vaste programme''. Je ne veux pas étudier le contenu de l'ouvrage ``Algebraic Number Theory'' ! Pourquoi ? Parce que je n'y connais rien. Tu sais bien que je serais par exemple plus à l'aide avec la combinatoire des idéaux monomiaux et les délices algébriques-géométriques-combinatoires initiés en partie par Stanley. Mais dans la vie, on ne fait pas toujours ce que l'on veut. Et je n'en démordrais pas : c'est de la faute à Flip Flop, qui s'est mis à compter comme un fou autour du truc imprévu de $y^n = x^n(x+a)$. Et je crois me souvenir qu'il a ajouté quelque chose du genre ``en arithmétique, je suis au degré 0''. Cela vaudrait le coup de retrouver le post pour lui faire signer et demander des dédommagements plus tard.
On veut juste étudier des exemples. On peut quand même pas traiter de vaste programme le fait d'étudier A FOND $X^4 - a$ et le groupe diédral $D_4$. De manière arithmétique. En ayant bien armé les couches faciles : la couche groupiste et la couche galoisienne. C'est faisable. La preuve : n'y connaissant rien, j'ai pas mal avancé. Il suffisait en fait de le vouloir et ne pas se cantonner aux généralités que l'on ne comprend pas toujours (sic). As tu remarqué par exemple que dans nos échanges, on n'avait PAS l'habitude de pointer wiki ? Phénomène pourtant assez répandu. Sur lequel on pourrait s'interroger.
A suivre (j'espère).
Il regroupe essentiellement tout ce qu'il y a à savoir sur les fonctions L d'Artin, avec un point de vue historique sur la chose et quelques preuves aussi ! Il prend notamment le temps de commencer par le point de vue naïf en ne considérant que les facteurs pour $\mathfrak p$ non ramifié et les étudie, puis ajoute ce que tu appelles "l'inertie neutralisée" dans sa fonction $L$ pour constituer la vraie de vraie ;-)
Personnellement ce document m'a beaucoup aidé pour appréhender ces fameuses fonctions $L$ pour mon mémoire de M2.
Merci. Et à mon avis (disons à première vue et probablement à deuxième vue, à troisième vue ..etc..), super bonne pioche. Supervised by Professor Benedict H. Gross ! Diantre. Et Historical Approach. Mais c'est cela qu'il nous fallait.
Je confesse que notre approche est désordonnée. Est-il utile de préciser que nous ne sommes PAS des experts, mais seulement des petits joueurs. Que nous ne comprenons pas tout (sic) des objets que nous voulons illustrer sur des petits exemples, que de temps en temps (re-sic) nous abusons un tantinet d'un certain logiciel que je ne nommerai pas (et à ce moment là, je ne peux PAS me permettre de louper un facteur local au prétexte qu'il est ramifié). ...etc...
Flip-flop : comment as tu fait pour nous lancer là-dedans ??
Poirot again. Petit problème : je vais le ranger où ce document de 121 pages pour le retrouver dans mon bureau ? Tu vas me dire que c'est mon problème. C'est pas faux. Encore merci.
Super bonne nouvelle. Et il faut encore remercier Poirot (moi, je l'ai fait). Quelle bonne nouvelle ? On peut partir en vacances. Tu auras tous les week-end(s) que tu veux. Et même plus. Car dans le document pointé par Poirot, Noah Snyder, l'auteur de la thèse, traite, dans son chapitre III, de A à Z, le cas de $X^3 - n$. Titre ``Computing the Complete Artin L-functions for the Spllitting Field of $X^3 -n$ over $\Q$''. Oui, je dis bien ``Complete''. T'es pas encore levé ? Ben, si t'es levé, tu peux retourner te coucher.
Et elle pas belle la vie ?
Hum, peut-être que je m'emballe un peu. Car il y a Corentin. On n'a pas lu jusqu'au bout, il me semble. Je parle pas de la bande dessinée. Mais de Corentin Perret-Gentil : le document de 99 pages (pas 100) sur la corrrespondance (à la Gauss) entre formes quadratiques (classes de) et idéaux des anneaux quadratiques (classes de). In https://corentinperretgentil.gitlab.io/static/documents/correspondence-bqf-qf.pdf
@Claude :
Si je comprends bien, pour les trois représentations irréductibles de $D_4$ (qui n'est pas abélien :-S) de degré $1$, on s'en sort en considérant les caractères de Dirichlet associés (qui existent grâce à Kronecker-Weber).
Et pour celle de degré $2$, il faut regarder votre travail avec flipflop sur $\rho_E$.
Pas trop d'horreurs dans ce que je dis ?
J'ai juste fait deux petits trucs : chasse aux Frobenius et petite prise en main de pari / gp.
Chasse aux Frobenius : Je n'ai pas bien vérifié mais il s'agit du truc suivant :
Je prends les notations du diagramme ici
Si $\mathfrak{p}$ (non ramifié, je n'ai pas encore regardé proprement) est un idéal de $\Z[ i]$ au dessus d'un premier $p \in \Z$. Alors si $D(\mathfrak{p} ; \Q[ i] \mid \Q) = \{ e \}$ (i.e le Frobenius est trivial) (c'est contrôlable par la cyclotomie et le caractère $\chi_{-4}$)). Alors en prenant $\mathfrak{P}$ divisant $\mathfrak{p}$ dans $\mathcal{O}_L$ alors le groupe de décomposition $D(\mathfrak{P}, L \mid \Q:)$ est dans le groupe de Galois de $L : \Q[ i]$.
En gros, ce que je veux dire : c'est que si on regarde le Frobenius sur les trois étages quadratiques (cyclotomie qui gouverne), on va pouvoir si des choses sur la classe de conjugaison du grand Frobenius sur $L \mid \Q$. [ ensuite on va aussi pouvoir regarder les histoires de forme binaire quadratique qui va donner des informations].
Je fais mieux ce soir ou demain avec l'exemple $a=2$ (:D
Soit $\rho$ la représentation de $\rm{Gal}(L/\Q)$ de degré $1$ telle que $r\mapsto 1$ et $s\mapsto -1$.
Alors $\ker(\rho)=\rm{Gal}(L/\Q(i))$.
Comme $i$ est une racine primitive $4$-ième de l'unité, on peut associer à $\rho$ le caractère multiplicatif (non trivial) de $(\Z/4\Z)^\times$, à savoir $\chi_{-4}$.
D'où un seul $p$-Euler facteur non trivial :
$$Z_3(L_\rho,T)=\frac{1}{1+T}.$$
Je délire ?
Magma Calculator fonctionne à nouveau ! ;-)
Pour communiquer, peut-être que l'on pourrait s'accorder ? Je dis bien peut-être. Par exemple, ta $\rho$ en dimension 1, je l'ai baptisée $\rho_{1,2}$, le $1$ because sa dimension, et le 2, parce que c'est $\det(\rho_2)$ où $\rho_2$ est la représentation irréductible de dimension 2. Y'a un post pour cela dans le défunt fil ``Homographies ...''. Je ne tiens pas à ce que l'on prenne mes notations, mais moi, je ne changerai pas les miennes.
Oui, $L_{\rho_{1,2}}$, c'est $L_{\chi_{-4}}$, mais le $p$-Euler facteur de cette dernière, ce n'est pas ce que tu as écrit.
@vous deux
J'ai pas fait grand chose. J'ai juste verrouillé la base pour éviter que cela nous pète à la g.eule plus tard. J'ai vraiment assuré $\rho_4 = \varepsilon \oplus \rho'_1 \oplus \rho_2$ de manière ``caractérielle'' en louchant sur Serre (Représentations linéaires des groupes finis, p. 52-53 consacrées au groupe diédral) puis je l'ai fait pour de vrai à la main : $\varepsilon$ c'est le long de la droite engendré par $e_1 + e_2 + e_3 + e_4$, $\rho'_1$ le long de celle engendrée par $e_1 - e_2 + e_3 - e_4$. Et $\rho_2$ pour le plan othogonal au plan engendré par ces deux droites. Cela ne sert peut-être à rien mais c'est pour sécuriser la chose.
C'est pas ça qui nous fait l'arithmétique. Mais on peut donc deviner ce que sont les $L_\rho$ pour $\rho$ de dimension 1. Et du coup, on aura :
$$
\zeta_E = \zeta \times L_{\chi_a} \times L_{\rho_2}
$$
d'où l'obtention de $L_{\rho_2}$ pour vérification. Je fais aussi le pari, de manière générale que
$$
L_{\det(\rho_E)} = L_{\chi} \qquad \hbox {où $\chi = \chi_{\text{Disc}(\mathcal O_E)}$ est le caractère de Kronecker ``relaché''}
$$
J'ai aussi regardé comment Snyder (auteur de la thèse pointée par Poirot) réalisait ses calculs pour $X^3 - n$. On a des choses à apprendre ! Il fait pas mal de recoupes (vérifications). Il utilise un machin nommé Fürhrerdiskriminantalenproduktformel (je pense que cela doit être Conductor Discriminant Formaulae).
Pour l'instant, comme je n'ai pas travaillé, je n'ai pas le discriminant de $\mathcal O_E$ pour $E = \Q(x)$ où $x$ est une racine de $X^4 - a$. Petit souci : supposer $a$ square-free, c'est raisonnable ; mais pas nécessaire ?
J'ai lu à droite, à gauche. Je me mets à apprécier pas mal l"histoire des maths dans ce domaine. Snyder raconte qu'il n'y avait pas de version anglaise d'un certain article d'Artin : il s'en est chargé (avec d'autres personnes) à la fin de sa thèse.
Au fait flip-flop, on peut pas partir en vacances. Car l'auteur de la thèse ne touche pas du tout au monde de la fumette $ L_{\rho_2} \mapsto S_{\rho_2} \in S_1(\Gamma_0(N), \chi)$ avec $N$ et $\chi$ comme on l'a dit. J'ai décidé d'écrire à Ernst Kani concernant les $\Theta$-séries. Cela semble être lui le grand spécialiste. Il dit une chose étonnante dans un article (2006-2008) : the binary case does not seem to have treated in detail in the literature. Alors que les formes quadratiques $ax^2 + bxy + cy^2$ ont été vachement étudiées ainsi que les séries $\Theta$ en $2k$ variables pour $k \ge 2$. C'est le Ernst Kani que l'on a déjà vu pour les nombres convenables d'Euler et qui dit
In reading over the literature on idoneal numbers, I was surprised to find a multitude of misleading or erroneous statements.
Enfin, on va pas s'en sortir uniquement pas des posts ! J'ai des semaines de retard (je suis en train de mettre à jour des pdf sur la cyclotomie, j'en ai 3 en chantier).
En fait, il faut faire pour tout $p$ premier et pas seulement pour $p=3$. On gros, tu vas sortir un truc du genre :
$$
Z_p(T) = \frac{1}{1-\chi_{-4}(p)T}
$$
A ce niveau là, ce que je dis n'a rien a voir avec la situation que l'on étudie. (je n'ai pas encore compris comment le fait de casser la représentation permet de faire des factorisation et comme ça marche).
et une fois que tu as ça si tu veux récupérer le $p$-facteur de $\Q[ i]$ il faut multiplier ça par le $p$ facteur trivial (celui de la fonction zéta de Riemann) c'est à dire $\frac{1}{1-T}$. (pourquoi ? je ne sais pas encore bien).
A ce moment là tu tiens le $p$-facteur de $\Q[ i]$ qui est de la forme :
$$
\prod_{i=1}^g \frac{1}{1-T^f}
$$
Avec $f$ et $g$ le degré résiduel de $p$ et le nombre de premier au dessus de $p$ dans l'extension $\Q[ i]$.
Tu peux aussi faire le "produit" de tout les $p$-facteurs pour obbtenir la fonction $\zeta$ de Dedekind de l'extension $\Q[ i]$.
i.e $$
\prod_{p} \frac{1}{1-\chi_{-4}(p)p^{-s})} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s) \times \left( \sum_{n >0} \frac{\chi_{-4}(n)}{n^s} \right)
$$
(a vérifier mais je pense que c'est ok). A ce niveau là avec cette fonction $\zeta$ de Dedekind tu peux récupérer le fait que $\Z[ i]$ est principal. (si tu veux je peux retrouver le calcul).
Ligne 6 à partir du haut de ton dernier post. Tu dis ``pourquoi je ne sais pas encore bien''. Je dis, dans le cas quadratique avec un discriminant quadratique fondamental $D$, on a avec les notations habituelles :
$$
\left( {1 \over 1 - T^{f_p}} \right)^{g_p} = {1 \over 1-T} \times {1 \over 1 - \chi_D(p)T}
$$
Avec $e_pf_pg_p = 2$ (et $e_p$ que l'on ne voit pas of course, inertie neutralisée). Petite vérification à faire pas méchante vu la petitesse de $e_pf_pg_p = 2$. Et à gauche, c'est le $p$-facteur d'Euler de la série zeta de $\Q(\sqrt D)$. Trop poussif mon point de vue ? Pour moi, cela raconte la loi de factorisation de $p$ dans $\Q(\sqrt D)$, en oubliant l'inertie.
Est ce que cela répond à ta question ?
Rappel du $p$-facteur d'Euler de $\zeta_E$. De manière générale, c'est, avec les notations habituelles.
$$
Z_p(\zeta_E, T) = \prod_{i = 1}^g {1 \over 1 - T^{f_i}}
$$
Idem, cela raconte la loi de factorisation de $p$ dans $E$, inertie oubliée.
Si $p=1\bmod 4$, $Z_p(L_{\rho_{1,2}},T)=\dfrac{1}{1-T}$.
Si $p=3\bmod 4$, $Z_p(L_{\rho_{1,2}},T)=\dfrac{1}{1+T}$.
@Claude :
Est-ce que $a$ est sans facteurs carrés ?
Dans ce cas-là, je pense pouvoir m'attaquer à la représentation de degré $1$ de noyau $\rm{Gal}(L/\Q(i\sqrt{a}))$.
Quel est le nom que tu as choisi à celle-ci ?
J'ai essayé de donner le décor (notations ...etc..), dans le dernier post de "Homographies ...etc..". Cela m'a pris un certain temps pour le taper (ce sont mes notations). Cela sera plus simple (pour moi) si tu consultes ce post (le vrai dernier, pas le faux).
$a$ est comment ? Comme on veut. J'ai commencé par $a = 2$ puis $a = 3$ puis $a$ premier. Quand on est dans la m.rde (moi, presque tout le temps), préférable de faire petit.
Autre chose : $X^3 - 2$ vu par K. Conrad (15 pages) in http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/Qw2.pdf. Dans le même genre, il a $X^3-3$, $X^3-5$, $X^3-6$, $X^3-7$ (plus courts).
First let us take a look at Kronecker-Weber theorem. Most modern books view this as a corollary of class field theory, but as with the Frobenius density theorem, this can be a dangerous view to take because the 19th century result is significantly easier to prove then the 20th century theorems of which it is an ``easy corollary.''
On peut penser que le patron de thèse (B.H. Gross) était d'accord avec ce que son ``thésard'' a écrit.
Pour $\Q(i\sqrt{2})$ c'est plus complexe car le caractère qui va remplacer $\chi_{-4}$ il va falloir le trouver !
"If the author is polite" ; Le truc c'est de trouver le conducteur cyclotomique de $\Q(i\sqrt{2})$, et là il faut faire le diagramme de Galois des sous-extensions de $\Q(\zeta_8)$.
$$
\xymatrix {
& \Q(\zeta_8) \ar@{-}[dr] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dl]& \\
\Q(i\sqrt{2}) \ar@{-}[dr] &\Q(i) \ar@{-}[d] & \Q(\sqrt{2}) \ar@{-}[dl] \\
& \Q &
}
$$
Le $\Q(\zeta_8)$ dit que tu vas devoir travailler avec les inversibles modulo $8$ ..
Ps / C'est le pied du diagramme de Claude !
De plus, $\ker(\rho_{1,4})=\rm{Gal}(L/\Q(i\sqrt{a}))$.
Si $a$ est squarefee, alors le conducteur $D$ de $\Q(i\sqrt{a})$ est $a$ si $a=-1\bmod 4$, $4a$ sinon.
On a donc
$$Z_p(L_{\rho_{1,4}},T)=\frac{1}{1-\chi_{-D}(p)T}.$$
De plus, $\ker(\rho'_1)=\rm{Gal}(L/\Q(\sqrt{a}))$.
Si $a$ est squarefee, alors le conducteur $D$ de $\Q(\sqrt{a})$ est $a$ si $a=1\bmod 4$, $4a$ sinon.
On a donc
$$Z_p(L_{\rho'_1},T)=\frac{1}{1-\chi_D(p)T}.$$
Un petit lemme pour commencer :
Soit $L \mid \Q$ une extension Galoisienne de groupe $G$ et soit $H$ un sous-groupe distingué de $G$ et je note $E := L^H$.
Soit $\mathfrak{P}$ un idéal de $\mathcal{O}_L$ et $\mathfrak{p} := \mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_E$ et $p :=\mathfrak{P} \cap \Z$.
Alors :
$$
D(\mathfrak{p} ; E \mid \Q) \equiv D(\mathfrak{P} ; L \mid \Q) \pmod H
$$
Tu es OK avec ça ?
Oui, je suis d'accord. Je me suis fait la démo. Pour moi, c'est toujours le lemme de transitivité sur les idéaux premiers au dessus d'un même idéal premier, qui fait marcher le binz.
Le point le plus important dans ton égalité se reformule ainsi : pour $\tau \in D(\mathfrak p , E \mid \Q)$, il existe $\tau' \in HD(\mathfrak P ; L \mid \Q)$ qui prolonge $\tau$. Tu vas me dire ``pourquoi répètes (autrement) tu (une partie de) mon égalité'' ? Juste pour que l'on soit d'accord.
Avant, utilisation de ce petit lemme. Pour moi $a=2$.
J'attache mon brouillon concernant ton lemme (un truc pas grave : je ne tombe pas tout-à-fait sur ce que je racontais dans mon post précédent). Dans ton pdf : Ensuite, nous allons séparer
Dans ton pdf, page 2, tu dis ``je veux juste énoncer un truc qui semble fonctionner''.
Qu'est ce qui te fait dire cela ? Quelle intuition ? Note : tu as utilisé deux fois $q_1$. Dans le dernier cas $\bullet$, cela serait préférable d'utiliser par exemple $q_2(x,y) = 5x^2 + 2xy + 13y^2$.
Suite : les formes qui interviennent i.e. $(1,0,64)$, $(4,4,17)$ et $(5, \pm 2, 13)$ sont les 4 formes réduites de discriminants $-2^8 = -256$ et $q_2 = (5,2,13)$ est un générateur du groupe. Je veux dire que que le groupe des classes d'idéaux (inversibles) de l'anneau quadratique $A$ de discriminant $-2^8$ est un groupe cyclique d'ordre 4 avec comme générateur la classe de idéal qui correspond à $q_2$. On a $A = \Z[8i]$ parce que $-2^8 = f^2 \times (-4)$ avec $f = 8$.
On dirait que l'ordre du groupe $D(\mathfrak P , L/\Q)$ est en relation étroite avec l'ordre de la forme quadratique par laquelle $p$ est représenté. Petit truc (que l'on sait) : puisque $-1$ est un carré modulo $p$, il en est de même de $-2^8$ et donc $p$ est représenté par une CERTAINE forme de discriminant $-2^8$. Je suis lourd, là ?
Je viens de ``comprendre'' (entre guillemets comprendre). $\Z[8i\rbrack$ c'est $\Z[\sqrt {-64}]$ et $L = \Q(\root 4 \of 1, i)/\Q(i)$ est le ring class field du sous-anneau de nombres $\Z[8i\rbrack$ de $\Q(i)$. Cox, proposition 9.5 p. 184 (point ii).
Mais une fois que l'on a dit cela, pour moi on n'a rien dit. Je veux dire que pour pouvoir annoncer sa proposition 9.5, Cox a été obligé de spécifier un formalisme (Class Field) et d'admettre je ne sais combien de miracles. Ce qui est rageant ici, c'est que le graal, on le tient : il s'agit de $\Q(\root 4\of 2, i)$ et que l'on serait en droit d'espérer disposer d'une approche directe élémentaire. Qui, justement constituerait une instance de Class Field. Mais je n'y crois pas trop.
En passant : je dois avoir dans mes tablettes un truc général sur ``Evitement du conducteur de Dedekind''. Je dis général car on y voit plus clair dans le cas général que dans le cas particulier (cela arrive). Est ce que cela te dit quelque chose ?
Evitement du conducteur débarque dans la section C page 143 de Cox.
$L/\Q(i)$ est abélienne cyclique d'ordre 4 et le discriminant de $X^4 - 2$ est $-2^{11}$ si bien qu'il y a dans $\Q(i)$ un seul premier ramifié dans $L$ à savoir $1+i$. Un des trucs à considérer c'est
$$
I_{\Q(i),8} \in \prod_j \mathfrak p_j \longmapsto \prod_j \Bigl( {L/\Q(i) \over \mathfrak p_j}\Bigr) \in \text{Gal}(L/\Q(i))
$$
A gauche, il s'agit des idéaux (fractionnaires) de $\Q(i)$ premiers avec 8 (ou 2 pareil). Un autre bon point ici c'est que $\Z[i\rbrack$ est principal.
Sinon je ne connais pas l'évitement du conducteur de Dedekind !
Cela fait beaucoup de choses à lire ! Le gros problème c'est de faire passer l'application d'Artin au quotient par les idéaux principaux. Je n'ai jamais vu un exemple où on pouvait faire une preuve à la main sous prétexte que l'on est dans un cas particulier.
Je m'explique en changeant légèrement le cadre, i.e. en imposant ``plus de ramification''. $L/K$ une extension abélienne de corps de nombres non ramifiée. On est capable d'en fournir plusieurs exemples sur lesquels on a la main : le certificat qui dit qu'elle est non ramifié, la détermination explicite et aux petits oignons de $\text{Gal}(L/K)$ où l'on contrôle sans peine qu'il est abélien (on aura même pu le choisir cyclique si on veut) et enfin la main sur le groupe $\text{Cl}(\mathcal O_K)$ des classes d'idéaux.
Des petits exemples explicites comme cela, on peut en produire à la pelle. Tu de doutes que, pas fous, on prendra $K$ quadratique imaginaire pour avoir la main sur $\text{Cl}(\mathcal O_K)$. Et que l'on imposera $\text{Gal}(L/K)$ et $\text{Cl}(\mathcal O_K)$ isomorphes (pas fous), par exemples cycliques de même ordre.
Alors ``surgit'' l'application d'Artin définie au niveau des idéaux (non nuls) de $\mathcal O_K$ par multiplicativité, et donc qui est multiplicative :
$$
\text{Art} : I(\mathcal O_K) \to \text{Gal}(L/K) \qquad \qquad (\star)
$$
Dans les exemples que l'on aura choisi, on aura que $\text{Art}$ est surjective. Pourquoi ? Parce que l'on aura choisi des exemples sur lesquels on la main. C'est NOUS qui les choisissons, on ne se laisse pas imposer des exemples par autrui.
Le problème est le passage au quotient par les idéaux principaux dans $(\star)$. Je n'ai jamais vu jusqu'à maintenant quelqu'un le faire sur un exemple.
Et ce passage au quotient pourquoi c'est vrai ? Parce que cela constitue le fameux ``Artin reciprocity theorem for the Hilbert Class Field''. Qui est un cas particulier du Artin reciprocity theorem for Class Field. Particulier car ici pas de ramification. Et il dit quoi ce théorème ICI. D'une part que Art est surjective (mais cela ne nous angoisse pas trop) mais surtout et surtout que le noyau de Art est exactement le sous-groupe des idéaux principaux. Je triche un tout petit peu car au lieu dans $(\star)$, j'aurais dû prendre les idéaux fractionnaires de $K$ et pas seulement les idéaux entiers.
Cela se situe à la page 109 de Cox. Mais si cela se trouve ta page 109 dans le pdf est blanche. Un bug du pdf chez moi (mais j'ai la version papier). Et chez toi, le pdf ?
Imagine un instant que l'on puisse passer au quotient par les idéaux principaux sans savoir que ceux ci constituent exactement le noyau. On AURAIT donc $\text{Cl}(\mathcal O_K) \to \text{Gal}(L/K)$ et dans les fameux exemples, comme c'est surjectif et de même cardinal au départ et à l'arrivée, cela ferait une instance de Hilbert Class Field.
Mais cela, je n'y crois pas. Jamais vu. On ne pourra pas le faire sur des exemples. On aura besoin du théorème d'Artin.
Autre chose. Je t'attache deux pages sur évitement du conducteur de Dedekind. Cadre général $A \subset B$ avec l'idéal conducteur de l'un dans l'autre. Si tu évites le conducteur, i.e. si tu ne considères que des idéaux co-maximaux au conducteur, en haut ou en bas (le conducteur est à la fois un idéal de $A$ et de $B$), tu montres facilement qu'extension et contraction sont réciproques l'une de l'autre. Plus conservation du résiduel, stabilité par les opérations habituelles, stabllité pour l'inversiblité. Bref, que du bonheur.
Cyclotomie en chantier ?
(1) Arithmétique des sous-extensions $K$ de $\Q(\root p \of 1)$. Bases normales (des périodes de Gauss) des anneaux d'entiers $\mathcal O_K$. Calcul de leur discriminant (conductor discriminant formula pour les bébés, le discriminant est $\pm p^{e-1}$, où $e = [K : \Q]$, pense à $K$ quadratique, faut que je m'occupe de $\pm $ en chantier).
(2) L'anneau des entiers de $\Q(\root n \of 1)$. Egalités cyclotomiques diverses. Conducteur cyclotomique i.e. j'ai repris et simplifié $p \mid f_K$ ssi $p$ est ramifié dans $K$. Mais un truc immense s'est ouvert : extension maximale non ramifiée. Et j'ai compris que jamais je n'aurais dû lacher les valuations discrètes et Corps Locaux de Serre. Je peux pas expliquer.
(3) Je sais plus. Peut-être le goufre qui s'est ouvert : faire trop élémentaire. Déjà entre-aperçu dans le coup de l'action sur $\text{Hom}_K(E,L)$ : les $e_jf_j$ sont les dimensions locales ... etc... On veut faire à la main mais on peut pas toujours. Des regrets. Je peux pas expliquer. Sauf à donner un pointeur et pas fier d'avoir oublié des choses faites il y a $x$ années. J'avais cru comprendre que les valuations discrètes, tu ne voulais pas en entendre parler.
Pointeur : http://www.math.univ-toulouse.fr/~hallouin/Documents/eh-valuation.ps
En fait, tout est en CHANTIER. Et si cela se trouve, cela pourrait y rester !
Je ne sais pas si ça peut aider mais dans ce [document], on voit p.7 une correspondance entre idéaux propres d'un anneau quadratique imaginaire de discriminant $D$ et formes quadratiques binaires de même discriminant (et plein d'autres choses qui m'échappent :-S).
Autre suggestion : Demander à Serre qui fait aussi ça (entre autres) dans "On a theorem of Jordan". ;-)
Je vais essayer de regarder $L_{\rho_2}$...
A propos de dihedral-L-function-11-09-13h.pdf. Je pense quand même qu'il faut que tu insistes. Car tu avais bien quelque chose en tête : par exemple, passer par $\Q(\sqrt 2)$ en bas de la page 1. Et ensuite ``penser à un truc qui semble fonctionner'' et qui concerne $\Q(i)$. D'ailleurs, pour $p \equiv 1 \bmod 4$, tu es convaincu que :
$$
\hbox {$p$ est représenté par $q_i$} \quad\Longleftrightarrow\quad D(\mathfrak P ; L/\Q) = \hbox {truc}_i
$$
J'ai mis une équivalence. Peut-on penser que l'on pourrait prouver une direction (implication) ?
Autre chose : je n'arrive pas à générer $L = \Q(i)(\root 4 \of 2)$ à partir de la primitive RayClassGroup.
Ps celui de Manu je veux dire
$\chi_{-4}(p)=\chi_{8}(p)=1$ si et seulement si $D(\mathfrak{P} ; L \mid \Q) = \{ e \}$. Je vais voir si on arrive a distingué les autres cas.
Par contre, je pense que j'ai fait une erreur dans le pdf. Je vais revoir mieux !
Pas facile par exemple de trouver une extension abélienne de $\Q(i)$ non ramifiée en-dehors $2$.
> QX<X>:=PolynomialRing(Rationals()); > K<i>:=NumberField(X^2+1); > KY<Y>:=PolynomialRing(K); > OK:=MaximalOrder(K); > Discriminant(OK); -4 > L:=NumberField(Y^4-2); > OL:=MaximalOrder(L); > Discriminant(OL); Principal Ideal of OK Generator: [-256, 0] > G,m:=RayClassGroup(2*OK); > E:=AbelianExtension(m); > M:=NumberField(EquationOrder(E)); > M; Number Field with defining polynomial X^2 + 1 over the Rational FieldFlip-flop : je vois une petite coquille à la page 2 de ton pdf : si $p$ est représenté par $q_1 = (4,4,17)$, alors $D(\mathfrak P ; L/\Q) = \{e,r^2\}$ au lieu de $\{e,r\}$ comme tu as marqué. Mais c'est juste une coquille pas une erreur. Pour me faire la main, et pour te rassurer en ce qui concerne ce que tu annonces en haut de la page 2 (représentation des premiers $p \equiv 1 \bmod 4$ par les formes $q_0, q_1, q_2$), j'ai monté une calculette pour $(K, \mathfrak m) = (\Q(i), 8\Z[i\rbrack)$, une calculette montée sur le formalisme Class-Field, ce qui m'a permis de vérifier tes dires (je parle de ceux de la page 2, à la page 1, en bas, c'est pas bien, mais je n'ai pas vérifié).
Je vais utiliser les notations de Cox, disons pages 143-146 et 179-180. Je travaille donc avec le modulus $\mathfrak m = 8\Z[i\rbrack$. Je crois que l'on dit cycle en français. Ce que l'on voit c'est la partie $\mathfrak m_0$ i.e. rien du côté $\mathfrak m_\infty$ because $K = \Q(i)$. Avec les notations de Cox, en haut de la page 180, cf aussi (9.1) p. 179, avec $f=8$, on dispose des inclusions :
$$
P_{K,1}(f) \subset P_{K,\Z}(f) \subset I_K(f) \qquad \qquad (\star)
$$
et un isomorphisme $I_K(f) / P_{K,\Z}(f) \simeq \text{Cl}(A_f)$ où $A_f = f\Z + \Z[i\rbrack = \Z[fi\rbrack$ est l'unique sous-anneau quadratique de $\Z[i\rbrack$ d'indice $f$ (et du coup, en quadratique, de conducteur $f$). Cet isomorphisme, ce n'est pas méchant c'est juste l'évitement du conducteur de Dedekind : on ne parle plus en termes d'idéaux de $A_f$ mais d'idéaux de $\Z[i\rbrack$. Mais comme on leur demande d'éviter le conducteur, c'est kif-kif. Voir les deux pages attachées d'hier ou bien la section C de Cox, Ideals prime to the Conductor p. 143-146.
Note que pour l'instant les objets qui interviennent dans $(\star)$ sont internes à $K = \Q(i)$. Pour l'instant, on a donc une surjection :
$$
\text{Cl}_{\mathfrak m} := I_K(f)/P_{K,1}(f) \longmapsto I_K(f)/P_{K,\Z}(f) = \text{Cl}(A_f)
$$
Ici, petit mélange de notations générales (utilisation du modulus $\mathfrak m$) et de notations à la Cox liées au conducteur $f = 8$ de $\Q(i)$.
Je vais donc élaborer ce binz. Et surtout utiliser le théorème d'existence pour générer une certaine extension abélienne $A$ de $\Q(i)$. J'utilise ci-dessous le préfixe A pour dénoter tout ce qui est abélien, mécanique Class Field, par opposition ``aux équations'' (polynômes). Cette extension $A/\Q(i)$ possède les propriétés spécifiées par le cahier des charges Class Field. Je donnerai un pointeur sur Cox et je vais pas tout expliquer (pour la bonne raison que je n'ai pas tout pigé).
On voit ici que $\text{Cl}_{\mathfrak m} \simeq \Z/2\Z \times \Z/4\Z$, chose interne à $K = \Q(i)$. Et on voit le renseignement $[A : \Q(i)] = 8$. C'est un maigre renseignement par rapport à l'isomorphisme fourni par Artin. A ce propos, c'est instructif de regarder le cahier des charges (conjectural) de Hilbert, celui de Weber et même (je pense) de Takagi. Il faudra attendre Artin pour disposer d'un isomorphisme explicite (Artin map !).
A ce propos, voici de que dit Snyder (Historical approach of Artin's L-functions) à la page 52
It may seem amazing to us in retrospect that in the decades between the conjecture of the isomorphy theorem and Artin’s statement of his reciprocity theorem, no one had bothered to ask the question, “what exactly is this isomorphism.” Takagi gave a proof of the result simply by reducing to the cyclic case and counting. The modern student of mathematics are conditioned to ask immediately when presented an isomorphism, “is it canonical?” But in the 19th century this was not yet considered a crucial question
Dans la calculette magma, là haut, l'application $I$ est simplement le choix d'un représentant (un idéal qui représente la classe modulo $P_{K,1}(f)$).
Maintenant, j'ai bien l'intention d'élaborer $\Q(i)(\root 4 \of 2) = \Q(i)(\root 4 \of -2)$. Regarde bien ce 2 versus $-2$. Pas fier de le dire mais cela m'a fait perdre du temps : ``le'' corps de décomposition de $X^4 - 2$ sur $\Q(i)$, c'est aussi un corps de décomposition de $X^4 + 2$ sur $\Q(i)$. Grâce à $(1+i)^4 = -4$ from $(1+i)^2 = -2i$. La honte. De plus, des algorithmes non déterministes sont utilisés ici : de temps en temps, une équation de $A_H$ sur $\Q(i)$, c'est $X^4 - 2$ et parfois $X^4 + 2$. Aucune raison de préférer l'un à l'autre. Quel âne. Et $A_H$, au fait c'est $A^H$. Après quelques essais, j'ai choisi le bon sous-groupe $H$ d'ordre 2 de $\text{Cl}_{\mathfrak m}$ dont le résiduel est isomorphe à $\Z/4\Z$. Je vois ci-dessous que j'ai juste testé l'ordre égal à $4$, c'est pas bien.
J'ai fait calculer le discriminant de $A_H$ et la signature de $A_H$. Ce discriminant est un idéal de $\Z[i\rbrack$. Rappel : tant que le préfixe est A, c'est Abelian Class Field. J'ignore quels calculs sont réellement effectués : un peu comme si on avait armé le cahier des charges dans le coeur de la machinerie. Mais moi, pauvre naze habitué aux équations, je vais craquer en demandant la génération d'une équation via NumberField. Hautement non recommandé car ici il y a du calcul. Mais dans ce petit cas, c'est instantané.
Prochaine étape : montage de l'Artin map et vérification de tes dires en haut de la page 2.
Soit $\mathfrak{P}$ un idéal de $\mathcal{O}_L$ divisant $p$. Alors $D(\mathfrak{P} ; L \mid \Q) \subset \langle r^2,s \rangle$. Mais comme $\chi_{-4}(p) =-1$ on en déduit que $D(\mathfrak{P} ; L \mid \Q) \not \subset \langle r \rangle$. On en déduit deux possibilités :
- $D(\mathfrak{P} ; L \mid \Q) = \{ e, s \}$
- $D(\mathfrak{P} ; L \mid \Q) = \{ e ,r^2s\}$
On considère l'action de $r$ sur $\mathfrak{P}$, alors $r$ n'est pas dans le groupe de décomposition et $r(\mathfrak{P})$ est un idéal premier de $\mathcal{O}_L$ au dessus de $p$ et son groupe décomposition est $r D(\mathfrak{P} ; L \mid \Q) r^{-1}$. Et cette conjugaison échange les deux cas.Quitte a faire cette conjugaison on fait l'hypothèse que :
- $D(\mathfrak{P} ; L \mid \Q) = \{ e, s \}$
- $D(r(\mathfrak{P}) ; L \mid \Q) = \{ e ,r^2s\}$
Maintenant, on va passer par $\Q(\sqrt{2})$.On a :
- $D(\mathfrak{P} ; L \mid \Q(\sqrt{2})) = \{ e, s \}$
- $D(r(\mathfrak{P}) ; L \mid \Q(\sqrt{2})) = \{ e ,r^2s\}$
Et par suite :- $D(\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_E ; E \mid \Q(\sqrt{2}) = \{ e\}$
- $D(r(\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_E) ; L \mid \Q(\sqrt{2})) = \{ e ,\overline{r}^2\}$
Et on en déduit que :$$
\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_E = (\bullet)(\bullet) \qquad \text{et} \qquad r(\mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_E) = (\bullet)_2
$$
et
$$
(p) = (\bullet)(\bullet)(\bullet)_2
$$
Ps / Il est bien trouvé le nom de mon activité (avec le lemme d'hier) chasse aux Frobenius :-D
Vu
Ici juste un petit truc pour te rassurer (haut de la page 2). J'ai monté l'Artin Map (je dirais comment plus tard, c'est un peu technique comme dit l'autre, faut connaître un peu magma et le cahier des charges Class-Field). Ici je te montre le résultat : PQ$_i$ c'est un ensemble de premiers représentés par la forme quadratique $q_i$ de discriminant $-2^8 = -256$. Je les ai factorisé dans $\Z[i\rbrack$ en retenant un des deux premiers, ce qui donne les listes $P_1, P_2, P_3$ de premiers de $\Z[i\rbrack$ (que je ne montre pas ici).
Tu vois le résultat en termes du groupe cyclique ADDITIF $\langle g\rangle = \Z/4\Z$.
Mais on a sa petite fierté, n'est ce pas ? Pour te faire plaisir, j'ai fait une version Pretty ``pour la gueule'' (comme on dit dans le métier). Juste pour qu'avec tes yeux, tu puisses voir des puissances de $r$, où $r$ est le générateur d'un groupe cyclique MULTIPLICATIF d'ordre 4.
Non, mais.
Avec ce que j'ai fais (chasse aux Frobenius): le seul point que je n'ai pas réussi a obtenir c'est la différenciation entre les deux premiers cas Pq0 et Pq1 (qui partitionne en deux la classe $1 \pmod{8}$) la dernière ligne c'est les $5 \pmod{8}$.
J'arrive également à obtenir les cas où $\chi_{-4}(p)=-1$.
Du coup, les deux formes que tu as trouver la fois dernière fois (avec la $\theta$-calculatrice) ça doit être $x^2+64y^4$ et sa copine $4x^2+4xy+17y^2$. ?
J'ai modifié des coquilles dans le post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1524614,1525728#msg-1525728, coquilles qui rendaient incompréhensibles ce que je rapportais de Cox. On ne doit pas voir d'autres symboles que $I_K(f)$, $P_{K,\Z}(f)$ et $P_{K,1}(f)$. Tout autre symbole qui ressemble à cela mais qui n'est pas exactement cela est une coquille.
Oui, dans le deuxième post, $q_0$ et $q_1$ sont bien ce que tu dis. Le post est mal fait car je ne montre pas tout ce qu'il faut montrer pour comprendre. Ce n'est pas si facile de faire un post qui ... Ci-dessous, j'en dis un peu plus par exemple comment générer les objets depuis $q_0$. Pour $q_1, q_2$, pareil.
> Q := BinaryQuadraticForms(-2^8) ; > QmodSL2Z := ReducedForms(Q) ; > q0 := Q![1,0,64] ; > q1 := Q![4,4,17] ; > q2 := Q![5,2,13] ; > > borne := 10 ; > Vq0 := Sort(SetToSequence({Valeur(q0,x,y) : x,y in [1..borne]})) ; <---- Valeur : maison > Pq0 := [m : m in Vq0 | IsPrime(m)] ; > Pq0 ; [ 73, 89, 113, 257, 281, 337, 577, 601, 1033, 1049, 1601, 1609, 3137, 3217, 4177, 5209, 5233, 6449, 6481 ] > // Decomposition(Zi!41) = [ <prime-ideal,exponent>, <prime-ideal,exponent>, ... ] > P0 := [ZiIdeals| Decomposition(Zi!p)[1][1] : p in Pq0] ;Un truc qui va être intéressant : c'est que $\text{Cl}_{\mathfrak m}$ contient un autre sous-groupe $H$ d'ordre 2 de résiduel cyclique d'ordre 4. D'où une autre extension abélienne cyclique d'ordre 4 de $\Q(i)$ telle que ..
Plein de trucs pas bien faits, en fait. J'aurais dû montrer ..., j'aurais dû ...etc... Je ne parle pas de l'Artin Map dont je ne veux pas, pour l'instant, montrer l'élaboration. Seulement du reste qui était censé aider à comprendre la machinerie ... C'est après que l'on se rend compte de .. Des posts en temps réel, méfions nous.
Dans le premier post, je montre des choses concernant $I$ ci-dessous et qui, pour des raisons pédagogiques (bigre), auraient dû être montrées :
$$
I : \text{Cl}_{\mathfrak m} \longmapsto I_K(f)
$$
Les éléments $a, 2b, a+2b$ sont les éléments d'ordre 2 de $\langle a,b\rangle = \Z/2\Z \times \Z/4\Z$.
A propos de ton dernier post. OUI tu as raison. La forme modulaire $S_{\rho_2}$ associé à la L-série $L_{\rho_2}$ de la représentation irréductible de dimension 2, qui figure dans $\rho_E$ où $E = \Q(x)$ avec $x$ racine de $X^4 - 2$ est bien comme tu le dis:
$$
2S_{\rho_2} = \Theta_{1,0,64} - \Theta_{4,4,17}
$$
B.rd.l de m.rde : comment SAIS tu cela ? Es tu un sorcier ?
Au secours : Flip-flop est un sorcier.
C'est le comptage qui oblige a que ce soit comme ça, avec les exemples en degré $3$, j'avais un peu réussi a comprendre. Là c'est juste que ça doit être comme ça ! Je vais essayer de le faire proprement (je garantie pas que j'y arrive)
Mais je pense que la bonne question c'est : qu'est-ce que l'on fait du point de vue Galoisien quand on divise par $\zeta$ et par $Lchi8$, est-ce que ça ne veut pas dire qu'on regarde l'extension $\Q(x)$ sur $\Q(\sqrt{2})$ et que l'on fait la $\zeta$ de Dedekind (ou d'artin) de cette extension ?
En ce qui concerne $S_{\rho_2}$ associée à $L_{\rho_2}$ où $\rho_2$ est la représentation irréductible POUR LE DEGRE 3, i.e. celle qui figure dans $\rho_E$ où $E = \Q(x)$ avec $F(x) = 0$ où $F \in \Z[X]$ est un polynôme irréductible de degré 3 à discriminant $< 0$, TOUTES les formes de discriminant $\text{Disc}(\mathcal O_E)$ interviennent dans la décomposition de $2S_{\rho_2}$ en $\Theta$-séries.
Sais tu pourquoi, oh grand sorcier ? Et avec les coefficients $\pm 1, \pm 2$.
Mais pas en degré 4. J'ai joué avec $F(X) = X^4 -a$ où $a$ est un entier $\ge 2$ non carré. Alors $S_{\rho_2}$ est vachement lacunaire et toutes les formes n'interviennent pas dans $\Theta$-décomposition. La lacunarité fait que je dois mettre la gomme sur la précision même si $a$ est petit. Car le conducteur lui est grand. Mais ma $\Theta$-calculette tient bien le coup dans l'ensemble. Tandis que la gestion magma des espaces modulaires $M_1(\Gamma_0(N), \chi)$ et $S_1(\Gamma_0(N), \chi)$ capote totalement : impossible de les utiliser (je ne sais combien de types d'erreurs internes j'ai noté).
PS : j'ai écrit à E. Kani, grand spécialiste du $\Theta$-monde binaire pour lui demander si je pouvais lui demander quelque chose. Une personne qui écrit que dans les papiers, on trouve pas mal d'erreurs ou d'imprécisions, ne peut pas être franchement mauvaise.
Deux ou trois petites choses.
(1) Faut absolument que ce que tu racontes dans tes posts (la chasse au Frobenius) soit couché dans un pdf. Prend le temps, cela vaut le coup, je t'assure. Sauf si tu penses que déjà dans la littérature, il y a trop d'exemples, que tout cela figurait dans ton cours magistral (si oui, cachotier mais cela m'étonnerait). Bref ton dihedral-L-function-11-09-13h.pdf ne demande qu'à grossir et changer de nom. Je relirai, promis-juré.
(2) Je sais pas répondre à ta question sur l'interprétation galoisienne des quotients des $L$-séries. Je peux juste dire, mais cela c'est banal et tu le sais que l'on a des identités. Du type (je mets pas tout le contexte, mais on s'en doute)
$$
L_{\rho \oplus \rho'} = L_\rho \times L_{\rho'}
$$
Cf par exemple Snyder, Th 2.1.6 p. 59, résultat qu'il attribue à Artin. Probablement parce qu'Artin est le grand initiateur. Attention à cette page, il est en définition PROVISOIRE de L-série (cf def 2.1.3 p. 58 .. Later we will change this definition by adding terms corresponding to the ramified primes).
Il y reviendra plus tard dans la section 2.5 page 70 lorsqu'il va tenir compte des facteurs locaux ramifiés : this definition satisfies the basic properties concerning the sum of characters, the pullback of characters, and induced characters. En clair, Artin avait bien fait les choses !
(3) Class-field pour petits : je vais verrouiller mon exemple du modulus $\mathfrak m = 8\Z[i\rbrack$ de $\Q(i)$. Car je me méfie vachement de magma. Je ne sais pas quelle est la difficulté pour montrer que $\text{Cl}_{\mathfrak m}$ est isomorphe à $\Z/2\Z \times \Z/4\Z$. Bien sûr, l'autre ne se contente pas de dire qu'ils sont isomorphes. Et comme le treillis des sous-groupes de $\Z/2\Z \times \Z/4\Z$ n'est pas si gros (trois sous-groupes d'ordre 4 et trois sous-groupes d'ordre 2), je vais passer en revue les extensions abéliennes de $\Q(i)$ générées par ce mécanisme. Et je vais tout vérifier : discriminants, équations ...etc..
(3) Il y a certainement, $\Q(\zeta_8)$ et $\Q(\zeta_{16}$ qui doivent trouver une place de choix.
Je trouve (en mode sorcier:-D)
$$
2S_p = \theta_{1,0,144} + \theta_{13,10,13} - (\theta_{9,0,16} + \theta_{4,4,37})
$$
Mais je me suis peut-être trompé de quotient !
Tu commences par me faire peur. Oui, c'est ça. Peux tu quand même vérifier toi-même ? C'est pas si facile à décrypter car cela tourne pour $a$ quelconque et que j'ai du particulariser à $a= 3$.
L'obtention de $L_{\rho_2}$ se fait via une division de $L_{\rho_E}$ d'une part par $\zeta$ (Riemann ordinaire) et aussi $L_{\rho'_1}$. Et on utilise :
$$
L_{\rho'_1} = L_\chi \qquad \hbox {avec $\chi = \chi_a$, le caractère de Kronecker ``relaché''}
$$
Relaché signifie que c'est le caractère de Kronecker indexé par le discriminant quadratique fondamental égal au discriminant de (l'anneau des entiers de) $\Q(\sqrt a)$. Et les conducteurs, cela se multiplie.
> N := Conductor(Lrho) ; > N ; 576 > Q := BinaryQuadraticForms(-N) ; > QmodSL2Z := ReducedForms(Q) ; > "#QmodSL2Z =", #QmodSL2Z ; #QmodSL2Z = 8 > <q : q in QmodSL2Z> ; <<1,0,144>, <4,4,37>, <5,-2,29>, <5,2,29>, <9,0,16>, <9,-6,17>, <9,6,17>, <13,10,13>> > > precision := 5*10^2 ; > if a eq 3 then precision := 50 ; end if ; > Srho<q> := FormalSeries(Lrho, precision) ; > Srho ; q + 2*q^13 - q^25 - 2*q^37 + q^49 > c, QmodGL2Z, T := ThetaDecomposition(QmodSL2Z, Srho, precision) ; > <q : q in QmodGL2Z> ; <<1,0,144>, <4,4,37>, <5,-2,29>, <9,0,16>, <9,-6,17>, <13,10,13>> > c ; [ -1, 1, 0, 1, 0, -1, 2 ] > [ci : ci in c[1..#c-1] | ci ne 0] ; [ -1, 1, 1, -1 ] <------- REGARDER ICI (les coefficients) > [QmodGL2Z[j] : j in [1..#QmodGL2Z] | c[j] ne 0] ; [ <1,0,144>, <4,4,37>, <9,0,16>, <13,10,13> ] <------- ET ICI (les formes) > [T[j] : j in [1..#T] | c[j] ne 0] ; [ 1 + 2*q + 2*q^4 + 2*q^9 + 2*q^16 + 2*q^25 + 2*q^36 + 2*q^49 + O(q^51), 1 + 2*q^4 + 2*q^16 + 2*q^36 + 4*q^37 + 4*q^45 + O(q^51), 1 + 2*q^9 + 2*q^16 + 4*q^25 + 2*q^36 + O(q^51), 1 + 4*q^13 + 2*q^16 + 2*q^36 + 4*q^45 + O(q^51) ] > > combinaison := &+[c[j]*T[j] : j in [1..#T]] ; > assert Valuation(-c[#c]*Srho - combinaison) ge precision ; > assert c subset {0,1,-1,2,-2} ;C'est un peu prés compréhensible ? Un peu la flemme de commenter.