Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
100 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

L-séries (et autres délices) pour petits

Envoyé par claude quitté 
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@gai requin
Mais non, $w$ c'est un couple (forme-quadratique, coefficient). L'évitement c'est de MEZIGUE. Parce que je PRENDS LA MAIN. Après des heures et des heures de lecture de Cox. Et je peux t'assurer que parfois celui-ci a la tête dans le guidon (moi, je l'ai pratiquement toujours). Grosso modo, il s'agit des pages 132-155 (section 7). Pour implémenter et que cela tourne pour de vrai, t"as intérêt à comprendre un peu (sic). Voici juste un EXTRAIT de mes affaires. Tout le binz tourne parce que j'ai écrit des fonctions ad-hoc.

CoprimeForm := function(q, m)
  // Retourne une forme quadratique q*M équivalente à q tel que son premier
  // coefficient en x^2 soit premier à m
  assert m ge 1 ;
  a, b, c := Explode(Eltseq(q)) ;
  // On cherche une évaluation q(x0,y0) de q première à D, de la forme (x0,1) ou (1,y0)
  found := false ;
  for z := 0 to m-1 do
    x0 := z ; y0 := 1 ;
    qx0y0 := a*x0^2 + b*x0*y0 + c*y0^2 ;
    if Gcd(qx0y0,m) eq 1 then 
      // vx0 - uy0 = 1 sachant que y = 1
      u := -1 ;  v := 0 ; found := true ;
      break ;
    end if ;
    x0 := 1 ; y0 := z ;
    qx0y0 := a*x0^2 + b*x0*y0 + c*y0^2 ;
    if Gcd(qx0y0, m) eq 1 then 
      // vx0 - uy0 = 1 sachant que x0 = 1
      u := 0 ; v := 1 ; found := true ;
    end if ;
  end for ;
  if not found then error "que passa ?" ; end if ;
  // | x0  u |
  // | y0  v |  avec x0*v - u*y0 = 1
  M := Matrix(2,2, [x0,u, y0,v]) ;
  assert Determinant(M) eq 1 ;
  qM := q*M ;
  assert qM[1] eq qx0y0 ;
  return qM ;
end function ;

CoprimeConductorForm := function(q)
  f := Conductor(Parent(q)) ;
  return CoprimeForm(q,f) ;
end function ;

Une fonction comme ci-dessous, je t'assure que je ne l'ai pas trouvée sous le sabot d'un cheval :

....
jCoefficient := func < q |   GtoU3(G!phi(ArtinMapLsurK(Ideal(CoprimeConductorForm(q))))) > ;
...

Par ailleurs, je n'ai aucune confiance en magma (j'ai accès au code, en magma, d'une partie de la machinerie Hillbert Class Field) et comme je fais des milliers de tests, je tombe sur des dizaines et dizaines de bugs. Quand je fais $S-S'$ et que j'obtiens $S- S' = o(q^{100})$, c'est que tout va bien car la théorie dit (si j'ai bien pigé) que $S=S'$
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Donc, concrètement, que fait-on de la forme $<9,-3,40>$ ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@gai requin
Je la remplace par une forme $\text{SL}_2(\Z)$-équivalente dont l'idéal associé est comaximal au conducteur $f$. Le coup du fameux $I_K(f)$ une fois que l'on a balancé la purée de $A_f$ à $\mathcal O_K$. C'est pour cela qu'entre autres, j'ai écrit CoprimeConductorForm. Avant de comprendre ce que se passe au dessus des anneaux quadratiques (corps des écoles et compagnie), y'a intérêt à bien connaître les anneaux quadratiques. Et quitte à insister, je dis que je n'étais pas assez clair. Et que parfois Cox fait trop de calculs et du coup on n'y comprend rien. Evidemment, je peux pointer des passages vachement précis.

La base doit être assurée si on veut aller plus haut. Il faut d'abord savoir faire ``des petites choses simples'' (c'est ma devise).

> q1 := Q![9,-3,40] ;
> q1bis := CoprimeConductorForm(q1) ;
> q1bis ;
<40,3,9>
> GtoU3(G!phi(ArtinMapLsurK(Ideal(q1bis)))) ;                  
j
> GtoU3(G!phi(ArtinMapLsurK(Ideal(q1)))) ;   

>> GtoU3(G!phi(ArtinMapLsurK(Ideal(q1)))) ;
                            ^
Runtime error in map application: Element is not in the codomain of the map

On voit que l'Artin Map refuse de manger un idéal non comaximal au conducteur. Et elle a bien raison. Car cela n'a pas de sens vu que son domaine de définition est $I_K(f)$.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@gai requin
Je peux t'assurer que chez Cox, le théorème 7.7, p. 137, est vachement important. La preuve se termine en bas de la page 141. D'ailleurs, c'est une bonne chose de lire ce qui vient APRES la preuve en bas de la page 141. Et de la page 137 à la page 141 i.e. dans la preuve, il y aura un certain nombre de see a-tel-endroit ou see tel-exercice. Il va même y terminer la preuve du th 3.9 qui était en chantier.

Th 7.7 est important car fait le lien entre les valeurs prises par les formes et les normes des idéaux. C'est au coeur du sujet !

Aussi important est la proposition 7.22 où l'on voit TROIS groupes de classes d'idéaux en isomorphie. C'est sur ce point que j'étais pas clair (et pourtant je connaissais) car pour la première isomorphie, c'est de ``l'évitement interne'' et pour la deuxième, c'est de l'évitement externe. Isomorphies explicites, of course.


Grosso modo, je poste moins (si, si) et j'assure des petites choses sur des notes manuscrites car dans les posts je ne m'y retrouve pas du tout.

Et des fois, les posts cela ne fait pas ce que l'on veut. A la question, dans [homepages.math.uic.edu], où voyez vous la définition de ``genera'' [[i.e. demande d'un coup de main]], le slence qui suit est assourdissant.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Of course $<9,-3,40>$ et $<40,3,9>$ représentent les mêmes entiers !
Merci.

J'ai déjà utilisé le dernier document auquel tu fais référence sur les nombres convenables d'Euler.

Je vois quelque chose qui se rapproche d'une définition de "genus" à la proposition 1.7. (i) p.3.

Remarque : en anglais, le pluriel de "genus" est "genera" (comme en latin aux nominatif, vocatif et accusatif).
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
@Claude : ici

Du coup, on voit bien le regroupement des formes en trois classes modulo la forme $q^{3}$ avec $q=(2,1,179)$, on a un groupe d'ordre $30$ cyclique et on cherche à faire le quotient d'ordre $3$, bref quotient par $q^3$.

Par contre, ton association c'est ça qu'il faut comprendre ... je veux dire pourquoi $j$ et pas $j^2$ ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@gai requin
Bien plus que représenter les mêmes entiers : elles sont $\text{SL}_2(\Z)$-équivalentes. Ainsi, les deux formes $(a, b, c)$ et $(a, -b,c)$ de même discriminant représentent les mêmes entiers MAIS ne sont pas en général $\text{SL}_2(\Z)$-équivalentes. Elles sont seulement $\text{GL}_2(\Z)$-équivalentes via le changement de variables $(x,y) \mapsto (x,-y)$.

Note : c'est parfois un peu plus complexe pour réaliser l'évitement. Ici, je veux éviter 6 (sans changer la classe de $\text{SL}_2(\Z)$-équivalence, bien sûr)

> a := 6 ; b := 17 ; c := 6 ;             
> D := b^2 - 4*a*c ;
> D ;
145
> q := BinaryQuadraticForms(D) ! [a,b,c] ;
> q ;
<6,17,6>
> CoprimeForm(q,6) ;                      
<29,-29,6>


Quant à genus et genera, je sais bien. Mais on croit voir une définition en 1.7 qui vient après le théorème 1.6. Encore que 1.7 n'est pas une définition. Ce que j'en pense : le gars recopie Cox et fait croire qu'il explique. Et bien pour moi, les 2 premières pages, c'est de la m.erde, un point c'est tout.


@flip flop
$j$ et $j^2$ sont indistinguables. On peut les permuter, cela ne change rien. Le vrai groupe qui intervient est le groupe 3-cyclique $\text{Gal}(L/K)$.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Salut flip-flop
A propos de ton dihedral-L-function ... (du Sam. 30 sept 2017). Cela n'a pas été facile à lire à cause des notations fluctuantes et parfois pas assez précises. En haut de la page 3, par exemple tu utilises $\zeta$ mais il faut comprendre que c'est $\zeta_{\Q(\sqrt 2)}$ [[et d'ailleurs on le voit une fois]] et à un moment donné, il y a un $\zeta$ qui est $\zeta_\Q$. Et pour moi, toujours dans cette page, $L$ c'est $\zeta_{\Q(\sqrt 2)}$. On se comprend là ?

Mais ce qui m'a le plus étonné, c'est le haut de la page 5 : ton histoire de coefficients $(2, -2, 0, 0, 0)$. Et je crois me souvenir que plusieurs fois tu as ``deviné'' (en degré 4 si je me souviens bien) la combinaison linéaire de séries $\Theta$. Et cela collait. Bref, je reste sur ma faim.


A propos du degré 3. As tu une idée de comment prouver $2S_{\rho_2} = \sum_Q \chi(Q)\Theta_Q$ où $\chi$ à valeurs dans $\text{Gal}(L/K) \simeq \mathbb U_3$ est l'Artin Map ? Ou encore : que dit cette égalité ?

J'ai fini par prouver (je fais comme si tu connaissais mes notations) l'égalité $\text{Disc}(L/K) = f^2 \mathcal O_K$ à partir de la Führerdiskriminantenproduktformel (pour moi, c'est pas facile à dire) :
$$
\text{Disc}(L/\Q) = \text{Disc}(K/\Q) \text{Disc}(E/\Q)^2
$$
K.B. le fait aussi dans son appendice mais évoque le conducteur (au sens Class Field) de $L/K$ ; dans ma preuve, j'évite d'en parler. Bien sûr, il obtient plus précis car en même temps, il obtient $\mathfrak f(L/K) = f \mathcal O_K$.

Es tu découragé ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Hello Claude,

Découragé, ah non jamais grinning smiley

Alors, je tente d'expliquer autrement. Contexte $f$ de degré $3$ qui donne $K \mid \Q$ et $L$ la clôture galoisienne de $K$. Juste pour que ce soit plus simple, je prend la situation de Serre i.e $L$ contient une extension quadratique $\Q(\sqrt{;\Delta})$ avec $\Delta$ le discriminant de l'anneau des entiers de $K$. (je précise pas plus, mais c'est pas important prenons juste $\Delta = -23$ ou $\Delta = -31$, on verra ensuite).

On a $3$ formes binaires quadratiques de discriminant $\Delta$, la forme neutre $q$ et deux formes inverse l'une de l'autre disons $q_2$ et $q_3$.

Remarque 1. Soit $p$ est un premier carré modulo $\Delta$. Alors $p$ est représenté soit par $q$ soit par $q_1$ (et $q_2$ également).

D'autre part, si $p$ est représenté par $q$ alors il l'est de $4$ manières différentes et si $p$ est représenté par $q_1$ alors seulement de $2$ manières.

On en déduit que le coefficient en $p$ de la série $ \Theta_{q}- \Theta_{q_1}$ vaut $4$ ou $-2$ selon les cas.

D'autre part, le coefficient en $p$ de $S_{\rho}$ est par définition : nombre de racines de $f$ modulo $p$ moins $1$ (because la division par zéta de Riemann ici dans le contexte degré $3$).

Mais via class field, le nombre de racine est $3$ si et seulement si $p$ est représenté par la forme $q$ et ce nombre est $0$ si $p$ est représenté par $q_1$.

Regroupant les deux choses : on constante que le coefficient en $p$ de $2S_{\rho}$ est le même que le coefficient en $p$ de $ \Theta_{q}- \Theta_{q_1}$ car $2 \times (3-1) = 4$ et $2 \times (0-1) = -2$.

C'est simplement ça que je fabrique. J'ai essayé de faire la même chose pour les coefficients en $p^r$ (là je pense que ça passe, avec les $p$-facteurs), par contre, il faut des propriétés de multiplicativité pour les coefficients en $n$ quelconque mais je n'ai pas réussit a le faire.

Tu vois ce que je veux dire dans ce contexte ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Je comprends mieux mais je constate que j'ai des trous. Si je désigne par exemple $q(x,y) = x^2 + bxy + cy^2$ (``une'' forme neutre), j'avais ``oublié'' que :
$$
q(x,y) = q(-x,-y) = q(x+by,-y) = q(-x-by,y)
$$
d'où le coup des 4 représentations.

Comment montres tu qu'il y en a seulement 4 (pour un nombre premier) ? Et 2 seulement si $q$ n'est pas une forme neutre (une forme est neutre si et seulement si elle représente 1).

Je note $F$ le polynôme de degré 3 (sorry, je garde $f$ pour le conducteur). Au lieu de dire ``via Class Field'', peut-on se contenter de dire (c'est une propriété des corps finis) : le nombre de racines de $F$ modulo $p$ est 3 si $D$ est un carré modulo $p$, 0 sinon. Ici $D$ est soit le discriminant de $F$ soit le vrai discriminant i.e. celui de $\mathcal O_E$ où $E = \Q(x)$ (i.e. le discriminant des formes quadratiques) qui sont égaux à un carré multiplicatif près.

J'avais aussi ``oublié'' que la suite des coefficients de $S_{\rho_2}$ est multiplicative ! Je vais prononcer un gros mot ``Hecke Theory'' ?


Décourageant ? Ben, tu pars avec un petit polynôme $F \in \Z[X]$ irréductible de degré $3$, de discriminant $< 0$. Un premier truc pas banal débarque à savoir $D = \text{Disc}(\mathcal O_E)$ ( ne pas confondre avec celui de $F$, l'arithmétique entre déjà dans la course). Au niveau des formes quadratiques de discriminant $D$, on t'informe alors qu'il y a un sous-groupe $H$ bien précis d'indice 3 de $G = \mathcal Q(D)/\text{SL}_2(\Z)$, ce qui n'est plus du tout banal (en passant cela montre que $\#G$ est divisible par 3). Je parle bien sûr du noyau de l'Artin-Map. Inutile de parler de $j, j^2$ car il suffit de penser au groupe 3-cyclique $G/H$. Disons que l'on peut écrire (à ce qu'il paraît) :
$$
2S_{\rho_2} - \sum_{Q \in H} \Theta_Q = -\sum_{Q' \in (G\setminus H)/2} \Theta_{Q'}
$$
A droite, le coup de $(G \setminus H)/2$, c'est pour exprimer que j'ai fait un regroupement du style $ja + j^2a = -a$. Je sais pas si c'est clair.

Evidemment, on aimerait déterminer $H$ de manière explicite et élémentaire. Mais niet. Montrer cela semble inaccessible.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
@Claude : Pour les histoires de $2$ et de $4$ représentations. J'avoue que j'ai été surpris un peu par le $2$ (j'avais tiqué un peu la fois dernière quand j'avais regarder l'article de Serre sur le théorème de Jordan). Pour le $4$, c'est les unités qui rentre en compte.

Je n'ai pas de preuve (pas encore réfléchi a cette question vraiment) mais j'ai vu dans le texte lemme 2.4. Mais pas trop grave, je continu a lire le Cox et ça deviendra clair dans quelques jours, faut être solide sur les histoires de formes binaires quadratiques et pour l'instant je ne suis pas solide du tout. Quand vous avez parlé de ça avec Gai requin, je n'avais pas compris l'intérêt, du coup j'ai fait d'autres choses grinning smiley

Pour les histoires de multiplicativité, je ne suis absolument pas clean du tout (pourtant j'ai tourné les choses dans tous les sens, sauf le bon apparemment) ! Et concernant le truc pas banal et bien je ne suis pas du tout clean non plus. Tu vas me dire, ouhai bah flip-flop t'es clean sur rien du tout en fait grinning smiley oui oui, c'est ça, mais c'est pas grave, juste comprendre ce que je dois comprendre c'est déjà une très bonne chose !

Bref positif pour moi winking smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Poirot.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Boulette de ma part. Il y a d'autres formes (que ``la'' neutre) pour lesquelles il a 4 représentations (au moins). Exemples : $q(x,y) = ax^2 + cy^2$, $q'(x,y) = ax^2 + axy + cy^2$.
Car ces formes ont plus que deux automorphismes :
$$
q(x,y) = q(\pm x, \pm y), \qquad\qquad
q'(x,y) = q'(-x,-y) = q'(x+y,-y) = q'(-x-y,y)
$$
C'est probablement aussi le cas de n'importe quelle forme ambigüe ?

Note : en degré 3, les formes ambigües rentrent dans le sous-groupe $H$ d'indice 3 de $\mathcal Q(D)/\text{SL}_2(\Z)$.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Hello Claude,

Ok, bon c'est encore un truc a faire attention. On retrouve ça un peu dans ton épreuve d'agreg Gauss-quadratique.

Etant donné un premier $p$ et $\Delta = 0,1 \pmod{4}$. Alors $p$ est représenté par une certaine forme de discriminant $\Delta$ si et seulement si $\Delta$ est un carré modulo $p$. Et ensuite sous cette condition, il existe uniquement $1$ ou $2$ formes (à équivalence par $\text{SL}_2(\Z)$) qui représente l'entier premier $p$, selon que la forme est ambiguë ou non.

Ensuite (avec le lemme que j'ai pointé hier toujours pas regarder) ça donne la chose. Mais disons pour le moment je suis encore entrain de me battre avec les différentes notions introduites : c'est du charabia grinning smiley

Pourquoi (Cox) faire agir $\text{GL}_2$ et pourquoi parler de forme ambiguë ? Pourquoi, il fait une restriction sur les formes positives après avoir commencer à travailler un peu ? On fait agir $\text{SL}_2(\Z)$ seulement, ça semble être la bonne notion ici, ? Pourquoi, il travail avec $\Delta = -4n$ ?

confused smiley
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Salut Flip-Flop

Je réponds à ma façon (!) et en vrac. En numérotant les points car j'en ai envie.

1) Dans la préface du livre de Cox :
I am an algebraic geometer by training, and number theory has always been more of an avocation than a profession for me. This will help explain some of the curious omissions in the book.

training cela signifie ``formation'' et avocation ``distraction''.
Le livre de Cox est cependant devenu une référence. Je pointe Kani (un spécialiste) [www.mast.queensu.ca] qui le cite ici et ailleurs.

2) Le papier cité de Kani (Idoneal Numbers ..), c'est du sérieux : 3 pages de références bibliographiques. Ideonal : idoine, convenable (Euler). On peut pas en dire autant (sérieux) de R.K.

3) $-4n$, cela vient de $x^2 + ny^2$. Et $x^2 + ny^2$, c'est plus ``sexy'' que $x^2 + xy + cy^2$. Combien de fois sur le forum, on voit écrire un nombre comme la somme de deux carrés. Plus souvent que sous la forme $x^2 + xy + y^2$.

Cox a donc mis $x^2 + ny^2$ en avant. Produisant des énoncés que j'aime moyen : par exemple, le th 5.1 page 98 : soit $n > 0$ tel que $n \not\equiv 3 \bmod 4$. Alors .. etc.. Bien sûr, il est en train de parler du discriminant quadratique fondamental $< 0$ $D = -4n$. On pourrait d'ailleurs obtenir un énoncé pour tout discriminant quadratique fondamental $< 0$. Cela serait plus uniforme (mais peut-être moins sexy ?).

4) Formes ambigües. Un jour viendra à toi un groupe commutatif fini $G$, noté multiplicativement. Et tu verras que $G/G^2$ où $G^2$ est le sous-groupe des carrés joue un rôle fondamental. Si, si. Et même que tu devras calculer son cardinal. Et que cela sera plus facile de calculer le cardinal du sous-groupe $G_2$ de 2-torsion ($g^2 = 1$). Et le lien c'est que
$$
\#\big( G/G^2\big) = \#G_2 \qquad \hbox { car canoniquement } \qquad G/G_2 \simeq G^2
$$
Et alors là tu diras merci à Gauss d'avoir introduit les formes ambigües.

5) Oui, c'est $\text{SL}_2(\Z)$ qui nous concerne au plus haut point. Mais de temps en temps, on ne peut pas faire autrement que de considérer $\text{GL}_2(\Z)$. Par exemple, pour la base des séries $\Theta$ c'est $\mathcal Q(D) /\text{GL}_2(\Z)$ qui intervient. Et pas $\mathcal Q(D) /\text{SL}_2(\Z)$

6) Il faut beaucoup de temps pour comprendre un peu. Je corrige : il me fait beaucoup de temps pour comprendre un peu.

7) Il n'y a pas que Cox. Frolich-Taylor ont un traitement à part. J'ai déjà dit que sur certains points, ces deux là me défrisaient. Oui, mais pas sur tous les points. Et de temps en temps, sur certains points, ils font un sacré effort (si, si). Et en ce qui concerne Genus Theory, ils ne font pas du coupé-collé de Cox (on peut pas en dire autant de ..). Donc cela vaut le coup de prendre le temps de les consulter. Mais cf le point précédent.

8) Drôle de réponse ? Oui, mais c'est la mienne. J'ai enfoncé des portes ouvertes ? Tant pis, c'est la vie.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Hasse et la chose cubique : c'est dingue. Juste un exemple : soit $D$ un discriminant quadratique fondamental et
$$
r_3(D) = \dim_{\mathbb F_3} { \text{Cl} \Q(\sqrt D) \over 3\text{Cl} \Q(\sqrt D)}
$$
J'ai utilisé la notation additive pour le groupe des classes d'idéaux. Et bien figure toi que le nombre de classes d'isomorphie d'extensions cubiques non galoisiennes $E/\Q$ telles que $\text{Disc}(\mathcal O_E) = D$ est :
$$
{3^{r_3(D)} - 1 \over 2}
$$
Exemple $D = -3299$. C'est un discriminant quadratique fondamental et
$$
\text{Cl} \Q(\sqrt D) \simeq \Z/3\Z \times \Z/9\Z
$$
si bien que $r_3(D) = 2$ et qu'il y a $4 = (3^2 - 1)/2$ classes d'isomorphie d'extensions cubiques ...etc...

In [matematicas.uniandes.edu.co]

Et à ton avis, avec ces 4 extensions cubiques i.e. 4 polynômes de degré 3 ...etc.., il a fait quoi C.Q. ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
$4$ c'est le nombre de sous-groupe de $\text{Cl} \Q(\sqrt D)$ d'indice $3$ ?

Oui là t'es obligé d'être super précis, on a plus du tout la structure de groupe cyclique !

Je pense que je peux sortir les $\Theta$-expression mais je ne vais pas pouvoir faire la bonne association directos grinning smiley

Je vois deux équations dans le pdf que tu donnes ... je vais faire les $\Theta$-expression, normalement je dois pouvoir le faire grinning smiley
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Beh un premier (je dois partir, j'ai de la famille ici avec moi cette semaine), je ferais l'autre ce soir.

Pour $G = x^3-16X+27$ on trouve $$2S_{\rho} = \sum_{k=1}^9 \Theta_{q_9^k} - \sum_{k=1}^9 \Theta_{q_9^k q_3}$$
Avec
$$
q_9 = [3,1,275] \qquad q_3 = [23,-17,39]
$$
Je n'ai pas trop vérifié, je n'arrive pas encore a programmer les $\Theta$ série avec Pari-Gp.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Voilà les 4 en question :

> D := -3299 ;
> NFD3 := NumberFieldDatabase(3) ;
> E3299 := [E : E in sub < NFD3 | D,D>] ;
> E3299 ;
[
    Number Field with defining polynomial x^3 + x^2 + 9*x + 8 over the Rational Field,
    Number Field with defining polynomial x^3 + x^2 + 3*x - 10 over the Rational Field,
    Number Field with defining polynomial x^3 + 2*x + 11 over the Rational Field,
    Number Field with defining polynomial x^3 - 16*x + 27 over the Rational Field
]

J'ai pas vérifié ce que tu dis.

J'ai l'impression que tu dis sans le dire que pour un groupe abélien fini $E$, si on pose :
$$
r = \dim_{\mathbb F_p} E/pE
$$
alors le nombre de sous-groupes d'indice $p$ de $E$ est $(p^r - 1)/(p-1)$. Je ne réfléchis pas à ce que j'écris (c'est pas bien). C'est cela j'aurais pu entendre alors que tu ne l'as pas dit ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
A propos de [www.les-mathematiques.net]

Pour $F = X^3 - 16X + 27$, $q_9, q_3$, ...etc.. tu as RAISON (tu fais ch.er).

Et, de manière générale, dès que l'on dispose du sous-groupe $H$ d'indice 3 de $\text{Cl}(D)$, le noyau de l'application d'Artin à valeurs dans le groupe 3-cyclique $\text{Gal}(L/H)$), alors
$$
2S_{\rho_2} = \sum_{Q \in H} (\Theta_Q - \Theta_{Q_1Q})
$$
pour n'importe quel $Q_1 \in \text{Cl}(D) \setminus H$. C'est VACHEMENT plus simple que ce que j'avais fait (tu fais ch.er, bis). Merci.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
spinning smiley sticking its tongue out

Mais je veux bien voir ta méthode car c'est certainement plus systématique. Je fais les autres plus tard (y'a un truc amusant qui doit se passer).

Ici pour identifier l'extension j'ai utilisé le nombre $p=277$.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Dans le cas général, je n'ai PAS de méthode. C'est de la programmation vachement aidée par qui tu sais. Mais bien sûr, il a fallu que je mette les mains dans le cambouis car le résultat à produire est un peu plus compliqué que 1 + 1 ;
Je fais déterminer $\text{Cl}(D)$ puis le noyau de l'Artin-Map via les primitives ad-hoc (qui sont fragiles, on a accès aux sources et quand on y lit ``Only probabilistic ...etc...''). Je mets la main à la pâte pour l'évitement et d'autres bricoles.

Mais mes stratégies évoluent au fur et à mesure et se simplifient (par exemple, ce jour grâce à toi).

Dans le cas du degré 3, en ce qui concerne $\rho_2$, on a un énoncé assez précis par rapport à l'énoncé suivant :

Let $G_\Q$ the absolute Galois group over $\Q$ and $\rho : G_\Q \to \text{GL}_2(\C)$ be an odd Galois representation of dihedral type i.e. $\text{Im}(\rho)/Z(\text{Im}(\rho))$ is isomorphic to the dihedral group $D_n$ for some $n$. Here $Z(\quad)$ is the center of. Odd : $\det(\rho(c)) = -1$ where $c$ is the complex conjugation.

Then $\rho = \rho_f$ for some modular form $f \in S_1(N, \Psi)$ where $N$ is a level and $\Psi$ a Nebentypus.

Tu pourras le placer en famille ? Dans les salons mondains ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Je complète mes deux 1, 2 messages plus haut pour les mettre dans le contexte des formes quadratiques :

Citation

Soit $L = \mathbb{Q}(\alpha,\sqrt{\Delta})$ le corps de décomposition de degré $6$ d'un polynôme cubique $f \in \mathbb{Z}[x]$ et $\Delta < 0$. On prend la représentation irréductible $\rho : \text{Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong S_3 \to GL_2$. On montre que $L(s,\rho) = \frac{\zeta_{\mathbb{Q}(\alpha)}(s)}{\zeta(s)}= L(s,\psi)$ pour $\psi : \mathcal{I}_F \to \mathbb{C}$ un caractère de Hecke de $F=\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})$
et on vérifie (comme $L/F$ est non-ramifiée, cf. Artin map $(.,L/F)$ ?) que $\psi$ est purement un caractère du groupe des classes d'idéaux $\mathcal{C}_F=\mathcal{I}_F/\mathcal{P}_F$ (ie. $\psi$ est trivial sur les idéaux principaux) ce qui donne donc
$$L(s,\rho) = L(s,\psi) = \sum_{I \subset \mathcal{O}_F} \psi(I) N(I)^{-s} = \sum_{J \in \mathcal{C}_F} \psi(J)N(J)^{-s} N(JJ^{-1})^s \sum_{a \in J^{-1}/\mathcal{O}_F^\times} N(a)^{-s}$$ $$\sum_{a \in J^{-1}/\mathcal{O}_F^\times} N(a)^{-s} = \frac{1}{(2\pi)^{-s} \Gamma(s)} \int_0^\infty \Theta_Q(ix) x^{s-1}dx, \qquad \Theta_Q(z) = \sum_{a \in J^{-1}/\mathcal{O}_F^\times} e^{2i \pi z N(a)}= \frac{1}{|\mathcal{O}_F^\times|} \sum_{a \in J^{-1}} e^{2i \pi z N(a)}=\frac{1}{|\mathcal{O}_F^\times|}\sum_{m \in \mathbb{Z}^2} e^{2i \pi z Q(m,m)}$$
où $Q(m,m) =N(m_1b_1+m_2b_2)$ est la forme quadratique associée à l'idéal $J^{-1}$ de $\mathcal{O}_F$ et $b_1,b_2\in \mathcal{O}_F$ une $\mathbb{Z}$-base de l'idéal (donc $J^{-1} = b_1 \mathbb{Z}+b_2 \mathbb{Z}$).

Dans Magma on peut tester ça en vérifiant qu'on sait construire $\psi$ à partir du caractère de Dirichlet trivial :
P<x> := PolynomialRing(Integers());
K:= NumberField(x^3-x^2-1); L := SplittingField(x^3-x^2-1); D := Discriminant(x^3-x^2-1);
F<a> := NumberField(x^2-D); OF := Integers(F);

H := HeckeCharacterGroup(1*OF); psi := H.1;

chi := DirichletRestriction(psi); a,G := HeckeLift(chi); /* HeckeLift renvoie G l'ensemble des caractères du classgroup multipliés par le caractère de Dirichlet chi (trivial sur les units) */
IsTrivial(chi); /* true */
psi2 := G.1;  psi2 eq psi; /* true */

Classgroup := ClassGroupPrimeRepresentatives(OF, 1*OF);
 /* psi est entièrement défini par    psi(Classgroup(i)) */

LF := LSeries(psi2);  /* on vérifie que la série-L est bonne */
zetaK := LSeries(K); zeta :=  RiemannZeta(); Lrho := zetaK/zeta;
R := Lrho/LF; N:= 2000; t:= LGetCoefficients(R,N); s := 0;
for i in [2..N] do 
  s := s + Abs(t);
end for;
s; 




Edité 12 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
A propos ce que tu aurais dit ou pas mais que de toutes façons, j'aurais entendu in [www.les-mathematiques.net] et [www.les-mathematiques.net]

Je confirme : soit $E$ un groupe abélien fini et $p$ premler. Alors $E/pE$ est un $\mathbb F_p$-espace vectoriel dont je note $r$ la dimension. Alors le nombre de sous-groupes de $E$ d'indice $p$ est $(p^r - 1)/(p-1)$. Justification : je note $\pi : E \twoheadrightarrow E/pE$ la surjection canonique. Si $H \subset E$ est d'indice $p$, alors $p(E/H) = 0$ i.e. $pE \subset H$ si bien que :
$$
\pi(H) = {H \over pE} \quad \hbox {est d'indice $p$ dans $E/pE$}
$$
Et réciproquement, par image réciproque ... I.e. autant de sous-groupes d'indice $p$ dans $E$ que de groupes d'indice $p$ dans le $\mathbb F_p$-espace vectoriel $E/pE$. Mais un tel sous-groupe de $E/pE$ n'est autre chose qu'un hyperplan (d'où l'utilisation de la lettre $H$). Mais dans un $\mathbb F_p$-espace vectoriel de dimension $r$, le nombre d'hyperplans (ou de droites, c'est pareil) est bien $(p^r - 1)/(p-1)$.

Et donc le $r_3(D)$ de Hasse, faut y penser comme tu l'as dit : le nombre de sous-groupes de $\text{Cl}(D)$ d'indice 3. J'ai vraiment la tête dans le guidon. Et comme $D$ est fondamental, le résultat de Hasse, c'est du Class-Field tout craché. Car il faut penser au compositum $L = EK$ avec $K = \Q(\sqrt D)$ et remplacer $E/\Q$ par $L/K$ qui est abélienne. Et grosso-modo, ce qui fait marcher le binz, c'est Class-Field (pas rien!) et le fait que $D$ soit un discriminant quadratique fondamental. Mais peut-être que tu l'avais dans ton cours, cet exemple ??


Autre chose : il paraît que tu aimes les $L$-séries ? Faut absolument que tu regardes le théorème 3 page 9 in [www.math.uconn.edu]. L'égalité de $L$-séries, je pense qu'on aurait pu l'établir tous seuls (en trichant peut-être). Mais le papier de K. Conrad n'est pas self-contained. C'est ce qui va se passer après qui va être chaud. On a besoin du théorème de Dedekind sur la fonction $\zeta_K$ de Dedekind. Et on va finir par obtenir le Führerdiskriminantenproduktformel (l'égalité droite du corollaire, page suivante).
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Hello Claude,

Ca ne marche pas bien le Nebentypus en famille grinning smiley

Je fais juste une autre extension, prenons $H$ le sous-groupe engendré par $\langle q_9^3, q_3 \rangle$ le quotient est d'ordre $3$ et $L^H$ est l'extension de degré $3$ engendré par un polynôme $P$ (parmis les $4$) vérifiant :
$P$ est totalement décomposé dans $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p$ est représenté par une des formes dans le groupe $H$.

Là je prend $q_3$ et je cherche un entier premier représenté par $q_3$ par exemple $23$ (coucou à Jim Carrey grinning smiley) et je regarde parmi les $4$ polynôme celui qui est totalement décomposé modulo $23$. Et bien c'est : $P = x^2+2x+11$ et donc la série $S_\rho$ de $P$ vérifie :
$$
2S_{\rho} = \sum_{q \in H} \Theta_{q} - \Theta_{aq} \qquad a \notin H
$$
Bon normalement, faudrait prendre le point de vue avec $j$ et $j^2$, c'est mieux mais là j'ai la flemme grinning smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Je regarde demain soir pour $E/pE$ et le théorème de 3 page 9.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
@Claude :

Pour $E/pE$ bon je suis niveau zéro en algèbre commutatif. C'est une structure de $\Z$-module que tu utilises pour fabriquer par réduction la structure d'espace vectoriel sur $\mathbb{F}_p$.

Un $\Z$-module c'est bien un couple $(E, \Phi)$ avec $E$ un groupe abélien et $\Phi : \Z \to \text{End}_{\text{Grp}}(E)$ un morphisme de groupe ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Oui c'est ça. Et ici tu as directement une action similaire de $\mathbb Z/p \mathbb Z$ dans le cas de $E/pE$, ce qui te donne une structure de $\mathbb Z/p \mathbb Z$-module, c'est-à-dire de $\mathbb F_p$-espace vectoriel.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Merci Poirot :)
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Un $\Z$-module $E$, c'est simplement un groupe abélien $(E, +)$ car ton $\Phi$ il ne sert à rien puisqu'il t'est imposé : $\Phi(m)$, c'est nécessairement la multiplication par $m$ (chose qui se déduit de la structure de groupe abélien de $E$).

Passant au premier point SANS formalisme (on verra plus tard avec formalisme, que je dis). Soit un groupe abélien $M$ tel que $pM = 0$ (on appliquera ce que je fais dire à $M = E/pE$). Je dis que $M$ se munit tout seul d'une structure de $\mathbb F_p$-espace vectoriel. De la manière suivante :
$$
\overline a.x = ax \qquad \hbox {$a \in \Z$, $\overline a$ classe de $a$ modulo $p$}
$$
C'est bien défini car $px = 0$. Et cela confère à $E$ une structure de $\mathbb F_p$-espace vectorieL

Si on veut formaliser un peu, autant le faire dans un cadre plus général. Soit $M$ un $A$-module ($A$ anneau commutatif unitaire) et $I$ un idéal de $A$ qui tue $M$ i.e. $IM = 0$. Alors $M$ se munit tout seul comme on le penss d'une structure de $A/I$-module. Comme on le pense :
$$
\overline a.x = ax \qquad \hbox {$a \in A$, $\overline a$ classe de $a$ modulo $I$}
$$
C'est bien défini car $IM = 0$ ...etc...

Bien sûr, on peut présenter les choses de manière bien plus formelle avec un morphisme d'anneaux $\rho : A \to \text{End}(E,+)$ qui va passer au quotient ...etc..



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Ok Claude, c'est bon.

Pour le théorème $9$ de K. Conrad. C'est la représentation régulière qui de $\text{Gal}(K \mid \Q)$ (avec ses notations) qui se décompose en somme de trois représentations irréductibles : une de degré $2$ et $2$ de degré $1$ (une trivial et une non trivial). Oui je pense qu'on doit pouvoir le faire. Par contre, j'ai regardé juste un petit peu ce qu'il fait dans le reste, ca fait mal a la tête !
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Et dans l'histoire $H = \langle q_9^3, q_3\rangle$, s'il y avait eu plusieurs polynômes $F$ parmi les 4 totalement décomposés modulo $p = 23$ ?

L'autre histoire (théorème 3 de K. Conrad). Je mets le contexte pour avoir NOS notations
$$
\xymatrix {
&L\ar@{-}[dl]_2 \ar@{-}[dd]^{S_3} \ar@{-}[dr]^3 \\
E\ar@{-}[dr]_3 && K\ar@{-}[dl]^2 \\
&\Q \\
}
$$
On est parti de $E/\Q$ NON galoisienne i.e. $\text{Disc}(\mathcal O_E)$ non carré, $L = E^{\rm gal}$ ...etc.. Il s'agit de démontrer :
$$
\zeta_L = \zeta_K \left( {\zeta_E \over \zeta_\Q} \right)^2 \qquad\qquad (\star)
$$
On a trois représentations irréductibles de $S_3$, 2 en dimension 1 (la triviale et la signature) et la dernière en dimension 2 (la représentation hyperplane)
$$
\varepsilon, \qquad \rho_1, \qquad \rho_2
$$
Et l'on a :
$$
\rho_K = \varepsilon \oplus \rho_1, \qquad\qquad
\rho_E = \varepsilon \oplus \rho_2, \qquad\qquad
\rho_L = \varepsilon \oplus \rho_1 \oplus 2\rho_2
\qquad \qquad (\blacksquare)
$$
Tout à droite, c'est parce que $\rho_L$ c'est la représentation régulière et on sait que toute représentation irréductible y figure avec la multiplicité égale à sa dimension.

Pourquoi K. Conrad invoque-t-il ``By Frobenius reciprocity'' ? Je zappe là-dessus pour l'instant car on peut pas affronter tous les trucs d'un coup.

Un petit coup de fonction $L-$ sur $(\blacksquare)$, en utlisant $L_{\rho \oplus \rho'} = L_\rho \times L_{\rho'}$, + un petit bricolage calculatoire (cf Conrad), et on on tombe sur $(\star)$.

OK ?

C'est, pour MOI, après que cela se corse.

Sauf si on est savant : si on est savant (c'est pas mon cas), on prend les conducteurs dans l'égalité $(\star)$ et on tombe sur Führerdiskriminantenproduktformel (l'égalité droite du corollaire, page suivante).
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
@Claude : Dans ce cas on prend également un $p$ représenté par $q_9^3$ et là on est sûr qu'il y en a un unique. C'était ça le truc marrant dont je voulais parler hier, mais ça ne se produit pas avec l'exemple que j'ai pris et du coup j'ai cru que c'était un mirage. Merci pour la question ... on doit pouvoir faire un exemple ... mais je galère avec les quotients a la mains. (je regarde après avec les deux autres polynômes que je n'ai pas fait je pense que je vais trouver un exemple).


Sinon OK, il faut voir que $ \varepsilon \oplus \rho_1$ est isomorphe à la représentation régulière de $\text{Gal}(K \mid \Q)$ mais c'est bon. Ensuite ok avec le petit calcul.

Pour Führerdiskriminantenproduktformel, heu je ne sais pas du tout !
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Tu as bien fait d'attirer mon attention sur $\rho_K$ car $K$ ne vérifie pas $K^{\rm gal} = L$, contrairement à notre cahier des charges de petits bébés. Du coup, je reviens en arrière avec le contexte suivant où $L/\Q$ est galoisienne de groupe $G$ et $E$ une extension intermédiaire à qui on ne demande PAS de vérifier $E^{\rm gal} = L$.
$$
\xymatrix {
L\ar@/_2pc/[dd]_G \ar@{-}[d] \\
E \ar@{-}[d]\\
\Q \\
}
$$
Je rappelle des choses de base (tant pis).

1) On dispose de la fonction de Dedekind $\zeta_E$ dont le job est de compter le nombre d'idéaux de $\mathcal O_E$ de norme donnée.
2) Le $p$-Euler facteur $Z_p(\zeta_E,T)$ raconte la factorisation de $p$ dans $\mathcal O_E$.
3) Le schéma $\mathcal O_E$ vu dans les $\mathbb F_{p^r}$, pour $p$ fixé et $r \ge 1$ variable, intervient car $Z_p(\zeta_E,T)$ est la fonction zeta (au sens de if the author is polite) de la suite $\left(N_{p^r}(\mathcal O_E)\right)_{r \ge 1}$. Au sens de ``if the author is polite'' signifie
$$
u = (u_r)_{r \ge 1} \longmapsto \hbox {fonction zeta de $u$} = Z_u(T) = \exp\left( \sum_{r \ge 1} {u_r\over r} T^r \right)
$$
Cela, c'est du passé.

Donc a priori, $\zeta_E$ se fiche de $(L, G)$. Mais en fait, NON. Car $(L,G)$ fait naître une représentation permutationnelle $\rho_{E,L}$ :
$$
\rho_{E,L} : G \times \text{Hom}(E, L) \longmapsto \text{Hom}(E, L)
$$
donc une $L$-série au sens d'Artin (dans laquelle le Frobenius de $p$ relativement au groupe de Galois $G$ joue un rôle primordial dans l'élaboration du $p$-Euler facteur). Et cette $L$-série c'est $\zeta_E$. Que $E$ vérifie $E^{\rm gal} = L$ ou pas. Si bien que $\zeta_E$ ne se fiche plus du tout de ce qui se passe au dessus de sa tête.

Et nous là dedans ? Toujours bébés certes mais plus tout-à-fait petits bébés. Et en grandissant, il faudra un jour ou l'autre prendre connaissance dans le cahier des charges, des $L$-fonctions d'Artin d'un machin nommé ``Artin $L$-function of an Induced Representation''.

Cf par exemple le théorème 2.2.1 (Artin) page 60 de la thèse de Noah Snyder in [pdfs.semanticscholar.org]. Et même tout le paragraphe 2.2.

Bien sûr, je n'ai PAS lu ce paragraphe 2.2. Mais cela ne m'empêche pas de parler de ...

On ne pourra pas toujours rester petis bébés.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
A propos des sous-groupes d'indice 3 de $E = \Z/3\Z \times \Z/9\Z = \langle q_3\rangle \times \langle q_9\rangle$. Je vais utiliser de l'additif et du multiplicatif (pour les formes quadratiques $q_3$, $q_9$).

Il faut suivre la procédure $E \mapsto E/3E$. Qui conduit ici à $E/3E \simeq \mathbb F_3^2$, un brave espace vectoriel de dimension 2, avec 4 droites ($4 = \#\mathbb P^1(\mathbb F_3)$) engendrés par les vecteurs :
$$
\pmatrix {1\cr 0} \leftrightarrow q_3, \qquad\qquad
\pmatrix {0\cr 1} \leftrightarrow q_9, \qquad\qquad
\pmatrix {1\cr 1} \leftrightarrow q_3q_9, \qquad\qquad
\pmatrix {1\cr -1} \leftrightarrow q_3q_9^{-1}
$$
Maintenant, il faut prendre le pullback i.e. image réciproque par $E \to E/3E$ sachant que $3E$ est représenté par $q_9^3$. Bilan : les 4 sous-groupes d'indice 3 sont :
$$
\langle q_3, q_9^3\rangle, \qquad\qquad
\langle q_9, q_9^3\rangle, \qquad\qquad
\langle q_3q_9, q_9^3\rangle, \qquad\qquad
\langle q_3q_9^{-1}, q_9^3\rangle
$$
Ce qui se simplifie en :
$$
\langle q_3, q_9^3\rangle, \qquad\qquad
\langle q_9\rangle, \qquad\qquad
\langle q_3q_9\rangle, \qquad\qquad
\langle q_3q_9^{-1}\rangle
$$
J'ai utilisé par exemple $(q_3q_9)^3 = q_9^3$.

C'est cela que tu ``cherchais'' ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
@Claude : Yes, j'ai bricolé pour retrouvé le résultat mais je préfère ta démarche (bah oui grinning smiley), pas bien bien compris mais je vais reprendre, certain que c'est pas complexe.

D'ailleurs, l'association complète polynôme de discriminant $-3299$ est sous-groupe d'indice $3$ est :
$$
\langle q_3, q_9^3\rangle, \qquad \leftrightarrow \qquad x^3+2x+11 \quad p=23 \qquad \qquad
\langle q_9\rangle, \qquad \leftrightarrow \qquad x^3-16x +27 \quad p=277 \qquad
$$
$$
\langle q_3q_9\rangle, \qquad \leftrightarrow \qquad x^3+x^2+3x-10 \quad p=13 \qquad \qquad
\langle q_3q_9^{-1}\rangle \qquad \leftrightarrow \qquad x^3+x^2+9x+8 \quad p=71
$$

Sinon pour ton post précédent. Oui je vois ce que tu veux dire par $\zeta_E$ ne s'en fiche pas de ce qui se passe au dessus, c'est un peu le lemme de réduction (d'ailleurs pour moi, si on regarde ces choses dans le contexte cyclotomique-quadratique, on retrouve (pas tout a fait) la réciprocité quadratique). A un moment donnée, je voulais faire le truc suivant :
Soit $\rho : G \to \text{GL}(V)$ une représentation et $H$ un sous-groupe distingué de $G$. On considère la représentation $G / H \to \text{GL}(V^H)$ bon a priori ce n'est pas ça qu'il faut faire, je vais jeter un coup d'œil dans le Serre sur les histoires d'inductions.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
Merci pour la liste complète concernant le discriminant $-3299$ et le degré 3. Tu te doutes que je ferai des vérifications (mais plus tard).

1) Je t'ai empêché de continuer à lire Cox. Sorry. Tiens à propos de l'aspect sexy d'un titre. Entre ``Premiers de la forme $x^2 + ny^2$'', ``Premiers représentés par la forme normique d'un anneau quadratique imaginaire'' ou ``Premiers de la forme $x^2 + bxy + cy^2$'', quel est celui qui va se vendre le mieux dans les chaumières ?

2) On a brûlé des étapes : le degré 3 (voire 4 avec $X^4 - 2$, $X^4 - a$). Or $2 < 3$. Et avec le degré 2 (au dessus d'un corps quadratique imaginaire), il y aurait des choses pertinentes et pas du tout triviales à dire. J'ai pensé à cela en survolant [websites.math.leidenuniv.nl]. Quelle stature ce Artin.

On verra plus tard. On redeviendra petits bébés en retournant au degré 2.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
J'ai vérifié jusqu'à $p=20000$ grinning smiley

Marrant de programmer un peu avec pari gp ...

J'ai un bon titre Claude :

Premiers représentés par $x^2+xy+825y^2$ ou par $3x^2-xy+275$ ou par ... ou par $17x^2+13xy+51y^2$ et le polynôme $x^3-16x+27$ grinning smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
J'ai tout vérifié (discriminant $-3299$ et les 4 sous-groupes d'indice 3 du groupe des classes de $\Q(\sqrt D)$). Dans tous les sens. Ca baigne.

Jusqu'à $p = 20000$, cela veut dire quoi ? D'abord, je crois que $p = 20000$, c'est pas un nombre premier. Et du veux dire que tu as développé les $\Theta$-séries jusqu'à cet ordre ? [[moi, j'ai été jusqu'à $10^3$]]

Ton titre, heu, moi je le trouve pas jojo. Tu comptes coucher les 27 formes quadratiques sur la page de couverture ? Aucun éditeur n'en voudra, je pense.

Quant au système pari, je connais de réputation mais je reste à magma (je présente ceinture orange début 2018 sur un thème pas encore fixé).
Système pari : je paries (c'est pas un jeu de mots) que tu as fait joujou avec ellinit, ellan, ellap, elltaniyama ? Sur les noms de fonctions, c'est pas des causants les gens de pari.
Je devrais pas te parler de cela (elltaniyama) car la première fois que tu vas voir le paramétrage modulaire $q \mapsto (x(q), y(q))$ d'une courbe elliptique rationnelle par une courbe modulaire $X_0(N)$, cela risque de te faire un choc. Et tu vas pas dormir de la nuit.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Vous avez lu mon message plus haut ? $\rho$ est une représentation non-abélienne de $\text{Gal}(L/\mathbb{Q})$ mais induite par une représentation abélienne de $\text{Ga}(L/F)$. Le problème c'est de montrer que parce que $L/F$ est non-ramifiée alors $\rho$ est juste un caractère de $\mathcal{C}_F$ (le groupe des classes d'idéaux de $F$).

Une fois que c'est fait et qu'on connait $\mathcal{C}_F$ alors on a directement les sommes sur les formes quadratiques que vous avez mentionnées.

Le point important à mon avis c'est que la difficulté vient vraiment de class field theory : la dualité entre les représentations (non abéliennes) de $\text{Gal}(L/\mathbb{Q})$, les combinaisons linéaires de représentations abéliennes de $\text{Gal}(L/F_j)$ et les caractères de $\mathcal{I}_{F_j}$ (caractères de Hecke).

A priori la théorie du genus des formes quadratiques fait les choses dans le sens inverse : à partir d'une forme quadratique, trouver d'autres formes quadratiques telles que la somme de leurs L-séries est une fonction L de Hecke d'un certain corps de nombre.

Il y a aussi le problème d'adapter tout ça aux courbes : elliptiques (au moins avec multiplication complexe) et autres et à terme de comprendre le théorème de modularité des courbes elliptiques.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
@Claude : on doit pouvoir faire mumuse avec $D=-298483$ comme discriminant fondamental, il doit aussi avoir $4$ polynômes grinning smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par flipflop.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Salut Reuns ,

Je vois un peu ce que tu veux dire, avec Claude le parti pris c'est de faire des choses un peu effective. Je vais laisser Claude te répondre, peut être qu'il pourra expliquer mieux le lien entre tes idées et les choses que l'on fait !
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
1) Je confirme

> D := -298483 ;
> NFD3 := NumberFieldDatabase(3) ;
> FlipFlop := sub < NFD3 | D,D > ;
> [E : E in FlipFlop] ;
[
    Number Field with defining polynomial x^3 + x^2 + 72*x + 832 over the Rational Field,
    Number Field with defining polynomial x^3 + x^2 - 23*x + 106 over the Rational Field,
    Number Field with defining polynomial x^3 + x^2 - 79*x - 318 over the Rational Field,
    Number Field with defining polynomial x^3 + x^2 - 113*x - 908 over the Rational Field
]
> IsPrime(Abs(D)) ;  
true


2) Evidemment que les coefficients de $L_{\rho_2}$ forment une suite multiplicative. Je rappelle que dans cette histoire, il n'y a PAS d'analyse. Cf le fil de l'infirme analytique [www.les-mathematiques.net], ce que je rapporte de Ireland & Rosen ainsi que mes notes manuscrites (ça, l'accès est plus compliqué).

De toutes manières, toutes nos $L$-séries sont multiplicatives et gouvernées par un $p$-Euler facteur qui est une fraction rationnelle d'une CERTAINE forme. Toutes. Et les opérations de nature multiplicative concervent cette propriété : le $p$-Euler facteur d'un produit (quotient) c'est le produit (quotient) des $p$-Euler facteurs.

Exemple : de manière générale, pour un corps de nombres quelconque $E/\Q$, que signifie l'écriture $L = \zeta_E/\zeta_\Q$ avec :
$$
L(s) = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s}, \qquad\qquad
\zeta_E(s) = \sum_{n \ge 1} {\nu_E(n) \over n^s}, \qquad\qquad
\zeta_\Q(s) = \sum_{n \ge 1} {1 \over n^s}, \qquad\qquad
\hbox {$\nu_E(n)$ nombre d'idéaux de $\mathcal O_E$ de norme $n$}
$$
Rappel : quand j'écris cela, je ne fais PAS d'analyse. Non pas parce ce que je suis un infirme analytique (ça, c'est vrai) mais parce que je veux savoir exactement où on en fait (j'ai des exemples).

Et bien cela signifie, en notant $\star$ le produit arithmétique des suites :
$$
\nu_E = a_\bullet \star {\bf 1} \qquad \qquad a_\bullet = \nu_E \star \mu \qquad\qquad (\heartsuit)
$$
où $\bf 1$ est la suite constante 1 et $\mu$ la fonction de Moebius qui est son $\star$-inverse. L'égalité à droite de $(\heartsuit)$ certifie bien que $a_\bullet$ est multiplicative si on en doutait encore. Et pour en rajouter une couche :
$$
a_n = \sum_{d \mid n} \nu_E(d) \mu(n/d)
$$

3) Je vais répondre à Reuns mais la seule façon c'est d'abord d'écrire une page autour de Führerdiskriminantenproduktformel, disons la conséquence sur la ramification $\text{Disc}(L/K) = f^2\mathcal O_K$ avec MES notations habituelles CONSTANTES autour du degré 3. Et SANS faire intervenir le théorème d'unicité de Takagi comme dans [www.math.u-bordeaux.fr] (annexe A, p. 97, 4-ième paragraphe au milieu).

Et en lui rappelant que l'induction, je ne sais pas ce que c'est (pour simplifier, disons en le sens que moi j'appelle savoir).

Mais écrire cette page va demander du temps.

4) J'ai compris, dans le contexte du degré 3, et avec mes notations habituelle, ce que SIGNIFIAIT l'égalité $2S_{\rho_2} = \sum_{Q \in H} (\Theta_Q - \Theta_{Q_1Q})$. Mais plus tard. Et il est important de comprendre ce que je j'entends par ``signifier'' (ce n'est absolument pas par exemple ``démontrer'').
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Une remarque : pour échanger, c'est plus confortable d'avoir les mêmes notations. Lesquelles ? Les miennes, pardi : dans le contexte du degré 3, j'ai TOUJOURS utilisé les lettres $F$ (le polynôme de degré $3$), $E$ pour $\Q(x)$, $x$ pour racine de $F$, $L$ pour ...etc...

Et il convient d'être SUPER-précis et de rappeler le CONTEXTE exact, sinon on ne s'en sort pas. Super-précis : exemple, quand je dis que le $p$-Euler facteur de la fonction de Dedekind $\zeta_E$ d'un corps de nombres quelconque $E/\Q$ raconte la loi de factorisation de $p$ dans $\mathcal O_E$ (ce que j'ai dit à plusieurs reprises) et bien je d.c.nne. Cela raconte la loi de factorisation de $p$ dans $\mathcal O_E$, une fois l'inertie neutralisée. Ce ``une fois l'inertie neutralisée'', ce n'est pas du pinaillage.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
Bug connexion forum. Je me contente d'attacher. Commentaires plus tard si j'y arrive.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Fuhrerdiskriminantenproduktformel.pdf (192.8 KB)
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
Coucou Claude,

Je pense que j'ai compris ce que tu tu fais, tu veux trouver le conducteur en calculant le un discriminant c'est ça ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
C'est marrant car y'a toujours un problème de direction : je veux dire ... il y a deux directions

1/ Partir d'une équation de degré $3$ (avec le discriminant non carré) et essayé de raconter des choses sur la décomposition des idéaux premiers.
2/ Partir du conducteur, et créer une extension de degré $3$ dont la théorie prédit la décomposition, par contre on a pas forcément les équations.

Je pense que tu veux relier les deux points de vue, j'ai bon ?
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop
A propos de tes deux derniers posts. Je veux faire quoi ? Calculer (dans le contexte du degré 3, avec mes notations habituelles, disons celles de ma note Fuhrerdiskriminantenproduktformel), le conducteur (au sens Class Field) de l'extension abélienne (3-cyclique) $L/K$ ? NON, car j'en suis incapable. Je sais que ce conducteur est $f\mathcal O_K$ comme on le voit dans l'annexe A de la thèse de Karim Belabas (c'est spécifique au degré 3, dans un cadre plus général, il y a des vacheries, cf une série d'exercices de Cox que j'ai déjà pointée dans ce fil, flemme de).

Je veux faire un truc plus simple : METTRE DE l'ORDRE. Je reviens donc en arrière sur plusieurs mois. Si, si. Par exemple, au fur et à mesure, j'ai tiré toutes tes notes, mais souvent pas de nom, pas de date, et pas terminées. ET je n'arrive pas à m'y retrouver (assez vite) dans mes propres notes. C'est devenu urgent.

Une des premières choses, c'est d'avoir des énoncés les plus élémentaires possible. Je reprends (fixette sur le degré 3). Voici mon dernier énoncé après l'avoir passé dans la moulinette ``mettre de l'ordre''.

Soit $E/\Q$ une extension de degré $3$ non galoisienne avec $D := \text{Disc}(\mathcal O_E) < 0$. POINT. Inutile d'introduire $K, f, L$ dans l'énoncé. Et d'aileurs, non galoisienne est de trop (c'est très rare qu'un entier strictement négatif soit un carré).

Cela c'est le contexte. Quel est l'énoncé ? Je note $\text{Cl}(D)$ le groupe des classes d'idéaux inversibles de l'unique anneau quadratique (imaginaire) de discriminant $D$. Ou encore $\text{Cl}(D) = \mathcal Q(D)/\text{SL}_2(\Z)$. Et bien, $E$ détermine un unique sous-groupe $H$ d'indice $3$ de $\text{Cl}(D)$, donc une partition en 3 classes (penser au résiduel cyclique d'ordre 3) :
$$
\text{Cl}(D) = H \vee H' \vee H'' \quad \hbox {avec}\quad H'' = H'^{-1}
$$
Et on alors :
$$
2S_{\rho_2} = 2\ \sum_{n \ge 1} a_nq^n = \sum_{Q \in H} \Theta_Q - \sum_{Q' \in H'} \Theta_{Q'} \qquad\qquad (\star)
$$
où $L_{\rho_2}$ est définie par :
$$
L_{\rho_2} = {\zeta_E \over \zeta_\Q} = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s} \qquad a_\bullet = \nu_E \star \mu
$$
Mais pourquoi faut-il sauter au plafond quand on voit $(\star)$? Il faut comprendre cela dit en notant $r_Q(n)$ le nombre de représentations de $n$ par $Q$ :
$$
2a_n = \sum_{Q \in H} r_{Q}(n) - \sum_{Q' \in H'} r_{Q'}(n)
$$
En particulier pour $n=p$ premier, en faisant intervenir le nombre de points du schéma $\mathcal O_E$ sur $\mathbb F_p$ :
$$
2 \big( N_p(\mathcal O_E) - 1 \big) = \sum_{Q \in H} r_{Q}(p) - \sum_{Q' \in H'} r_{Q'}(p)
$$
Et en réfléchissant bien au fait qu'un premier $p$ ne peut pas être représenté par deux formes distinctes sauf si elles sont inverses l'une de l'autre (et donc à droite, on a 4, 0 ou -2), on obtient par exemple :
$$
\hbox {$\mathcal O_E$ est totalement décomposé modulo $p$} \qquad \iff\quad
\hbox {$p$ est représenté par une forme de $H$}
$$
La preuve de tout cela ? I.e. d'abord de l'existence de $H$ ? Class field en introduisant $L, K,f$ ...etc.. Et la construction explicite de $H$ ? Faut pas rêver ... sauf si quelque chose est ancrée dans la structure de $E$ (par exemple la fameuse forme binaire cubique).
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
@Claude : Pour la détermination de $H$.

Si on connaît l'équation de $E$ donc le polynôme $F$ de degré $3$. Alors on peut déterminer $H$ en testant, c'est ce que j'ai fait ici.

1/ on construit tout les sous-groupes d'indices $3$ de $\text{Cl}(D)$ disons $H_1 \dots H_r$.
2/ Pour chaque $i = 1, \dots r$, on prend un système générateur $\text{Gens}_i$.
3/ On fait la procédure suivante pour chaque $i=1, \dots, r$ : on note $g_{1,i} \dots g_{l,i}$ le système de générateur $\text{Gens}_i$.
3a. On prend un premier $p_{j,i}$ représenté par $g_{j,i}$ et on forme le vecteur $(b_{j,i})_{j}$ où $b_{j,i} = 1$ si $F$ est totalement décomposé et $0$ sinon.
3b. Il existe un unique $i$ tel que le vecteur $(b_{j,i})$ est égal à $(1,\dots,1)$ et on tiens le groupe $H$ que l'on cherche.

Par exemple, si je prends l'exemple que j'ai donné plus haut $D = -298483$ et je prend un polynôme de degré $3$ que tu as donné $F = x^3 + x^2 -23*x+106$.

Alors on regarde $\text{Cl}(D)$ est les sous-groupes d'indices $3$. Je trouve $4$ sous-groupes (bon, j'ai encore bricolé).

$$ H_1 = \langle q_1,q_2^3 \rangle \qquad H_2 = \langle q_1^3,q_2 \rangle \qquad H_3 = \langle q_1q_2,q_1^3 \rangle \qquad H_4 = \langle q_1q_2^2,q_1^3 \rangle
$$

On trouve ici $H_3$.

Sinon je suis d'accord avec toi, surtout pour mes notes brouillons non terminées. Le truc c'est comme on évolue tous les jours depuis $6$ mois c'est pas évident pour moi de terminer un truc car le lendemain je ne suis plus d'accord avec la présentation de la veille. Faut peut être se calmer un peu. Mais c'est pas moi qui ait commencer avec les corps de classe grinning smiley

Je retourne lire le Cox, un jour j'arriverai au chapitre $3$ hum y'a des histoires de $j$ et tous grinning smiley
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
@flip flop

A propos des deux dernières lignes de mon post [www.les-mathematiques.net]. ``La preuve de tout cela ...etc... Class Field''. NUL. Et probablement DEUX grosses c.nn.ries dans mes notes manuscrites. Et tout ceci est tellement de la dentelle que ce n'est pas possible de rapporter ce à quoi je pense dans un post. Si cela se trouve, j'ai confondu (?) $P_{K,1}(f)$ et $P_{K,\Z}(f)$ ! La honte. Mais si cela se trouve (bis), dans le terrain particulier de degré 3, ces deux objets sont égaux !

On devrait s'interdire de dire ``D'après Class Field Theory'' sans plus. C'est NUL (bis). Mais je suis susceptible de pointer des posts qui ne sont pas de moi où je vois l'utilisation de cette expression magique.

A propos de ton dernier post. Je comprends mais il faut distinguer, dans notre façon de procéder, entre ``construction explicite'' et ``détermination algorithmique''. Il y a de la dentelle.

Mais il y a quelque chose d'extrêmement positif là-dedans : cela montre que je ne suis pas clair d'où le besoin urgent de se calmer et de faire un retour en arrière. Il y a des pistes pour cela : par exemple, que fabrique Noah Snyder dans son chapitre 3 à propos de $X^3 - n$ in [pdfs.semanticscholar.org] ? Qui s'y connaît plus que nous et qui n'est pas pollué par la recherche de la fumette dans ce chapitre.

A propos de ``faire des petites choses''.
Une question vachement simple : $E/\Q$ non galoisienne de degré 3. Je ne suppose pas le discriminant de $\mathcal O_E$ négatif (car cela ajoute de la confusion provoquée par un besoin de fumette). Connais tu la FORME du $p$-Euler facteur de $\zeta_E/\zeta_\Q$ ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: L-séries (et autres délices) pour petits
l’an passé
avatar
@Claude : en plus on a dit y'a $2$ semaines qu'on devais pas essayé d'utiliser la théorie de ... grinning smiley

Pour la forme du $p$ facteur, oui oui c'est bon il y a trois cas (hors ramification)
$$
\frac{1}{1-T^2} \qquad \frac{1}{1+T+T^2} \qquad \frac{1}{1-2T+T^2}
$$
Le coefficient dominant du dénominateur c'est $1$ quand le discriminant est un carré modulo $p$ et $-1$ sinon ... enfin je pense que c'est ça, mais pour la FORME c'est ça.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 135 326, Messages: 1 304 820, Utilisateurs: 23 638.
Notre dernier utilisateur inscrit tia.


Ce forum
Discussions: 4 982, Messages: 60 335.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page