L-séries (et autres délices) pour petits

@flip flop
Sorry j'ai mélangé 5 et 7. Et je me doutais bien, vu un certain de tes posts, que tu avais plus fin. Et c'est cela que je voulais te faire avouer. Je ne sais pas si tu délires ou pas (même si c'est le cas, c'est pas grave) mais cette fois on a quelque chose de précis à montrer ou infirmer.

Surtout, PRENDS TON TEMPS (une semaine s'il le faut, et même plus). De mon côté, mon pdf est au point mort, et ce, depuis plusieurs jours.

@flip flop
J'ai corrigé ma bourde 5 versus 7.

A propos de ton post [www.les-mathematiques.net].

Tu peux mettre $z$ en facteur commun pour les 4 cas. Je veux dire que l'on suppose que $p$ est un carré modulo $7$. Donc profitant du fait que $\mathcal O_K$ est principal où $K = \Q(\sqrt {-7})$, $p$ est une norme dans $\mathcal O_K$ disons $p = N(z)$. Et ensuite, on agit ..

C'est vraiment joli (en supposant qu'il n'y ait pas d'erreurs) et pour moi, cela vaut le coup d'être écrit noir sur blanc, avec des précisions, pas trop de f...tes, et pourquoi pas, pas du tout. Même si c'est un cas particulier ($D_{\rm fond} = -7$, $f = 5$). Car cela fait vivre les notions.

Claude : On "peut" généraliser sans trop de problème : changer un peu le modulus $5$, on prend un nombre premier $m=f$ qui est inerte dans $\Z[\omega_{-7}]$ (pour avoir un corps fini et profiter du fait que son groupe des unités est cyclique). On peut aussi changer l'anneau $\Z [ \omega_{-7}]$ mais prendre ceux qui sont principales (et faire attention aux unités de $\Z[ i]$ et $\Z[ j]$.

Je suis entrain de me faire un petit programme en pari

@Claude : Généralisation, il y a des petits problèmes ... because il y a une histoire d'ordre du élément dans un groupe (que j'ai neutralisé dans mon histoire). Il faut être plus précis ou faire un bidouillage. Je fais ce week-end, là deux journées de boulot.

@flip flop
Cela va peut-être être trop compliqué de généraliser ? Moi, je trouvais que $f^2 \times (-7)$ avec $f=5$, c'était déjà pas si mal. De toutes manières, rien ne presse.

De mon côté, j'ai fait un tout petit peu avancer mon FumetteViaDegre3.pdf
Et je me dis que l'on dispose d'une toute petite instance expérimentale d'un truc pas banal et que j'ai besoin de coucher des choses sur le papier.

Ne pas oublier que le théorème 15 de Kani dont je t'ai parlé un certain nombre de fois commence par :

Let $\rho : \text{G}_\Q \to \text{GL}_2(\C)$ be a two-dimensional Galois representation with odd determinant and with dihedral image i.e. $\text{Im}(\rho) \simeq D_n$ for some $n \ge 2$ then ..etc... Then quoi ? Et bien, c'est du genre : mon coco, si tu voulais un petit coup de fumette, tu vas être servi...

Je relis régulièrement la preuve, que je ne comprends pas évidemment. J'ai dû la lire 5 ou 6 fois. C'est un truc de dingue. Même quand tu particularises la chose à notre cas de bébé du degré 3. Il faut utiliser Bruckner (th 9.18 p. 191-192 dont j'ai dû te parler $x$ fois) mais Kani doit faire beaucoup beaucoup plus pour obtenir quelque chose de super-précis.

Et justement, en ce qui concerne le truc super-précis de Kani, on est MAINTENANT COUVERT par l'énoncé de Kani. Je disais souvent : on fait le pari que $L := E^{\rm gal} \subset K^{(D)}$ dans le cas où $E/\Q$ est cubique de discriminant $D < 0$. Ceci pour assurer que l'on a un ``caractère'' d'ordre 3 $\text{Cl}(D) \to \text{Gal}(L/K) \simeq C_3$. Mais si on lit bien l'énoncé de Kani, on voit que ça le fait.

Des dates que je ne comprends pas : Bruckner, cela date de 1966. Mais Hecke, cela doit être bien avant. La fumette n'avait pas la même teneur ??



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.

$\def \Cl{\text{Cl}}\def\OK{\mathcal O_K}\def\Disc{\text{Disc}}$
@flip flop
Je reprends encore une fois le contexte du fameux théorème 15 page 12 de Ernst Kani in [www.mast.queensu.ca]

Let $\rho : \text{G}_\Q \to \text{GL}_2(\C)$ be a two-dimensional Galois representation with odd determinant and with dihedral image i.e. $\text{Im}(\rho) \simeq D_n$ for some $n \ge 2$ then ..etc...

Là, tu te dis : je suis peinard. Kani a mis la barre vachement haute, on va pas me faire ch.er avec des objets concrets, je n'aurais pas à écrire un programme pari qui .. (qui, la plupart du temps, ne fonctionne pas du premier coup) ..etc...

Eh bien détrompe toi. D'abord, un corps quadratique imaginaire $K$ est caché dans ces lignes. Eh bien, oui $\det(\rho)$ est un caractère quadratique (à ce qu'il paraît) et le corps des points fixes de $\det(\rho)$ est un corps quadratique imaginaire (because odd) $K$. Et d'une.

Et puis (toujours à ce qu'il paraît), une représentation galoisienne possède un conducteur, qui est un nombre entier $\ge 1$. Et ICI, ce conducteur est de la forme $f^2|\Disc(\OK)|$. Tiens donc.

Tu te doutes que l'on va poser $D = f^2 \Disc(\OK) < 0$. Eh bien oui. Et qui va débarquer ? Eh bien $K^{(D)}/K$, le corps des classes du sous-anneau quadratique de $K$ de discriminant $D$. Et également le groupe des classes $\Cl(D)$. Et un caractère $\chi$ d'ordre $n$ sur $\Cl(D)$ où $n$ est celui qui intervient dans $D_n$ (dihedral image).

Ainsi que des $\Theta$-séries de discriminant $D$ et la fameuse somme :
$$
{1 \over w_D} \sum_{q \in \Cl(D)} \chi(q) \Theta_q
$$
..etc...

On peut jamais être peinard.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.

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