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L-séries (et autres délices) pour petits

Envoyé par claude quitté 
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Yes, y'a beaucoup de chose a faire vraiment beaucoup. Pour l'instant, je fais un autre exemple $f = x^4-5$.
$$
\xymatrix {
&L\ar@{-}[dr] \ar@{-}[dd] & \\
&& \Q(x) \ar@{-}[dd] \\
& \Q(i, \sqrt{5}) \ar@{-}[dr] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dl]& \\
\Q(i\sqrt{5}) \ar@{-}[dr] &\Q(i) \ar@{-}[d] & \Q(\sqrt{5}) \ar@{-}[dl] \\
& \Q &
}
$$
Je pense que le diagramme est ok. Par contre, la différence technique c'est que l'extension qui remplace $\Q(\zeta_8)$ c'est $\Q(i,\sqrt{5})$, et donc il faut faire intervenir son conducteur cyclotomique. Du coup, des congruences modulo $20$.

Donc premier truc c'est d'étudier $\Q(\zeta_{20}) \mid \Q$, le diagramme (tu vas me dire que je suis casse pieds avec mes diagrammes) :
$$
\xymatrix {
&\Q(\zeta_{20})\ar@{-}[dr] \ar@{-}[dd] & \\
&& \Q(\zeta_5) \ar@{-}[dd] \\
& \Q(i,\sqrt{5}) \ar@{-}[dr] \ar@{-}[d] \ar@{-}[dl]& \\
\Q(i\sqrt{5}) \ar@{-}[dr] &\Q(i) \ar@{-}[d] & \Q(\sqrt{5}) \ar@{-}[dl] \\
& \Q &
}$$
Et là il faut comprendre, $\text{Gal}(\Q(\zeta_{20} \mid \bullet)$ sur ce diagramme i.e trouver les sous-groupes qui fixe les différentes extensions.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Effectivement, le conducteur de $\Q(i\sqrt{5})$ est $20$, alors que celui de $\Q(\sqrt{5})$ est $5$.

Sur la première page de ce fil, j'ai donné les fonctions $Z$ pour les trois représentations galoisiennes de degré $1$ non triviales.

Pour $L_{\rho_2}$, si je comprends bien, on calcule le Frobenius sur $\Q(\zeta_{20})$ puis on déduit le Frobenius sur $L$.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Gai requin, un truc sympa pour les extensions quadratiques le conducteur c'est le discriminant (c'est jolie je trouve).
Sinon oui, c'est ça le Frobenius sur $\Q(\zeta_{20})$ va permettre de calculer les Frobenius sur $\Q(i, \sqrt{5})$ et dans les autres sous-extensions puis en repassant dans le premier diagramme on va presque pouvoir calculer les Frobenius dans $L$, presque car voir $(3)$.


Du coup, c'est en deux temps. Le but c'est d'étudier les Frobenius du diagramme du haut. Celui du bas c'est juste un travail préliminaire.
On va obtenir un résultat analogue (un peu plus complexe) que dans le pdf $L$-dihédral (page 1) mais un peu plus complexe.

Les choses $L$ après d'abord les Frobenius. (il va falloir faire un truc complexe avec classfield avant).

Bref c'est en $6$ étapes.

(1) Etude de $\Q(\zeta_{20})$ (d'abord faire le diagramme de correspondance).
(2) Etude de $L$ a l'aide de $\Q(\zeta_{20})$ et surtout $\Q(i, \sqrt{5})$, c'est elle qui contrôle la situation du haut.
(3) On va obtenir une classe de congruence ambiguë $p = \{ 1, 9 \}$ modulo $20$.
(4) Mise en place de ClassField et formes quadratiques, on va sortir des formes quadratiques qui permettent de distinguer la classe ambiguë.
(5) Fonction $L$, et interprétation de $L / (L_1 L_2)$ en terme de diagramme et de $p$-facteurs.
(6) Constater que ça donne un truc avec les fonctions $\Theta$.

En théorie, on va avoir un petit problème sur $(4)$ mais ça va le faire avec un petit bidouillage.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
J'ai un peu regardé le symbole biquadratique.
On a le résultat :
$$N_p(X^4-5)=4\Leftrightarrow p=a^2+100b^2$$.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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ah bah mince alors ! C'est encore mieux que prévue du coup thumbs down
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Du coup la fonction $L$ est ${1 \over 2} (\Theta_{1,0,100} - \Theta_{4,0,25})$.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Ah oui, les $\theta$-séries, un autre truc que j'ai loupé ! thumbs up
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Pour le coup c'est juste ce que tu as donnée si $p$ est représentée par $x^2+100y^2$ alors il y a $4$ solutions et il y a un lien avec le nombre de représentation de $p$ par $x^2+100y^2$ qui est $4$ .... mais c'est un peu plus complexe que ça.

la série theta : $\Theta_{1,0,100}(q) = \sum_{x,y \in \Z^2} q^{x^2+100y^2} = \sum_{n \in \N} N_n q^n$ avec $N_n$ le nombre de représentation de $n$ par la forme quadratique et lorsque $n$ est premier on voit le lien.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Tu as trouvé où le truc avec la loi biquadratique ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
On doit certainement trouver des choses dans le Cox "Primes of the form...".

J'ai regardé [ici] pour les résidus biquadratiques de $5$.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Pour m'amuser, j'ai aussi réussi à monter une extension de $L$ comme corps de classes de $\Q(i)$ en $\mathfrak {m}=10\Z[i ]$. smoking smiley

> QX<X>:=PolynomialRing(Rationals());
> K<i>:=NumberField(X^2+1);
> KY<Y>:=PolynomialRing(K);
> OK:=MaximalOrder(K);
> G,m:=RayClassGroup(10*OK);
> E:=AbelianExtension(m);
> M:=NumberField(EquationOrder(E));
> M;
Number Field with defining polynomial [ Y^2 - 2*i + 1, Y^4 - 5 ] over K
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Faudrait comprendre pourquoi avoir pris $10$ au départ j'avais pris $20$ qui permet aussi de retrouver $L$ mais avec des complications.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Le conducteur cyclotomique de $\Q(i\sqrt{5})$ est bien $20$.
Avec $\mathfrak m =20\Z[i ]$, on obtient :

Number Field with defining polynomial [ Y^2 - i, Y^4 + 2*i - 1, Y^4 - 2*i - 1 ]
over K

Ce corps permet bien de récupérer $i$ et une racine $4$-ième de $5$ puisque $(1-2i)(1+2i)=5$.
J'ai envie de dire ouf. confused smiley
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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@Gai requin : tu as une idée pour construire une extension de $\Q$ avec groupe de Galois $D_7$ ? ou $D_5$ ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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C'est bon j'ai trouvé une référence : ici

En plus c'est le corps de Hilbert de $\Q(\sqrt{-47})$ grinning smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Salut flipflop.
C'est qui le spécialiste du problème inverse de Galois ? winking smiley
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Du coup, tu as refait tout le binz avec $x^5 +10x^3-235x^2+2610x-9353$ ? confused smiley
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Hello,

Ernst Kani m'a répondu de manière extrêmement précise. Ma question concernait le degré 3 : $F \in \Z[X]$ unitaire irréductible de degré 3 de discriminant $< 0$, $E = \Q(x)$ avec $x$ racine de $F$, $L = E^{\rm gal.}$, ce qui introduit $\rho_E = \varepsilon \oplus \rho_2$. ...etc... Si j'ai le courage, je donnerai des détails contenus dans ses mails (vraiment utiles !) concernant $S_{\rho_2}$. Il s'agissait en particulier d'expliquer pourquoi
$$
2S_{\rho_2} = \sum_Q c_Q \Theta_Q \qquad c_Q \in \{\pm 1, 2\}
$$
où la somme porte sur les classes de formes quadratiques binaires $Q \in \mathcal Q_D/\text{GL}_2(\Z)$ de discriminant $D$ où $D$ désigne le discriminant (négatif) de $E$.

Pour l'instant, je me contente de pointer d'une part le théorème 15 p. 22 de [www.mast.queensu.ca] ainsi que les équations (6) et (7) de [www.mast.queensu.ca]. J'ajoute quand même que l'on se récupère un discriminant quadratique $D < 0$, c'est celui de $E$. Et Kani m'a expliqué que ces données définissaient un caractère $\chi$ s'ordre 3 sur le groupe des classes $\text{Cl}(D)$. En passant, cela prouve que l'ordre de ce groupe est divisible par 3. Et on a:
$$
S_{\rho_2} = \Theta_\chi \quad \buildrel {\rm def.} \over = \quad {1 \over w_D} \sum_{Q \in \text{Cl}(D)} \chi(Q) \Theta_Q
$$
Ici $w_D = 2$ car $D < -4$. Ceci ``explique'' le 2 devant $S_{\rho_2}$. ...etc.. cf les deux papiers de Kani [[visiblement, j'ai un peu la flemme]]

Que peut-on comprendre de tout cela ? J'ignore. Ne pas rêver : dans un des deux mails de Kani, il y a des références à Corps Locaux de Serre. Probablement plusieurs mois de travail et même pas sûr d'arriver au bout.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Salut Claude.

Ce qui tombe bien, c'est que dans ton exemple $\rm{Gal}(L/\Q)\simeq S_3$ et donc $\rm{Im}(\rho_2)\simeq D_3$ et on peut appliquer le théorème 15 p.22.

Ouf, car l'image d'une représentation galoisienne de degré $2$ n'est pas forcément diédrale comme on on le voit [ici] p.35.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Coucou Claude,

Tu as vu il y a encore des histoires de $\chi_{prime}$ versus $\chi$, mais là coup si sur les groupes de classes de formes quadratiques.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Hello Claude,

Tu as déjà étudié un peu le Lemniscate ? Dans un livre de Cox (Galois Theory) il en parle un peu a la fin. Avec, un analogie entre les points de $n$-division du Lemniscate et les points de $n$ division du cercle trigonométrique.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Non, je n'ai pas étudié cet objet. Ce qui me surprend c'est que $(x^2 + y^2)^2 = (x^2-y^2)z^2$ est une courbe de genre $0$ avec $p_0 = (0 : 0 : 1)$ comme unique point singulier. Je veux dire : ce qui me surprend c'est mon ignorance car j'aurais tendance à penser que c'est une courbe banale. Mais je vois les noms d'Abel, Euler, ...etc... Cela ne peut pas être banal. Mais peut-être que $Y^2 = 1 - X^4$ entre dans la course ? Et je vois le théorème 15.5.1 concernant certaines extensions abéliennes de $\Q(i)$.

Tu as lu cette section 15 (60 pages !) ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Non, je n'ai pas tout lu, j'ai commencé cet après midi. Alors effectivement, $y^2=1-x^4$ intervient ...

On a une fonction $\varphi$ : la fonction inverse de la fonction longueur d'arc en polaire (bon y'a une intégrale dans l'histoire). Et on a la relation :
$$
\varphi^{\prime 2} = 1 - \varphi^4
$$
Et il y a un lien avec les fonctions $\wp$ de Weierstrass.

Je continu demain, mais ça semble conduire a des calculs explicite de polynômes.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
A propos de $y^2 = 1 - x^4$. J'ai la flemme de faire ``quartic to cubic'' à la main (je vieillis car vu les quelques points rationnels, cela ne devrait pas être si difficile).

Je confie le job à qui tu sais

> k := RationalField() ;
> kX<X> := PolynomialRing(k) ;      
> C := HyperellipticCurve(1 - X^4) ;
> C ;
Hyperelliptic Curve defined by y^2 = -x^4 + 1 over Rational Field
> E, CtoE := EllipticCurve(C) ;     
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 6*x^2 + 16*x + 16 over Rational Field
> Emin, EtoEmin := MinimalModel(E) ;
> Emin ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 4*x over Rational Field
> Conductor(Emin) ;
32

On tombe sur la courbe elliptique $y^2 = x^3 + 4x$. Qui me fait penser à $y^2 = x^3 - n^2x = x (x-n)(x+n)$ avec $n=2$.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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C'est trop complexe Claude ! Je dois tous reprendre depuis le début grinning smiley Enfin, pas depuis que j'ai appris a faire une addition mais depuis $\mathbb{H}$ et l'action de $\text{SL}_2(\Z)$ mais je suis pas du tout sûr de pouvoir comprendre.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
J'ai trouvé un exemple de représentation diédrale $\rho : \text{Gal}(L/\mathbb{Q}) \to GL_2$ et de caractère de Hecke $\psi : \mathcal{I}_F \to \langle \zeta_3 \rangle$ tel que $L(s,\rho) = L(s,\psi)$ ce qui implique que $L(s,\rho)$ est la transformée de Mellin d'une forme modulaire.

Citation

Comme dans un des posts d'il y a 2 mois :
$\quad f(x) = x^3-x^2-1$, $f(\alpha)= 0$, $\Delta = 31$, $L= \mathbb{Q}(\alpha,\sqrt{\Delta}), F = \mathbb{Q}(\sqrt{\Delta}), K = \mathbb{Q}(\alpha)$,
$\quad L(s,\rho) = \frac{\zeta_K(s)}{\zeta_\mathbb{Q}(s)}$, $\text{Gal}(L/\mathbb{Q}) = S_3 = \langle a,b \ | a^3 = b^2 = 1, (ab)^2 = 1\rangle$ qui a pour table de caractères :

$\begin{array}{llll}
& [1,a,a^2,b,ab,ba] & & \\
\chi_{\text{regulière}} & [6,0,0,0,0,0] & L(s,\rho_{\text{regulière}})&= \zeta_\mathbb{L}(s)\\
\chi_{\text{trivial}} & [1,1,1,1,1,1] & L(s,\rho_{\text{trivial}})&= \zeta_\mathbb{Q}(s)\\
\chi_{\text{quadratique}} & [1,1,1,-1,-1,-1] & L(s,\rho_{\text{quadratique}})&= \frac{\zeta_\mathbb{F}(s)}{\zeta_\mathbb{Q}(s)}\\
\chi_{\rho} & [2,-1,-1,0,0,0] & L(s,\rho)&= \frac{\zeta_\mathbb{K}(s)}{\zeta_\mathbb{Q}(s)} \\
& & \chi_{\text{regulière}}&= \chi_{\text{trivial}}+\chi_{\text{quadratique}}+2 \chi_\rho
\end{array}$

Ensuite il faut détailler la construction du caractère de Hecke $\psi$. Sauriez-vous en donner une définition arithmétique simple en terme des idéaux premiers de $\mathcal{O}_F$ ?

P<x> := PolynomialRing(Integers());
K := NumberField(x^3-x^2-1); L := SplittingField(x^3-x^2-1); Delta := -Discriminant(x^3-x^2-1);
zetaK := LSeries(K); zeta :=  RiemannZeta(); Lrho := zetaK/zeta;
F<a> := NumberField(x^2+D); OF := Integers(F); H := HeckeCharacterGroup(3*OF); H; chi := H.1; 
psi := AssociatedPrimitiveCharacter(chi^4); LF := LSeries(psi); 
R := Lrho/LF; N:= 2000; t:= LGetCoefficients(R,N); s := 0;
for i in [2..N] do 
  s := s + Abs(t);
end for;
s;    // = 0.000001....   donc Lrho = LF
Enfin il n'est pas très difficile de montrer (theta series) que $L(s,\psi)$ est la transformée de Mellin d'une forme modulaire $g \in S_1(\Gamma_0(31),(\frac{.}{-31}))$ :
Delta := 31 ; ChiMinus31 := KroneckerCharacter(-Delta) ;
M31 :=  ModularForms(ChiMinus31,1) ; M31; B := Basis(M31); g := B[2];



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Salut Reuns,

Est-ce que tu peux essayé de remplacer :
H := HeckeCharacterGroup(3*OF);
Par
H := HeckeCharacterGroup(1*OF);
Et prendre $\chi$ à la place $\chi^4$.
Dans
psi := AssociatedPrimitiveCharacter(chi^4);

A mon avis c'est pareil ? (l'extension $L \mid F$ ne doit pas être ramifié).

Sinon pour la série théta : ça doit être $\frac{1}{2} (\theta_{1,1,8} - \theta_{2,1,4})$ ?

Pour les caractères de Hecke ... je ne peut pas t'aider car je ne sais pas ce que c'est !
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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@Claude : J'ai une question précise sur le livre de Cox prime of the Form.

Au niveau du corollaire 3.14 page 54

Comment tu comprends le (i) "all genera of form consist of the same number of classes " ?

Est-ce que ça veut dire que le nombre de forme primitive réduite représentant une certain classe de $\left( \Z /D \Z\right)^\star$ modulo $H$ est constant ?

Je pense que c'est faux car si on prend $-31$ on dispose de trois formes réduites avec deux genus : la forme principal et une autre. Et dans la forme principal il y a que la forme principal mais dans l'autre il y a deux formes $[1,2,4]$ et $[1,-2,4]$ qui représente les mêmes entiers.

C'est pas très clair ce que je raconte ... Tu as une idée ?



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Salut fliflop $5578$. winking smiley

Je crois que tu parles de $(\blacksquare)$ [ici].
Une histoire de genre...
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip-flop
Je n'ai jamais vraiment accroché à cette section B. Genus Theory de Cox. Du coup, je me suis fait une approche personnelle en me limitant à $D$ discriminant quadratique fondamental que j'écris $D = D_1 \cdots D_k$, produit de discriminants quadratiques fondamentaux élémentaires premiers 2 à 2 (ne pas oublier $-4, 8, -8$). Si bien que
$$
H = \bigcap_{i=1}^k \ker \chi_{D_i} \subset \ker \chi_D
$$
Le sous-groupe $H$ est d'indice $2^{k-1}$ dans $\ker\chi_D$. Et dans le (i) de 3.14, il parle des classes de $\ker\chi_D$ modulo $H$, qui ont bien même cardinal.

Dans ton exemple $D = -31$, on a $k=1$ donc $H = \ker\chi_D$.

Mais ce que je dis ici est totalement insuffisant. Il est fondamental, pour une forme quadratique $q$ de discriminant $D$, de faire intervenir les valeurs de $q$ étrangères à $D$ et la première chose à montrer est que $\chi_{D_i}(q(x,y)) = \pm 1$ est indépendant de $q(x,y)$ étranger à $D$. Je raconte cela dans les dernières pages de RingGaussSum.tex (à partir de la page 16). Bien évidemment, ces dernières pages ne sont PAS terminées (dans le .tex, c'est sûr et dans mes notes manuscrites, je ne sais plus).
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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Gai requin, yes c'est ça. Mais c'est louche de prendre les valeurs que les formes représentent, ça revient à prendre l'intersection du corps de Hilbert avec les extensions cyclotomiques confused smiley Mais je pense que ça part du principe que le corps de Hilbert est dans une extension cyclotomique. Y'a un truc complexe à comprendre je pense
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@Claude :
On avait fini ce travail à la suite du message que j'ai donné en lien à flipflop dans mon post précédent.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
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@Claude : sinon rien à voir ... pour $x^4-2$ ... mon kit de survie smoking smiley Comme promis j'ai essayé d'expliquer ce que je fabriqué avec les $\Theta$, les $\zeta$ et les $L$, $\eta$, c'est le borde$\ell$, non ? On voit même a la fin, un $\infty$, un $i$ et un $8$ faire les rigolos grinning smiley
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - dihedral-L-function.pdf (197.3 KB)
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Je tire ton dihedral-L-function.pdf. Je te donne des nouvelles du degré 3 dans le post suivant (j'ai fait des petites choses élémentaires).

@flip flop, gai-requin
Oui, on avait terminé des choses en montrant, dans le cas où $D$ est un discriminant quadratique fondamental, que l' on a $\#(\text{Cl}(K)/\text{Cl}(K)^2) = 2^{k-1}$ où $K = \Q(\sqrt D)$ et $k$ est le nombre de discriminants quadratiques fondamentaux élémentaires composant $D$. Et ce calcul de $\#(\quad) = 2^{k-1}$ avait été réalisé en dénombrant les formes réduites ambigües (il y en a $2^{k-1}$).

Mais j'ai (presque) toujours zappé sur ``Genus Theory''. Et je n'ai pas vraiment non répondu à ta question d'hier pour $D = -31$. Pourquoi ? Parce que. Rappel : on dit que deux formes quadratiques (primitives, de même discriminant $D < 0$) sont de même genre si elles représentent les mêmes entiers inversibles modulo $D$. Attention à cette phrase qui signifie ``qui représentent les mêmes entiers dans $(\Z/D\Z)^\times$'', cf Cox au milieu de la page p. 33.
Par exemple dans le cas $D = -31$, les 3 formes $(1,1,8)$ et $(2,\pm 1,4)$ représentent les mêmes inversibles modulo 31 : modulo 31, les valeurs inversibles de ces formes sont les 15 carrés modulo $31$ i.e. le noyau de $\chi_D$. Mais elles ne représentent pas les mêmes entiers. Rappel : si deux formes primitives représentent UN même premier, alors $q' \sim q$ ou bien $q' \sim q^{-1}$ où $\sim$ désigne l'équivalence modulo $\text{SL}_2(\Z)$.

Le résultat de Gauss qui constitue ``Genus Theory'' est que deux formes $q,q'$ sont de même genre si et seulement si $q' \in G^2q$ où $G$ est le groupe des classes des formes quadratiques (modulo $\text{SL}_2(\Z)$) de discriminant $D$.

Si on examine les choses autour des pages 54, on voit que $\Phi$ (de Cox) va établir un isomorphisme $G/G^2 \simeq \ker(\chi_D)/H_D$, où $H_D$ est le sous-groupe des formes de même genre que la forme neutre.

Il y aurait beaucoup d'autres choses à dire concernant cette section B. Genus Theory de Cox. Flemme.


Parfois des choses bizarres dans la littérature. Par exemple in [homepages.math.uic.edu]. Voyez vous la définition de ``genera'' qui intervient dans theorem 1.6 en bas de la page 2 ? Que peut-on en penser ? Que signifie que deux formes quadratiques sont équivalentes (bas de la page 3, 4-ième ligne en partant de la fin) ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
@Claude : Pas beaucoup de nouveau dans $L$-truc (d'ailleurs je n'ai pas corrigé les fautes d'orthographes), disons que c'est plus un brouillon pour moi (je pense que c'est compliqué a lire). Le truc que j'ai ajouté c'est comment j'utilise les diagrammes pour calculer les fonctions $L$ et les $p$-facteurs, juste pour expliquer les histoires de fonction $\theta$. Je suis un peu désolé de ne pas pouvoir faire mieux ... je corrigerai le tire, quand j'aurais tout compris. (ps : mon histoire de $\infty$ a la fin, je précise que c'est une blague pour faire rire gai requin, je dis ça pour ne pas me faire traiter de fou, je dois avoir un sens de l'humour un peu bizarre par moment grinning smiley).

Sinon, pour le genus. Est-ce que tu es d'accord que ce que Gauss à fait c'est de calculer l'intersection de Hilbert class Field avec l'extension cyclotomique maximal de $\Q$. C'est à dire "la partie explicable par des congruences". Et des fois, quand la vie est belle ($\Delta = -20$) ça suffit. Je vais étudier d'autres exemple où la vie est belle. Est-ce que ça a à voir avec les nombres convenable d'Euler ? (je suis presque certain mais je demande quand même).

Mais y'a un truc subtil à comprendre avec l'histoire des valeurs prises modulo $31$. Je pense que j'ai compris grâce à ton dernier post. Merci
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Ah bin je vois Euler convenable number sur le lien que tu as donné grinning smiley
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Nouvelles du degré 3. Contexte $F \in \Z[X]$ unitaire de degré 3, irréductible, de discriminant $< 0$, $x$ une racine de $F$ dans son corps de décomposition $L/\Q$ et :
$$
E = \Q(x), \qquad D = \text{Disc}(\mathcal O_E), \qquad K = \Q(\sqrt D)
$$
On a alors $L = K(x)$ et $L/K$ est une extension cyclique de degré 3.

Je définis $f$ par $D = f^2 \text{Disc}\mathcal O_K$.

1) Il faut montrer que le discriminant de $L/K$ est $f^2 \mathcal O_K$. Et donc l'extension $L/K$ est non ramifiée en dehors de $f \mathcal O_K$.

Pour l'instant, je n'ai pas encore essayer de le montrer. Mon idée sur la question est simple : si moi, je ne sais pas faire cela, il vaut mieux que je retourne à ce que je sais faire. Mais si je ne l'ai pas montré, comment puis je le savoir ? Et bien, d'une part j'ai lu et relu la preuve du théorème 15 page 12 de [www.mast.queensu.ca] en particularisant au contexte particulier du degré 3. Et d'autre part, j'en ai fait un certain nombre (de quoi ?).

2) Une fois que 1) sera établi, on pourra considérer l'Artin-Map :
$$
I_K(f) \longmapsto \text{Gal}(L/K) \simeq C_3 \simeq \mathbb U_3 = \{1,j,j^2\} \qquad(\star)
$$
où $I_K(f)$ désigne l'ensemble des idéaux fractionnaires de $K$ qui sont étrangers à $f\mathcal O_K$. On n'a pas arrêté de parler de l'Artin-Map. Et bien c'est le moment de montrer ce que l'on sait faire (en évitant yakafokon i.e. en évitant d'en parler plus mais en faisant). Car des exemples de polynômes $F \in \Z[X]$, unitaires, irréductibles ...etc.., ce n'est pas ce qui manque (j'en ai 182417 dans ma base de données, je peux en prêter et même donner, c'est gratuit).

La connaissance de $(\star)$ donne les coefficients de $2S_{\rho_2}$ comme une combinaison $\Z$-linéaire de $\Theta$-séries de formes de discriminant $D$ avec coefficients $\pm 1, 2$. La grande (sic) nouvelle, c'est que je ne regroupe plus $\Theta_q$ et $\Theta_{q^{-1}}$ et que c'est bien plus simple ainsi. La somme a lieu sur $\mathcal Q(D) /\text{SL}_2(\Z)$ et pas sur $\mathcal Q(D) /\text{GL}_2(\Z)$

3) Une extension abélienne comme $L/K$, cyclique de degré 3 est ce qui me paraît le plus simple (après le degré 1 et le degré 2). Je pense que cela serait pas mal de comprendre dans ce cas particulier des ``choses générales''.


Autre chose : j'ai implémenté une fois pour toute l'évitement INTERNE au niveau des formes quadratiques : pour toute forme quadratique $q$ et tout entier $m \ge 1$, il existe $q' = a'x^2 + b'xy + c'y^2 \sim q$ avec $a' \wedge m = 1$. Rappel : $a' = N(I_{q'})$. Ceci m'a permis de mieux me clarifier entre ``évitement interne'' et ``évitement externe''. J'ai dû relire Cox à partir de la page 132 sur les anneaux quadratiques imaginaires (je pensais que j'étais assez au point mais on n'est jamais assez au point). J'ai mis pas mal de temps pour obtenir une preuve simple non calculatoire du point (iii) du theorem 7.7 page 137. En fait, un examen attentif montre que si $I$ est un idéal non nul d'un anneau quadratique $A$ de discriminant $D$, de base $(u,v)$ i.e. $I = \Z u \oplus \Z v$, alors $N(I)$ est représenté par la forme quadratique $q_{u,v}$ (de discriminant $D$).
$$
q_{u,v}(x,y) = {N(ux - vy) \over N(I)}
$$
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Une sorte de réponse à [www.les-mathematiques.net] i.e. sur ce que ``Gauss a fait''. Je me limite à $D$ discriminant quadratique fondamental $< 0$ décomposé en discriminants quadratiques élémentaires fondamentaux premiers deux à deux :
$$
D = D_1 \cdots D_k
$$
Et bien, ce que Gauss a fait, c'est mettre en isomorphie EXPLICITE :
$$
{\text{Cl}(\Q(\sqrt D)) \over \text{Cl}(\Q(\sqrt D))^2} \quad\simeq\quad
\text{Gal}\big(\Q(\sqrt {D_1}, \cdots, \sqrt {D_k}) / \Q(\sqrt D)\big)
$$
Via l'Artin map sans Artin map because Artin cela sera bien plus tard (1910, 1020 ?). J'en ai bavé pour montrer que :
$$
\Q(\sqrt D) \quad\subset\quad \Q(\sqrt {D_1}, \cdots, \sqrt {D_k})
$$
est non-ramifiée (écrit un truc GrimpetteQuadratique.pdf, vachement inspiré de Frölich-Taylor mais pas du coupé-collé).

On profite du fait que tout ce beau monde est contenu dans $\Q(\root |D| \of 1)$ et les caractères de Kronecker $\chi_D$ et $\chi_{D_i}$ ont un rôle fondamental dans l'histoire.

Cas particulier : $\text{Cl}(\Q(\sqrt D))^2$ trivial permet de faire mu-muse.

J'ai essayé de répondre à ta question mais tu me fous la trouille avec ton intersection des Hilbert Class Field et de l'extension cyclotomique maximale de $\Q$. Tu veux pas que je me barre en courant, si ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
C'est quoi un caractère de Hecke ? Il faudrait revenir à la démo de l'équation fonctionnelle de $\zeta_K$ pour vraiment justifier l'origine du mal. Soit $K/\mathbb{Q}$ un corps de nombre. On écrit
$$\zeta_K(s) = \sum_{I \subset \mathcal{O}_K} N(I)^{-s} = \sum_{J \in C_K} \zeta_{K,J}(s), \qquad \qquad\zeta_{K,J}(s) = \sum_{I \subset \mathcal{O}_K, \ I\ \sim\ J} N(I)^{-s} = N(J)^{-s} N(b_J)^s \sum_{a \in J^{-1}/\mathcal{O}_K^\times} N(a)^{-s}$$ où $C_K$ est le groupe des classes d'idéaux et $J^{-1}$ un idéal de $\mathcal{O}_K$ tel que $J J^{-1} = (b_J)$ est principal, donc $I \sim J$ ssi $(b_J)I = J (a)$ pour un $a \in J^{-1}$ (ou plutôt pour être isomorphe un $a \in J^{-1} / \mathcal{O}_K^\times$).

Cette forme est utile car on sait fabriquer et montrer l'équation fonctionnelle des fonctions $\Theta_{J^{-1}}(z) = \sum_{a \in J^{-1}/\mathcal{O}_K^\times} e^{2i \pi N(a) z}$ et $\theta_{J^{-1}}(x) =\sum_{a \in J^{-1}} e^{- \pi \sum_{l=1}^n |\sigma_l(a)|^2 x_l}$ (où les $\sigma_l$ sont les embeddings $K \to \mathbb{C}$) et l'équation fonctionnelle relie $\theta_{J^{-1}}(x) $ à $\theta_{J}(\frac{D}{x})$ où $D$ est la norme de l'idéal différent

Ensuite on se demande comment on peut twister $\zeta_K$ par un caractère $\psi$ multiplicatif sur les idéaux qui conserve le produit Eulérien et l'équation fonctionnelle.

Et là on a trois degrés de liberté :
  • Déjà on peut remplacer $\zeta_K$ par $\zeta_{\mathfrak{M}}(s) = \sum_{I \subset \mathcal{O}_K, (I,\mathfrak{M})=1} N(I)^{-s}$ et $C_K$ par $C_{\mathfrak{M}}$ le groupe des classes d'idéaux premiers avec $\mathfrak{M}$
  • Ensuite on peut twister au niveau des classes d'idéaux donc avec $\varphi$ un caractère de $C_{\mathfrak{M}}$ $$L(s,\varphi) = \sum_{J \in C_{\mathfrak{M}}} \varphi(J) \zeta_{C_{\mathfrak{M}},J}(s)$$
  • Ou bien au niveau de chaque $\zeta_{C_{\mathfrak{M}},J}(s)$ $$L(s,\chi,J) = N(J)^{-s} \overline{\chi(b_J)} N(b_J)^s \sum_{a \in J^{-1}/\mathcal{O}_K^\times} 1_{(a,\mathfrak{M})=1}\chi(a) N(a)^{-s}$$ Ici $\chi$ doit être un caractère local (ce que magma appelle caractère de Dirichlet) pour que la fonction theta twistée par $\chi$ soit manipulable et garde son équation fonctionnelle. Donc $\chi$ est un caractère de $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}^r$ ou un caractère de $\sigma(K)$ pour un embedding complexe $\sigma$, ou un produit fini de tels caractères. Et comme on quotiente toujours par les units $\chi$ doit être trivial sur $\mathcal{O}_K^\times$.
A la fin on obtient la forme générale de la fonction L de Hecke
$$L(s,\psi) = \sum_{J \in C_K} \varphi(J) N(J)^{-s} \overline{\chi(b_J)} N(b_j)^s \sum_{a \in J^{-1}/\mathcal{O}_K^\times} \chi(a) N(a)^{-s}$$
où $\psi((a)J) = \varphi(J) \chi(a)$ est un caractère des idéaux de $\mathcal{O}_K$ et qui sur les idéaux principaux est un caractère "local".



Edité 9 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@reuns
Merci. Je vais lire attentivement (ce qui me prendra du temps) et essayer de comprendre.

@flip flop, gai requin
Avez vous vu dans Cox, le théorème très important de Bruckner, Theorem 9.18 p. 191 ainsi que les exercices 9.20 à 9.24 p. 195 à 198 ? Ce théorème nous concerne.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Merci Reuns.

@Claude :: je suis juste à la page 122. l'équation 6.3 ... j'aime bien. Mais j'ai zappé quelques petites choses avant.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@gai requin, flip flop

A propos de mon post [www.les-mathematiques.net]. C'est ok pour $\text{Disc}(L/K) = f^2 \mathcal O_K$. J'ai deux pointeurs :

1) K. Conrad : in [www.math.uconn.edu]. Je me suis toujours demandé pour K. Conrad avait écrit 15 pages sur le corps de décomposition de $X^3 - 2$ sur $\Q$. Maintenant, je comprends mieux pourquoi.

2) Karim Belabas (Bordeaux) : je lui ai posé la question $\text{Disc}(L/K) = f^2 \mathcal O_K$. Réponse aussi sec (ou presque). Pour lui, truc archi-classique (Corps Locaux, Artin, Hasse ...etc..). Annexe A de sa thèse [www.math.u-bordeaux.fr]

@flip flop
J'ai relu ton L-dihedral ... . Nouvelles plus tard. Et nouvelles aussi du degré 3. Ecriture automatique de $2S_{\rho_2} = \sum_Q c_Q \Theta_Q$ avec $c_Q = 1,j,j^2$ i.e. je ne passe plus par ma $\Theta$-calculette (qui utilisait une résolution de systèmes linéaires et demandait parfois beaucoup de précision dans les développements).
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@Claude :
Pas mal cette série d'exercices.
Ce n'est manifestement pas facile de calculer un corps de classes $L$ confused smiley mais, dans le cas d'un corps quadratique imaginaire $K$, on calcule "facilement" le conducteur de $L/K$, ce qui devrait permettre de deviner $L$ in fine (merci Galois).
Je suis très impressionné.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
C'est fou quand même le coup de $2S_{\rho_2} = \sum_Q c_Q \Theta_Q$ avec $1,j,j^2$. On va finir par faire des périodes de Gauss sur les fonctions $\Theta$ si ça continue :)
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@gai requin, flip flop
On ne lit pas ce que l'on a sous la main !! Exemples

(1) Th 3.6.6 page 102 de la thèse de Noah Snyder [pdfs.semanticscholar.org]
Il a bien fallu que l'auteur fasse quelque chose pour traiter à FOND $X^3 - n$ (chapitre 3).

(2) Frölich-Taylor, Th 72 (Artin) p. 311. La définition des $p$-Euler facteurs est là, de manière extrêmement précise. On a de la m.rde dans les yeux ?


@gai requin
Avant de vouloir faire des calculs en corps des écoles, je trouve que cela serait pas mal de regarder ce que K. Conrad a fait dans ces 15 pages autour de $X^3 - 2$. Je crois comprendre qu'il a des choses extrêmement profondes pour parvenir à certaines égalités discriminantales.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Il m'a toujours semblé que ces histoires de discriminant sont au cœur du problème.
Et le papier de Conrad prouve que ce n'est pas affaire aisée.
Je n'avais jamais entendu parler de "régulateur" d'un corps de nombres...
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop, gai requin
Ici degré 3, avec le contexte et notations de [www.les-mathematiques.net].

Je commence par l'exemple qui nous a inspiré i.e. celui de Serre $X^3 - X - 1$ où $D = \text{Disc}(E) = -23$ est un discriminant quadratique fondamental avec les 3 formes $(1,1,6)$ et $(2, \pm 1, 3)$ de discrimant $-23$, cf le point 5.3 page 434 in [www.ams.org] On n'écrit plus :
$$
2S_{\rho_2} = \Theta_{(1,1,6)} - \Theta_{(2,1,3)}
$$
Pourquoi ? Parce que cela laisse $(2, -1, 3)$ orpheline et que c'est pas bien. On écrit quoi alors ?
$$
2S_{\rho_2} = \Theta_{(1,1,6)} + j \Theta_{(2,1,3)} + j^2 \Theta_{(2,-1,3)}, \qquad \qquad \hbox {sans oublier} \qquad \Theta_{(2,1,3)} = \Theta_{(2,-1,3)}
$$
De manière générale :
$$
2S_{\rho_2} = \sum_{Q \in \mathcal Q(D)/\text{SL}_2(\Z)} \chi(Q)\ \Theta_Q
$$
où $\chi$ à valeurs dans $\{1,j,j^2\} \simeq \text{Gal}(L/K)$ est un caractère : c'est la fameuse Artin Map !!

Je donne un exemple plus complexe :
$$
F = X^3 + 3X + 7
$$

> F ;
X^3 + 3*X + 7
> DiscOE ;
-1431
> DiscOK ;
-159
> ok, f := IsSquare(ExactQuotient(DiscOE, DiscOK)) ;
> assert ok ;
> f ;
3
> Q ;
Binary quadratic forms of discriminant -1431
> QuadraticOrder(Q) ;
Order of conductor 3 in K
> #QmodSL2Z ;
30
> W ;
[
    <<1,1,358>, 1>,
    <<2,-1,179>, -j - 1>,
    <<2,1,179>, j>,
    <<4,-3,90>, -j - 1>,
    <<4,3,90>, j>,
    <<5,-3,72>, -j - 1>,
    <<5,3,72>, j>,
    <<7,-5,52>, 1>,
    <<7,5,52>, 1>,
    <<8,-3,45>, 1>,
    <<8,3,45>, 1>,
    <<9,-3,40>, j>,
    <<9,3,40>, -j - 1>,
    <<10,-3,36>, 1>,
    <<10,3,36>, 1>,
    <<10,-7,37>, -j - 1>,
    <<10,7,37>, j>,
    <<13,-5,28>, -j - 1>,
    <<13,5,28>, j>,
    <<14,-5,26>, -j - 1>,
    <<14,5,26>, j>,
    <<14,-9,27>, -j - 1>,
    <<14,9,27>, j>,
    <<16,-13,25>, -j - 1>,
    <<16,13,25>, j>,
    <<18,-3,20>, -j - 1>,
    <<18,3,20>, j>,
    <<18,-15,23>, 1>,
    <<18,15,23>, 1>,
    <<20,13,20>, 1>
]
> 
> Srho ;
q - q^2 - q^5 + 2*q^7 + q^8 + q^10 - q^13 - 2*q^14 - q^16 + 2*q^23 + q^26 - 2*q^35 - q^37 - q^40 - q^41 + 2*q^43 - 
    2*q^46 + 3*q^49 + q^53 + 2*q^56 + q^64 + q^65 + 2*q^70 + 2*q^71 + q^74 + q^80 + q^82 + 2*q^83 - 2*q^86 - 2*q^91 - 
    q^97 - 3*q^98 - q^101 - q^104 - q^106 - 2*q^112 - 2*q^115
> combinaison := 1/2 * &+[w[2]* Qjq!ThetaSeries(w[1],precision) : w in W] ;
> combinaison ;
q - q^2 - q^5 + 2*q^7 + q^8 + q^10 - q^13 - 2*q^14 - q^16 + 2*q^23 + q^26 - 2*q^35 - q^37 - q^40 - q^41 + 2*q^43 - 
    2*q^46 + 3*q^49 + q^53 + 2*q^56 + q^64 + q^65 + 2*q^70 + 2*q^71 + q^74 + q^80 + q^82 + 2*q^83 - 2*q^86 - 2*q^91 - 
    q^97 - 3*q^98 - q^101 - q^104 - q^106 - 2*q^112 - 2*q^115 + O(q^121)
> Qjq!Srho - combinaison ;
O(q^121)

Ci-dessus, il y a 30 formes de discriminant $D = \text{Disc}(\mathcal O_E)$ et le conducteur quadratique est $f = 3$. A noter qu'il a fallu que j'opère à plusieurs reprises l'évitement car on voit certaines formes $q$ qui commencent par un $a$, $q = ax^2 + bxy + cy^2$, avec $a = N(I_q)$ [[la norme]] non étrangère à $f$. Tout ceci est automatisé. A noter que l'on travaille d'une part avec l'order $A = f\Z + \mathcal O_K$ d'indice $f$ dans $\mathcal O_K$ et qu'il faut jouer avec les idéaux $I_q$ de $A$, les passer dans $\mathcal O_K$ en ayant évité le conducteur (éviter = être comaximal à ... j'ai dû relire très très attentivement Cox).

Note : en sommant, les $j$ se compensent bien (rires). Car $\chi(Q) = 1$ si $Q = Q^{-1}$ ...etc...

Reste à comprendre tout cela. On n'est pas sorti de l'auberge.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
L'évitement se fait-il grâce à * &+[w[2]* ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@gai requin, flip flop
En général, les notes de K. Conrad sont self-contained, je ne sais pas encore si c'est le cas de [www.math.uconn.edu]

Je pense qu'il va être important de comprendre le th. 3 page 8 et son corollaire 1 p. 9. Une partie de ce corollaire s'écrit, avec MES notations :
$$
\text{Disc}(L/\Q) = \text{Disc}(K/\Q) \text{Disc}(E/\Q)^2 \qquad\qquad (\star)
$$
C'est vrai dans le contexte général de son théorème 3.
Et c'est cette égalité $(\star)$ qui m'a permis de montrer que $\text{Disc}(L/\K) = f^2\mathcal O_K$ dans notre contexte ad-hoc.

Plus de calculs d'anneaux d'entiers mais des trucs du style
$$
\lim_{s \to s_0} \zeta_{\rm truc}(s) = \cdots
$$
Mama-mia.

Et K. Conrad dit qu'il s'inspire d'un article de Stark (Galois Theory, Algebraic Number Theory, and Zeta Functions) in ``From Number Theory To Physics''. Je possède l'ouvrage en question et le papier de Stark est tout simplement REMARQUABLE. 80 pages. Avec une progression pédagogique, des exemples ...etc...

Et d'ailleurs, tout l'ouvrage est remarquable. Exposés : Don Zagier, Cohen, Beukers, Cartier, ...etc... Y'a des jours où je ne comprends pas pourquoi on ne comprend pas plus vite (mais il y a d'autres jours où je comprends pourquoi on ne comprend pas aussi vite que l'on voudrait ...).

Bref, des exemples, il y en a. Et quitte à être lourd, quand on écrit 15 pages sur $X^3 -2$, c'est que l'on a quelque chose à dire.
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