$\def \Cl{\text{Cl}}\def\OK{\mathcal O_K}\def\Disc{\text{Disc}}$
@flip flop
Je reprends encore une fois le contexte du fameux théorème 15 page 12 de Ernst Kani in [
www.mast.queensu.ca]
Let $\rho : \text{G}_\Q \to \text{GL}_2(\C)$ be a two-dimensional Galois representation with odd determinant and with dihedral image i.e. $\text{Im}(\rho) \simeq D_n$ for some $n \ge 2$ then ..etc...
Là, tu te dis : je suis peinard. Kani a mis la barre vachement haute, on va pas me faire ch.er avec des objets concrets, je n'aurais pas à écrire un programme pari qui .. (qui, la plupart du temps, ne fonctionne pas du premier coup) ..etc...
Eh bien détrompe toi. D'abord, un corps quadratique imaginaire $K$ est caché dans ces lignes. Eh bien, oui $\det(\rho)$ est un caractère quadratique (à ce qu'il paraît) et le corps des points fixes de $\det(\rho)$ est un corps quadratique imaginaire (because odd) $K$. Et d'une.
Et puis (toujours à ce qu'il paraît), une représentation galoisienne possède un conducteur, qui est un nombre entier $\ge 1$. Et ICI, ce conducteur est de la forme $f^2|\Disc(\OK)|$. Tiens donc.
Tu te doutes que l'on va poser $D = f^2 \Disc(\OK) < 0$. Eh bien oui. Et qui va débarquer ? Eh bien $K^{(D)}/K$, le corps des classes du sous-anneau quadratique de $K$ de discriminant $D$. Et également le groupe des classes $\Cl(D)$. Et un caractère $\chi$ d'ordre $n$ sur $\Cl(D)$ où $n$ est celui qui intervient dans $D_n$ (dihedral image).
Ainsi que des $\Theta$-séries de discriminant $D$ et la fameuse somme :
$$
{1 \over w_D} \sum_{q \in \Cl(D)} \chi(q) \Theta_q
$$
..etc...
On peut jamais être peinard.
Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par claude quitté.