Dérivée logarithmique

Hob___
Hob___
dans Arithmétique
Bonjour, j'aurais besoin d'un petit peu d'aide concernant un exercice. 625721Capturedcran20170914191025.png
On cherche à simplifier l'expression, je sens bien qu'il faut utiliser la dérivée logarithmique, également qu'il y a une simplification avec le 21, mais je ne parviens pas à le mettre réellement au clair. Pourriez-vous me donner quelques indications ?

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Dérivée logarithmique pour une somme finie de ce genre ? Drôle d'idée ! Ça ressemble plus à des sommes de racines de l'unité.
    Sage me susurre que le résultat est très simple.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    il m'étonnerait que le résultat soit simple car le dénominateur n'est pas simple

    tu tombes sur 3 fractions avec $tan(k\frac{\pi}{7})$ au dénominateur (k = 1, 2 et 3) qui ne se réduisent pas

    cordialement
  • Poirot
    Poirot
    Pourquoi ne pas passer par l'exponentielle complexe et tenter de reconnaître une somme de progression géométrique ?
  • jandri
    jandri
    Non seulement le résultat est simple mais il se généralise beaucoup car on peut simplifier:

    $S_n(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\sin\left(\dfrac{k\pi}n\right)}{\sin\left(\dfrac{k\pi}n+x\right)}$ défini pour $x\neq\dfrac{k\pi}n$ et $n\geq2$.
  • Guego
    Guego
    Je confirme l'affirmation de jandri : $S_n(x) = \dfrac{n\sin((n-1)x)}{\sin(nx)}$. En l'appliquant avec $n=7$ et $x=\dfrac{\pi}{3}$, on trouve $0$ pour la somme de l'énoncé d'origine.
  • jandri
    jandri
    Je ne me souviens pas avoir déjà rencontré cette formule.
    Pour la démontrer j'introduis le polynôme $Q_n$ défini par $\dfrac{\sin(nx)}{(\sin(x))^n}=Q_n(\cot(x))$.
  • Guego
    Guego
    Pour être franc, j'ai un peu triché B-)-
    J'ai simplifié à la main $S_n(x)$ pour $n=2,3,4$, et je suis tombé à chaque fois sur $\dfrac{n\sin((n-1)x)}{\sin(nx)}$. J'ai alors vérifié (avec l'aide de maple parce que les calculs deviennent lourds) que ça marchait encore pour $n=5,6,7,8$, et ça marche. J'imagine que c'est donc vrai tout le temps, mais je n'ai pas de démonstration générale.
  • jandri
    jandri
    Avec l'indication que j'ai donnée la démonstration n'est pas difficile.
    Il suffit de rechercher les racines de $Q_n$ et d'exprimer $S_n$ à l'aide de $Q_n$ et $Q_n'$.
  • Guego
    Guego
    Effectivement, ça marche. Joli exo qui mélange algèbre et trigo !
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