Somme de la fonction entière

Si on a quelques connaissances, on utilise généralement dans ce genre de problème la première fonction de Bernoulli $\psi(x) = x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2}$, de sorte que, si $S(x)$ désigne ta somme
\begin{eqnarray*}
S(x) &=& \sum_{n \leqslant \sqrt x} \left( \frac{x}{n} - \frac{1}{2} \right) - \sum_{n \leqslant \sqrt x} \psi \left( \frac{x}{n} \right) \\
&=& x \left( \log \sqrt x + \gamma - \frac{\psi(\sqrt x)}{\sqrt x} + O \left( \frac{1}{x} \right) \right) - \frac{\left \lfloor \sqrt x \right \rfloor}{2} + O \left( x^{131/416} (\log x)^{26947/8320} \right) \\
&=& x \left( \log \sqrt x + \gamma \right) - \sqrt x \left( \sqrt x - \left \lfloor \sqrt x \right \rfloor - \frac{1}{2} \right) - \frac{\left \lfloor \sqrt x \right \rfloor}{2} + O \left( x^{131/416} (\log x)^{26947/8320} \right) \\
&=& x \left( \log \sqrt x + \gamma - 1 \right) + \sqrt x \left \lfloor \sqrt x \right \rfloor + \frac{\left \{ \sqrt x \right \}}{2} + O \left( x^{131/416} (\log x)^{26947/8320} \right) \\
&=& x \left( \log \sqrt x + \gamma - 1 \right) + \sqrt x \left \lfloor \sqrt x \right \rfloor + O \left( x^{131/416} (\log x)^{26947/8320} \right)
\end{eqnarray*}
où j'ai utilisé le théorème d'Huxley (2003) pour estimer la dernière somme, et où $\{x\}$ désigne la partie fractionnaire de $x$. Ce calcul intervient dans l'ordre moyen de $\tau(n)$ puisque, via le principe de l'hyperbole de Dirichlet
$$\sum_{n \leqslant x} \tau(n) = 2 S(x) - \left \lfloor \sqrt x \right \rfloor^2.$$

Si tu veux une formule exacte c'est certainement sans espoir ! Si tu veux pouvoir faire le calcul pour certaines valeurs de $x$ il te suffit de prendre ton logiciel de calcul préféré et de rentrer la formule dedans.

a(n^2) est dans l'OEIS (A118014) mais sans formule.