L-séries (et autres délices) pour petits

@gai requin
Je la remplace par une forme $\text{SL}_2(\Z)$-équivalente dont l'idéal associé est comaximal au conducteur $f$. Le coup du fameux $I_K(f)$ une fois que l'on a balancé la purée de $A_f$ à $\mathcal O_K$. C'est pour cela qu'entre autres, j'ai écrit CoprimeConductorForm. Avant de comprendre ce que se passe au dessus des anneaux quadratiques (corps des écoles et compagnie), y'a intérêt à bien connaître les anneaux quadratiques. Et quitte à insister, je dis que je n'étais pas assez clair. Et que parfois Cox fait trop de calculs et du coup on n'y comprend rien. Evidemment, je peux pointer des passages vachement précis.

La base doit être assurée si on veut aller plus haut. Il faut d'abord savoir faire ``des petites choses simples'' (c'est ma devise).

> q1 := Q![9,-3,40] ;
> q1bis := CoprimeConductorForm(q1) ;
> q1bis ;
<40,3,9>
> GtoU3(G!phi(ArtinMapLsurK(Ideal(q1bis)))) ;                  
j
> GtoU3(G!phi(ArtinMapLsurK(Ideal(q1)))) ;   

>> GtoU3(G!phi(ArtinMapLsurK(Ideal(q1)))) ;
                            ^
Runtime error in map application: Element is not in the codomain of the map

On voit que l'Artin Map refuse de manger un idéal non comaximal au conducteur. Et elle a bien raison. Car cela n'a pas de sens vu que son domaine de définition est $I_K(f)$.

@gai requin
Bien plus que représenter les mêmes entiers : elles sont $\text{SL}_2(\Z)$-équivalentes. Ainsi, les deux formes $(a, b, c)$ et $(a, -b,c)$ de même discriminant représentent les mêmes entiers MAIS ne sont pas en général $\text{SL}_2(\Z)$-équivalentes. Elles sont seulement $\text{GL}_2(\Z)$-équivalentes via le changement de variables $(x,y) \mapsto (x,-y)$.

Note : c'est parfois un peu plus complexe pour réaliser l'évitement. Ici, je veux éviter 6 (sans changer la classe de $\text{SL}_2(\Z)$-équivalence, bien sûr)

> a := 6 ; b := 17 ; c := 6 ;             
> D := b^2 - 4*a*c ;
> D ;
145
> q := BinaryQuadraticForms(D) ! [a,b,c] ;
> q ;
<6,17,6>
> CoprimeForm(q,6) ;                      
<29,-29,6>

Quant à genus et genera, je sais bien. Mais on croit voir une définition en 1.7 qui vient après le théorème 1.6. Encore que 1.7 n'est pas une définition. Ce que j'en pense : le gars recopie Cox et fait croire qu'il explique. Et bien pour moi, les 2 premières pages, c'est de la m.erde, un point c'est tout.


@flip flop
$j$ et $j^2$ sont indistinguables. On peut les permuter, cela ne change rien. Le vrai groupe qui intervient est le groupe 3-cyclique $\text{Gal}(L/K)$.

@flip flop
Hasse et la chose cubique : c'est dingue. Juste un exemple : soit $D$ un discriminant quadratique fondamental et
$$
r_3(D) = \dim_{\mathbb F_3} { \text{Cl} \Q(\sqrt D) \over 3\text{Cl} \Q(\sqrt D)}
$$
J'ai utilisé la notation additive pour le groupe des classes d'idéaux. Et bien figure toi que le nombre de classes d'isomorphie d'extensions cubiques non galoisiennes $E/\Q$ telles que $\text{Disc}(\mathcal O_E) = D$ est :
$$
{3^{r_3(D)} - 1 \over 2}
$$
Exemple $D = -3299$. C'est un discriminant quadratique fondamental et
$$
\text{Cl} \Q(\sqrt D) \simeq \Z/3\Z \times \Z/9\Z
$$
si bien que $r_3(D) = 2$ et qu'il y a $4 = (3^2 - 1)/2$ classes d'isomorphie d'extensions cubiques ...etc...

In https://matematicas.uniandes.edu.co/~gmantilla/pruebas.pdf

Et à ton avis, avec ces 4 extensions cubiques i.e. 4 polynômes de degré 3 ...etc.., il a fait quoi C.Q. ?

@flip flop
A propos de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1524614,1538420#msg-1538420

Pour $F = X^3 - 16X + 27$, $q_9, q_3$, ...etc.. tu as RAISON (tu fais ch.er).

Et, de manière générale, dès que l'on dispose du sous-groupe $H$ d'indice 3 de $\text{Cl}(D)$, le noyau de l'application d'Artin à valeurs dans le groupe 3-cyclique $\text{Gal}(L/H)$), alors
$$
2S_{\rho_2} = \sum_{Q \in H} (\Theta_Q - \Theta_{Q_1Q})
$$
pour n'importe quel $Q_1 \in \text{Cl}(D) \setminus H$. C'est VACHEMENT plus simple que ce que j'avais fait (tu fais ch.er, bis). Merci.

@flip flop
Dans le cas général, je n'ai PAS de méthode. C'est de la programmation vachement aidée par qui tu sais. Mais bien sûr, il a fallu que je mette les mains dans le cambouis car le résultat à produire est un peu plus compliqué que 1 + 1 ;
Je fais déterminer $\text{Cl}(D)$ puis le noyau de l'Artin-Map via les primitives ad-hoc (qui sont fragiles, on a accès aux sources et quand on y lit ``Only probabilistic ...etc...''). Je mets la main à la pâte pour l'évitement et d'autres bricoles.

Mais mes stratégies évoluent au fur et à mesure et se simplifient (par exemple, ce jour grâce à toi).

Dans le cas du degré 3, en ce qui concerne $\rho_2$, on a un énoncé assez précis par rapport à l'énoncé suivant :

Let $G_\Q$ the absolute Galois group over $\Q$ and $\rho : G_\Q \to \text{GL}_2(\C)$ be an odd Galois representation of dihedral type i.e. $\text{Im}(\rho)/Z(\text{Im}(\rho))$ is isomorphic to the dihedral group $D_n$ for some $n$. Here $Z(\quad)$ is the center of. Odd : $\det(\rho(c)) = -1$ where $c$ is the complex conjugation.

Then $\rho = \rho_f$ for some modular form $f \in S_1(N, \Psi)$ where $N$ is a level and $\Psi$ a Nebentypus.

Tu pourras le placer en famille ? Dans les salons mondains ?

@flip flop
A propos ce que tu aurais dit ou pas mais que de toutes façons, j'aurais entendu in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1524614,1538420#msg-1538420 et http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1524614,1538430#msg-1538430

Je confirme : soit $E$ un groupe abélien fini et $p$ premler. Alors $E/pE$ est un $\mathbb F_p$-espace vectoriel dont je note $r$ la dimension. Alors le nombre de sous-groupes de $E$ d'indice $p$ est $(p^r - 1)/(p-1)$. Justification : je note $\pi : E \twoheadrightarrow E/pE$ la surjection canonique. Si $H \subset E$ est d'indice $p$, alors $p(E/H) = 0$ i.e. $pE \subset H$ si bien que :
$$
\pi(H) = {H \over pE} \quad \hbox {est d'indice $p$ dans $E/pE$}
$$
Et réciproquement, par image réciproque ... I.e. autant de sous-groupes d'indice $p$ dans $E$ que de groupes d'indice $p$ dans le $\mathbb F_p$-espace vectoriel $E/pE$. Mais un tel sous-groupe de $E/pE$ n'est autre chose qu'un hyperplan (d'où l'utilisation de la lettre $H$). Mais dans un $\mathbb F_p$-espace vectoriel de dimension $r$, le nombre d'hyperplans (ou de droites, c'est pareil) est bien $(p^r - 1)/(p-1)$.

Et donc le $r_3(D)$ de Hasse, faut y penser comme tu l'as dit : le nombre de sous-groupes de $\text{Cl}(D)$ d'indice 3. J'ai vraiment la tête dans le guidon. Et comme $D$ est fondamental, le résultat de Hasse, c'est du Class-Field tout craché. Car il faut penser au compositum $L = EK$ avec $K = \Q(\sqrt D)$ et remplacer $E/\Q$ par $L/K$ qui est abélienne. Et grosso-modo, ce qui fait marcher le binz, c'est Class-Field (pas rien!) et le fait que $D$ soit un discriminant quadratique fondamental. Mais peut-être que tu l'avais dans ton cours, cet exemple ??


Autre chose : il paraît que tu aimes les $L$-séries ? Faut absolument que tu regardes le théorème 3 page 9 in http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/Qw2.pdf. L'égalité de $L$-séries, je pense qu'on aurait pu l'établir tous seuls (en trichant peut-être). Mais le papier de K. Conrad n'est pas self-contained. C'est ce qui va se passer après qui va être chaud. On a besoin du théorème de Dedekind sur la fonction $\zeta_K$ de Dedekind. Et on va finir par obtenir le Führerdiskriminantenproduktformel (l'égalité droite du corollaire, page suivante).

@flip flop
Un $\Z$-module $E$, c'est simplement un groupe abélien $(E, +)$ car ton $\Phi$ il ne sert à rien puisqu'il t'est imposé : $\Phi(m)$, c'est nécessairement la multiplication par $m$ (chose qui se déduit de la structure de groupe abélien de $E$).

Passant au premier point SANS formalisme (on verra plus tard avec formalisme, que je dis). Soit un groupe abélien $M$ tel que $pM = 0$ (on appliquera ce que je fais dire à $M = E/pE$). Je dis que $M$ se munit tout seul d'une structure de $\mathbb F_p$-espace vectoriel. De la manière suivante :
$$
\overline a.x = ax \qquad \hbox {$a \in \Z$, $\overline a$ classe de $a$ modulo $p$}
$$
C'est bien défini car $px = 0$. Et cela confère à $E$ une structure de $\mathbb F_p$-espace vectorieL

Si on veut formaliser un peu, autant le faire dans un cadre plus général. Soit $M$ un $A$-module ($A$ anneau commutatif unitaire) et $I$ un idéal de $A$ qui tue $M$ i.e. $IM = 0$. Alors $M$ se munit tout seul comme on le penss d'une structure de $A/I$-module. Comme on le pense :
$$
\overline a.x = ax \qquad \hbox {$a \in A$, $\overline a$ classe de $a$ modulo $I$}
$$
C'est bien défini car $IM = 0$ ...etc...

Bien sûr, on peut présenter les choses de manière bien plus formelle avec un morphisme d'anneaux $\rho : A \to \text{End}(E,+)$ qui va passer au quotient ...etc..

@flip flop
Et dans l'histoire $H = \langle q_9^3, q_3\rangle$, s'il y avait eu plusieurs polynômes $F$ parmi les 4 totalement décomposés modulo $p = 23$ ?

L'autre histoire (théorème 3 de K. Conrad). Je mets le contexte pour avoir NOS notations
$$
\xymatrix {
&L\ar@{-}[dl]_2 \ar@{-}[dd]^{S_3} \ar@{-}[dr]^3 \\
E\ar@{-}[dr]_3 && K\ar@{-}[dl]^2 \\
&\Q \\
}
$$
On est parti de $E/\Q$ NON galoisienne i.e. $\text{Disc}(\mathcal O_E)$ non carré, $L = E^{\rm gal}$ ...etc.. Il s'agit de démontrer :
$$
\zeta_L = \zeta_K \left( {\zeta_E \over \zeta_\Q} \right)^2 \qquad\qquad (\star)
$$
On a trois représentations irréductibles de $S_3$, 2 en dimension 1 (la triviale et la signature) et la dernière en dimension 2 (la représentation hyperplane)
$$
\varepsilon, \qquad \rho_1, \qquad \rho_2
$$
Et l'on a :
$$
\rho_K = \varepsilon \oplus \rho_1, \qquad\qquad
\rho_E = \varepsilon \oplus \rho_2, \qquad\qquad
\rho_L = \varepsilon \oplus \rho_1 \oplus 2\rho_2
\qquad \qquad (\blacksquare)
$$
Tout à droite, c'est parce que $\rho_L$ c'est la représentation régulière et on sait que toute représentation irréductible y figure avec la multiplicité égale à sa dimension.

Pourquoi K. Conrad invoque-t-il ``By Frobenius reciprocity'' ? Je zappe là-dessus pour l'instant car on peut pas affronter tous les trucs d'un coup.

Un petit coup de fonction $L-$ sur $(\blacksquare)$, en utlisant $L_{\rho \oplus \rho'} = L_\rho \times L_{\rho'}$, + un petit bricolage calculatoire (cf Conrad), et on on tombe sur $(\star)$.

OK ?

C'est, pour MOI, après que cela se corse.

Sauf si on est savant : si on est savant (c'est pas mon cas), on prend les conducteurs dans l'égalité $(\star)$ et on tombe sur Führerdiskriminantenproduktformel (l'égalité droite du corollaire, page suivante).

@flip flop
Tu as bien fait d'attirer mon attention sur $\rho_K$ car $K$ ne vérifie pas $K^{\rm gal} = L$, contrairement à notre cahier des charges de petits bébés. Du coup, je reviens en arrière avec le contexte suivant où $L/\Q$ est galoisienne de groupe $G$ et $E$ une extension intermédiaire à qui on ne demande PAS de vérifier $E^{\rm gal} = L$.
$$
\xymatrix {
L\ar@/_2pc/[dd]_G \ar@{-}[d] \\
E \ar@{-}[d]\\
\Q \\
}
$$
Je rappelle des choses de base (tant pis).

1) On dispose de la fonction de Dedekind $\zeta_E$ dont le job est de compter le nombre d'idéaux de $\mathcal O_E$ de norme donnée.
2) Le $p$-Euler facteur $Z_p(\zeta_E,T)$ raconte la factorisation de $p$ dans $\mathcal O_E$.
3) Le schéma $\mathcal O_E$ vu dans les $\mathbb F_{p^r}$, pour $p$ fixé et $r \ge 1$ variable, intervient car $Z_p(\zeta_E,T)$ est la fonction zeta (au sens de if the author is polite) de la suite $\left(N_{p^r}(\mathcal O_E)\right)_{r \ge 1}$. Au sens de ``if the author is polite'' signifie
$$
u = (u_r)_{r \ge 1} \longmapsto \hbox {fonction zeta de $u$} = Z_u(T) = \exp\left( \sum_{r \ge 1} {u_r\over r} T^r \right)
$$
Cela, c'est du passé.

Donc a priori, $\zeta_E$ se fiche de $(L, G)$. Mais en fait, NON. Car $(L,G)$ fait naître une représentation permutationnelle $\rho_{E,L}$ :
$$
\rho_{E,L} : G \times \text{Hom}(E, L) \longmapsto \text{Hom}(E, L)
$$
donc une $L$-série au sens d'Artin (dans laquelle le Frobenius de $p$ relativement au groupe de Galois $G$ joue un rôle primordial dans l'élaboration du $p$-Euler facteur). Et cette $L$-série c'est $\zeta_E$. Que $E$ vérifie $E^{\rm gal} = L$ ou pas. Si bien que $\zeta_E$ ne se fiche plus du tout de ce qui se passe au dessus de sa tête.

Et nous là dedans ? Toujours bébés certes mais plus tout-à-fait petits bébés. Et en grandissant, il faudra un jour ou l'autre prendre connaissance dans le cahier des charges, des $L$-fonctions d'Artin d'un machin nommé ``Artin $L$-function of an Induced Representation''.

Cf par exemple le théorème 2.2.1 (Artin) page 60 de la thèse de Noah Snyder in https://pdfs.semanticscholar.org/36c9/f39a44e13ec1a04cbc673e7d8c29ca5859f2.pdf. Et même tout le paragraphe 2.2.

Bien sûr, je n'ai PAS lu ce paragraphe 2.2. Mais cela ne m'empêche pas de parler de ...

On ne pourra pas toujours rester petis bébés.

Une remarque : pour échanger, c'est plus confortable d'avoir les mêmes notations. Lesquelles ? Les miennes, pardi : dans le contexte du degré 3, j'ai TOUJOURS utilisé les lettres $F$ (le polynôme de degré $3$), $E$ pour $\Q(x)$, $x$ pour racine de $F$, $L$ pour ...etc...

Et il convient d'être SUPER-précis et de rappeler le CONTEXTE exact, sinon on ne s'en sort pas. Super-précis : exemple, quand je dis que le $p$-Euler facteur de la fonction de Dedekind $\zeta_E$ d'un corps de nombres quelconque $E/\Q$ raconte la loi de factorisation de $p$ dans $\mathcal O_E$ (ce que j'ai dit à plusieurs reprises) et bien je d.c.nne. Cela raconte la loi de factorisation de $p$ dans $\mathcal O_E$, une fois l'inertie neutralisée. Ce ``une fois l'inertie neutralisée'', ce n'est pas du pinaillage.

@flip flop
A propos de tes deux derniers posts. Je veux faire quoi ? Calculer (dans le contexte du degré 3, avec mes notations habituelles, disons celles de ma note Fuhrerdiskriminantenproduktformel), le conducteur (au sens Class Field) de l'extension abélienne (3-cyclique) $L/K$ ? NON, car j'en suis incapable. Je sais que ce conducteur est $f\mathcal O_K$ comme on le voit dans l'annexe A de la thèse de Karim Belabas (c'est spécifique au degré 3, dans un cadre plus général, il y a des vacheries, cf une série d'exercices de Cox que j'ai déjà pointée dans ce fil, flemme de).

Je veux faire un truc plus simple : METTRE DE l'ORDRE. Je reviens donc en arrière sur plusieurs mois. Si, si. Par exemple, au fur et à mesure, j'ai tiré toutes tes notes, mais souvent pas de nom, pas de date, et pas terminées. ET je n'arrive pas à m'y retrouver (assez vite) dans mes propres notes. C'est devenu urgent.

Une des premières choses, c'est d'avoir des énoncés les plus élémentaires possible. Je reprends (fixette sur le degré 3). Voici mon dernier énoncé après l'avoir passé dans la moulinette ``mettre de l'ordre''.

Soit $E/\Q$ une extension de degré $3$ non galoisienne avec $D := \text{Disc}(\mathcal O_E) < 0$. POINT. Inutile d'introduire $K, f, L$ dans l'énoncé. Et d'aileurs, non galoisienne est de trop (c'est très rare qu'un entier strictement négatif soit un carré).

Cela c'est le contexte. Quel est l'énoncé ? Je note $\text{Cl}(D)$ le groupe des classes d'idéaux inversibles de l'unique anneau quadratique (imaginaire) de discriminant $D$. Ou encore $\text{Cl}(D) = \mathcal Q(D)/\text{SL}_2(\Z)$. Et bien, $E$ détermine un unique sous-groupe $H$ d'indice $3$ de $\text{Cl}(D)$, donc une partition en 3 classes (penser au résiduel cyclique d'ordre 3) :
$$
\text{Cl}(D) = H \vee H' \vee H'' \quad \hbox {avec}\quad H'' = H'^{-1}
$$
Et on alors :
$$
2S_{\rho_2} = 2\ \sum_{n \ge 1} a_nq^n = \sum_{Q \in H} \Theta_Q - \sum_{Q' \in H'} \Theta_{Q'} \qquad\qquad (\star)
$$
où $L_{\rho_2}$ est définie par :
$$
L_{\rho_2} = {\zeta_E \over \zeta_\Q} = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s} \qquad a_\bullet = \nu_E \star \mu
$$
Mais pourquoi faut-il sauter au plafond quand on voit $(\star)$? Il faut comprendre cela dit en notant $r_Q(n)$ le nombre de représentations de $n$ par $Q$ :
$$
2a_n = \sum_{Q \in H} r_{Q}(n) - \sum_{Q' \in H'} r_{Q'}(n)
$$
En particulier pour $n=p$ premier, en faisant intervenir le nombre de points du schéma $\mathcal O_E$ sur $\mathbb F_p$ :
$$
2 \big( N_p(\mathcal O_E) - 1 \big) = \sum_{Q \in H} r_{Q}(p) - \sum_{Q' \in H'} r_{Q'}(p)
$$
Et en réfléchissant bien au fait qu'un premier $p$ ne peut pas être représenté par deux formes distinctes sauf si elles sont inverses l'une de l'autre (et donc à droite, on a 4, 0 ou -2), on obtient par exemple :
$$
\hbox {$\mathcal O_E$ est totalement décomposé modulo $p$} \qquad \iff\quad
\hbox {$p$ est représenté par une forme de $H$}
$$
La preuve de tout cela ? I.e. d'abord de l'existence de $H$ ? Class field en introduisant $L, K,f$ ...etc.. Et la construction explicite de $H$ ? Faut pas rêver ... sauf si quelque chose est ancrée dans la structure de $E$ (par exemple la fameuse forme binaire cubique).

@flip flop

A propos des deux dernières lignes de mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1524614,1541694#msg-1541694. ``La preuve de tout cela ...etc... Class Field''. NUL. Et probablement DEUX grosses c.nn.ries dans mes notes manuscrites. Et tout ceci est tellement de la dentelle que ce n'est pas possible de rapporter ce à quoi je pense dans un post. Si cela se trouve, j'ai confondu (?) $P_{K,1}(f)$ et $P_{K,\Z}(f)$ ! La honte. Mais si cela se trouve (bis), dans le terrain particulier de degré 3, ces deux objets sont égaux !

On devrait s'interdire de dire ``D'après Class Field Theory'' sans plus. C'est NUL (bis). Mais je suis susceptible de pointer des posts qui ne sont pas de moi où je vois l'utilisation de cette expression magique.

A propos de ton dernier post. Je comprends mais il faut distinguer, dans notre façon de procéder, entre ``construction explicite'' et ``détermination algorithmique''. Il y a de la dentelle.

Mais il y a quelque chose d'extrêmement positif là-dedans : cela montre que je ne suis pas clair d'où le besoin urgent de se calmer et de faire un retour en arrière. Il y a des pistes pour cela : par exemple, que fabrique Noah Snyder dans son chapitre 3 à propos de $X^3 - n$ in https://pdfs.semanticscholar.org/36c9/f39a44e13ec1a04cbc673e7d8c29ca5859f2.pdf ? Qui s'y connaît plus que nous et qui n'est pas pollué par la recherche de la fumette dans ce chapitre.

A propos de ``faire des petites choses''.
Une question vachement simple : $E/\Q$ non galoisienne de degré 3. Je ne suppose pas le discriminant de $\mathcal O_E$ négatif (car cela ajoute de la confusion provoquée par un besoin de fumette). Connais tu la FORME du $p$-Euler facteur de $\zeta_E/\zeta_\Q$ ?

@flip flop
1) Dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1524614,1541822#msg-1541822, tu utilises le fait qu'une forme primitive (de discriminant négatif) représente un (certain) nombre premier. Comment le sais tu ? Est ce encore vrai pour une forme de discriminant positif ?

2) En ce qui concerne $\zeta_E/\zeta_\Q$ pour $E/\Q$ de degré 3 non galoisienne, peut-être que nous ne nous sommes pas compris. En notant $D = \text{Disc}(\mathcal O_E)$, sur mes notes manuscrites, il y a écrit :
$$
Z_p(\zeta_E/\zeta_\Q, T) = \cases {
{1 \over 1 - a_p T + \chi_D(p) T^2} & si $p$ n'est pas ramifié dans $E$ \cr
1 & si $p$ est totalement ramifié dans $E$ \cr
{1 \over 1 - T} & si $p$ est ramifié dans $E$ mais pas totalement\cr
}
$$
On est d'accord que $\zeta_E/\zeta_\Q$ c'est $L_{\rho_2}$ où $\rho_2$ est la représentation irréductible de dimension 2 de $\text{Gal}(L/\Q) \simeq S_3$ avec $L = E^{\rm gal.}$ ?

Et $a_p$, on le retrouve dans
$$
L_{\rho_2}(s) = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s}
$$
Et $a_p$ c'est aussi la trace de $\rho_2(\text{Frob}_p)$ où $\text{Frob_p} \in \text{Gal}(L/\Q)$ est ce à quoi on pense. Et $a_p$ c'est également $N_p(\mathcal O_E) - 1$.

Où est ce que je commets des erreurs ? Merci.

C'était juste pour dire la chose suivante : $a_p$ et le statut de $p$ (ramifié ou pas dans $E$ ...etc..) déterminent la suite $(a_{p^r})_{r \ge 1}$.


3) A propos de ``on avait dit que ..''. Bien d'accord. Mais j'avais pas prévu que .. Que quoi ? Qu'en revenant pour la $n$-ième fois sur $X^3-X-1$ et qu'en essayant d'en savoir plus sur la phrase de Serre ``Since $S_3$ is a dihedral group, Hecke’s theory applies and shows that ... is a cusp form of weight 1, level 23 with respect to the character $\chi_{-23}$'', que j'allais me mettre à écrire une $\Theta$-calculette. Et qu'on allait tomber sur les coefficients $\pm 1, 2$. Puis sur un sous-groupe d'indice 3 de $\text{Cl}(D)$, puis ...etc.. Et que voulant toucher un peu à la fumette, il y a le corps des écoles qui débarquait de nouveau. J'ai rien fait, moi, monsieur.