L-séries (et autres délices) pour petits

@flip flop
Nouvelles du degré 3. Contexte $F \in \Z[X]$ unitaire de degré 3, irréductible, de discriminant $< 0$, $x$ une racine de $F$ dans son corps de décomposition $L/\Q$ et :
$$
E = \Q(x), \qquad D = \text{Disc}(\mathcal O_E), \qquad K = \Q(\sqrt D)
$$
On a alors $L = K(x)$ et $L/K$ est une extension cyclique de degré 3.

Je définis $f$ par $D = f^2 \text{Disc}\mathcal O_K$.

1) Il faut montrer que le discriminant de $L/K$ est $f^2 \mathcal O_K$. Et donc l'extension $L/K$ est non ramifiée en dehors de $f \mathcal O_K$.

Pour l'instant, je n'ai pas encore essayer de le montrer. Mon idée sur la question est simple : si moi, je ne sais pas faire cela, il vaut mieux que je retourne à ce que je sais faire. Mais si je ne l'ai pas montré, comment puis je le savoir ? Et bien, d'une part j'ai lu et relu la preuve du théorème 15 page 12 de http://www.mast.queensu.ca/~kani/papers/thetaCM2r.pdf en particularisant au contexte particulier du degré 3. Et d'autre part, j'en ai fait un certain nombre (de quoi ?).

2) Une fois que 1) sera établi, on pourra considérer l'Artin-Map :
$$
I_K(f) \longmapsto \text{Gal}(L/K) \simeq C_3 \simeq \mathbb U_3 = \{1,j,j^2\} \qquad(\star)
$$
où $I_K(f)$ désigne l'ensemble des idéaux fractionnaires de $K$ qui sont étrangers à $f\mathcal O_K$. On n'a pas arrêté de parler de l'Artin-Map. Et bien c'est le moment de montrer ce que l'on sait faire (en évitant yakafokon i.e. en évitant d'en parler plus mais en faisant). Car des exemples de polynômes $F \in \Z[X]$, unitaires, irréductibles ...etc.., ce n'est pas ce qui manque (j'en ai 182417 dans ma base de données, je peux en prêter et même donner, c'est gratuit).

La connaissance de $(\star)$ donne les coefficients de $2S_{\rho_2}$ comme une combinaison $\Z$-linéaire de $\Theta$-séries de formes de discriminant $D$ avec coefficients $\pm 1, 2$. La grande (sic) nouvelle, c'est que je ne regroupe plus $\Theta_q$ et $\Theta_{q^{-1}}$ et que c'est bien plus simple ainsi. La somme a lieu sur $\mathcal Q(D) /\text{SL}_2(\Z)$ et pas sur $\mathcal Q(D) /\text{GL}_2(\Z)$

3) Une extension abélienne comme $L/K$, cyclique de degré 3 est ce qui me paraît le plus simple (après le degré 1 et le degré 2). Je pense que cela serait pas mal de comprendre dans ce cas particulier des ``choses générales''.


Autre chose : j'ai implémenté une fois pour toute l'évitement INTERNE au niveau des formes quadratiques : pour toute forme quadratique $q$ et tout entier $m \ge 1$, il existe $q' = a'x^2 + b'xy + c'y^2 \sim q$ avec $a' \wedge m = 1$. Rappel : $a' = N(I_{q'})$. Ceci m'a permis de mieux me clarifier entre ``évitement interne'' et ``évitement externe''. J'ai dû relire Cox à partir de la page 132 sur les anneaux quadratiques imaginaires (je pensais que j'étais assez au point mais on n'est jamais assez au point). J'ai mis pas mal de temps pour obtenir une preuve simple non calculatoire du point (iii) du theorem 7.7 page 137. En fait, un examen attentif montre que si $I$ est un idéal non nul d'un anneau quadratique $A$ de discriminant $D$, de base $(u,v)$ i.e. $I = \Z u \oplus \Z v$, alors $N(I)$ est représenté par la forme quadratique $q_{u,v}$ (de discriminant $D$).
$$
q_{u,v}(x,y) = {N(ux - vy) \over N(I)}
$$

@gai requin, flip flop
On ne lit pas ce que l'on a sous la main !! Exemples

(1) Th 3.6.6 page 102 de la thèse de Noah Snyder https://pdfs.semanticscholar.org/36c9/f39a44e13ec1a04cbc673e7d8c29ca5859f2.pdf
Il a bien fallu que l'auteur fasse quelque chose pour traiter à FOND $X^3 - n$ (chapitre 3).

(2) Frölich-Taylor, Th 72 (Artin) p. 311. La définition des $p$-Euler facteurs est là, de manière extrêmement précise. On a de la m.rde dans les yeux ?


@gai requin
Avant de vouloir faire des calculs en corps des écoles, je trouve que cela serait pas mal de regarder ce que K. Conrad a fait dans ces 15 pages autour de $X^3 - 2$. Je crois comprendre qu'il a des choses extrêmement profondes pour parvenir à certaines égalités discriminantales.

@flip flop, gai requin
Ici degré 3, avec le contexte et notations de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1524614,1535680#msg-1535680.

Je commence par l'exemple qui nous a inspiré i.e. celui de Serre $X^3 - X - 1$ où $D = \text{Disc}(E) = -23$ est un discriminant quadratique fondamental avec les 3 formes $(1,1,6)$ et $(2, \pm 1, 3)$ de discrimant $-23$, cf le point 5.3 page 434 in http://www.ams.org/journals/bull/2003-40-04/S0273-0979-03-00992-3/S0273-0979-03-00992-3.pdf On n'écrit plus :
$$
2S_{\rho_2} = \Theta_{(1,1,6)} - \Theta_{(2,1,3)}
$$
Pourquoi ? Parce que cela laisse $(2, -1, 3)$ orpheline et que c'est pas bien. On écrit quoi alors ?
$$
2S_{\rho_2} = \Theta_{(1,1,6)} + j \Theta_{(2,1,3)} + j^2 \Theta_{(2,-1,3)}, \qquad \qquad \hbox {sans oublier} \qquad \Theta_{(2,1,3)} = \Theta_{(2,-1,3)}
$$
De manière générale :
$$
2S_{\rho_2} = \sum_{Q \in \mathcal Q(D)/\text{SL}_2(\Z)} \chi(Q)\ \Theta_Q
$$
où $\chi$ à valeurs dans $\{1,j,j^2\} \simeq \text{Gal}(L/K)$ est un caractère : c'est la fameuse Artin Map !!

Je donne un exemple plus complexe :
$$
F = X^3 + 3X + 7
$$

> F ;
X^3 + 3*X + 7
> DiscOE ;
-1431
> DiscOK ;
-159
> ok, f := IsSquare(ExactQuotient(DiscOE, DiscOK)) ;
> assert ok ;
> f ;
3
> Q ;
Binary quadratic forms of discriminant -1431
> QuadraticOrder(Q) ;
Order of conductor 3 in K
> #QmodSL2Z ;
30
> W ;
[
    <<1,1,358>, 1>,
    <<2,-1,179>, -j - 1>,
    <<2,1,179>, j>,
    <<4,-3,90>, -j - 1>,
    <<4,3,90>, j>,
    <<5,-3,72>, -j - 1>,
    <<5,3,72>, j>,
    <<7,-5,52>, 1>,
    <<7,5,52>, 1>,
    <<8,-3,45>, 1>,
    <<8,3,45>, 1>,
    <<9,-3,40>, j>,
    <<9,3,40>, -j - 1>,
    <<10,-3,36>, 1>,
    <<10,3,36>, 1>,
    <<10,-7,37>, -j - 1>,
    <<10,7,37>, j>,
    <<13,-5,28>, -j - 1>,
    <<13,5,28>, j>,
    <<14,-5,26>, -j - 1>,
    <<14,5,26>, j>,
    <<14,-9,27>, -j - 1>,
    <<14,9,27>, j>,
    <<16,-13,25>, -j - 1>,
    <<16,13,25>, j>,
    <<18,-3,20>, -j - 1>,
    <<18,3,20>, j>,
    <<18,-15,23>, 1>,
    <<18,15,23>, 1>,
    <<20,13,20>, 1>
]
> 
> Srho ;
q - q^2 - q^5 + 2*q^7 + q^8 + q^10 - q^13 - 2*q^14 - q^16 + 2*q^23 + q^26 - 2*q^35 - q^37 - q^40 - q^41 + 2*q^43 - 
    2*q^46 + 3*q^49 + q^53 + 2*q^56 + q^64 + q^65 + 2*q^70 + 2*q^71 + q^74 + q^80 + q^82 + 2*q^83 - 2*q^86 - 2*q^91 - 
    q^97 - 3*q^98 - q^101 - q^104 - q^106 - 2*q^112 - 2*q^115
> combinaison := 1/2 * &+[w[2]* Qjq!ThetaSeries(w[1],precision) : w in W] ;
> combinaison ;
q - q^2 - q^5 + 2*q^7 + q^8 + q^10 - q^13 - 2*q^14 - q^16 + 2*q^23 + q^26 - 2*q^35 - q^37 - q^40 - q^41 + 2*q^43 - 
    2*q^46 + 3*q^49 + q^53 + 2*q^56 + q^64 + q^65 + 2*q^70 + 2*q^71 + q^74 + q^80 + q^82 + 2*q^83 - 2*q^86 - 2*q^91 - 
    q^97 - 3*q^98 - q^101 - q^104 - q^106 - 2*q^112 - 2*q^115 + O(q^121)
> Qjq!Srho - combinaison ;
O(q^121)

Ci-dessus, il y a 30 formes de discriminant $D = \text{Disc}(\mathcal O_E)$ et le conducteur quadratique est $f = 3$. A noter qu'il a fallu que j'opère à plusieurs reprises l'évitement car on voit certaines formes $q$ qui commencent par un $a$, $q = ax^2 + bxy + cy^2$, avec $a = N(I_q)$ la norme non étrangère à $f$. Tout ceci est automatisé. A noter que l'on travaille d'une part avec l'order $A = f\Z + \mathcal O_K$ d'indice $f$ dans $\mathcal O_K$ et qu'il faut jouer avec les idéaux $I_q$ de $A$, les passer dans $\mathcal O_K$ en ayant évité le conducteur (éviter = être comaximal à ... j'ai dû relire très très attentivement Cox).

Note : en sommant, les $j$ se compensent bien (rires). Car $\chi(Q) = 1$ si $Q = Q^{-1}$ ...etc...

Reste à comprendre tout cela. On n'est pas sorti de l'auberge.

@gai requin, flip flop
En général, les notes de K. Conrad sont self-contained, je ne sais pas encore si c'est le cas de http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/Qw2.pdf

Je pense qu'il va être important de comprendre le th. 3 page 8 et son corollaire 1 p. 9. Une partie de ce corollaire s'écrit, avec MES notations :
$$
\text{Disc}(L/\Q) = \text{Disc}(K/\Q) \text{Disc}(E/\Q)^2 \qquad\qquad (\star)
$$
C'est vrai dans le contexte général de son théorème 3.
Et c'est cette égalité $(\star)$ qui m'a permis de montrer que $\text{Disc}(L/\K) = f^2\mathcal O_K$ dans notre contexte ad-hoc.

Plus de calculs d'anneaux d'entiers mais des trucs du style
$$
\lim_{s \to s_0} \zeta_{\rm truc}(s) = \cdots
$$
Mama-mia.

Et K. Conrad dit qu'il s'inspire d'un article de Stark (Galois Theory, Algebraic Number Theory, and Zeta Functions) in ``From Number Theory To Physics''. Je possède l'ouvrage en question et le papier de Stark est tout simplement REMARQUABLE. 80 pages. Avec une progression pédagogique, des exemples ...etc...

Et d'ailleurs, tout l'ouvrage est remarquable. Exposés : Don Zagier, Cohen, Beukers, Cartier, ...etc... Y'a des jours où je ne comprends pas pourquoi on ne comprend pas plus vite (mais il y a d'autres jours où je comprends pourquoi on ne comprend pas aussi vite que l'on voudrait ...).

Bref, des exemples, il y en a. Et quitte à être lourd, quand on écrit 15 pages sur $X^3 -2$, c'est que l'on a quelque chose à dire.