Olympiade du Maroc 2015

On peut montrer que $n$ doit être pair.

$n$ entier naturel.
$3^n-2^n=(5-2)^n-2^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 5^k (-2)^{n-k}-2^n=(-2)^n-2^n+5\times \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} 5^{k-1} (-2)^{n-k}$

Si $n$ est impair ce nombre n'est pas divisible par $5$ et pour qu'un nombre soit divisible par $2015$ il faut au moins qu'il soit divisible par $5$

On peut surement démontrer la même chose avec le calcul des congruences.

PS:

En effet, $3\equiv -2\mod{5}$ donc $3^n-2^n\equiv (-2)^n+2^n\mod{5}$

Bonjour,

$2015=5\times 13\times 31$.

$3^n \equiv 2^n \pmod {13}$ si et seulement si $n$ est divisible par $4$.
$3^n \equiv 2^n \pmod {31}$ si et seulement si $n$ est divisible par $30$.

Cordialement,

Rescassol

$13$ divise $2015$.

On peut travailler sur la périodicité de $2^n$ et $3^n$ modulo $13$.

D'après le petit théorème de Fermat on a:

$2^{12}\equiv 1\mod{13}$ et $3^{12}\equiv 1\mod{13}$

On peut vérifier que $2^n\mod{13}$ est de période $12$ tandis que $3^n\mod{13}$ est de période $3$

Les "valeurs" prises par $3^n\mod{13}$ sont $1,3,9$. $(n=0,1,2)$
C'est à dire que:
$3^n\equiv 1\mod{13}$ si et seulement si $n=3k$
$3^n\equiv 3\mod{13}$ si et seulement si $n=3k+1$
$3^n\equiv 9\mod{13}$ si et seulement si $n=3k+2$

Par ailleurs,

$2^n\equiv 1\mod{13}$ est équivalent à $n=12k'$ avec $k'$ entier naturel.
$2^n\equiv 3\mod{13}$ est équivalent à $n=12k'+4$ avec $k'$ entier naturel.
$2^n\equiv 9\mod{13}$ est équivalent à $n=12k'+8$ avec $k'$ entier naturel.

Donc,

Si $3^n-2^n$ est divisible par $13$ il existe $k,k'$ entiers naturels qui vérifient:

Ou bien,
$n=3k=12k'$ en particulier $n$ est divisible par $12$
Ou bien,
$n=3k+1=12k'+4$ en particulier $n=4(3m+1)$ avec $m$ entier naturel.
Ou bien,
$n=3k+2=12k'+8$ en particulier $n=4(3m+2)$ avec $m$ entier naturel.

Cela ne laisse plus beaucoup d'entiers $\leq 60$ qui conviennent.

hass hass, es-tu d'accord pour commencer qu'une congruence modulo $2015$ est équivalente à trois congruences modulo $5$, $13$ et $31$ ?

Ensuite, plutôt que comparer $3^n$ et $2^n$, il est peut-être plus rapide de calculer de comparer les puissances de $(3/2)^n$ à $1$ (les puissances d'un seul nombre au lieu de deux). Il faut calculer les inverses de $2$ modulo $5$, $13$ et $31$ (de tête : ce sont $3$, $6$ et $16$), calculer alors $3/2$ modulo $5$, $13$ et $31$ (de tête) puis les puissances de $3/2$ (à la main avec un papier). Modulo $5$, ça va très vite ; modulo $13$ (resp. $31$), il suffit de calculer pour les exposants qui divisent $12$ (resp. $30$). Pas besoin de gigaoctets, ça prend quelques minutes.