Démonstration à partir de chiffres.

UnSalsifi
UnSalsifi
dans Arithmétique
Bonjour à tous,
Je suis en terminale S spé maths et voici l'exercice sur lequel je bloque :
"Choisir un nombre N1 formé de deux chiffres distincts non consécutifs.Inverser les chiffres de N1 afin d'obtenir un nouveau nombre N2. Calculer |N1-N2|: le nombre trouvé est noté N3. Inverser les chiffres de N3 : on obtient ainsi un nombre N4. Calculer N3+N4. Expliquez le résultat trouvé"
Après avoir essayé plusieurs fois on trouve 99 à tous les coups donc j'ai remplacé les chiffres par a et b :
N1=ab=10a+b
N2=ba=10b+a
Donc N3=9a-9b (ce qui est logique je trouvait tous les temps des multiples de 9 à cette étape). Je sais aussi que N3 est inférieur ou égal à 81 mais cela ne m'avance à rien. Ce que je cherche donc à démontrer la est : "Chaque multiple de 9 compris en 9 et 81 additionné par l'inverse de ses chiffres donne 99". Je suis bloqué et j'ai besoin d'aide.


Merci d'avance ;)

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Attention, il y a des erreurs :

    "Donc N3=9a-9b" ?? "Calculer |N1-N2|" Tu n'as pas respecté la consigne.
    "Je sais aussi que N3 est supérieur ou égal à 81" ?? Pour N1=13, N2= 31 et N3=18. Qui est nettement inférieur à 81.

    D'autre part " deux chiffres distincts non consécutifs" fait que N3 ne peut ps être égal à 9.

    Une idée : comment sont les chiffres des multiples de 9 de 18 à 81 l'un par rapport à l'autre ?

    Cordialement.
  • UnSalsifi
    UnSalsifi
    j'ai corrigé le supérieur ou égal ce fut une faute de frappe
    Ensuite c'est 9b-9a mais bon au point ou j'en suis je pense pas que ce soit réellement ce qui va me débloquer.

    Le reste je vois pas bien ou vous voulez en venir?

    Cordialement
  • Fin de partie
    Fin de partie
    UnSalsifi a écrit:
    Ce que je cherche donc à démontrer la est : "Chaque multiple de 9 compris en 9 et 81 additionné par l'inverse de ses chiffres donne 99"

    S'il n'y a que ça pour terminer ta démonstration alors ce que tu demandes tu peux le faire toi-même.
    Il y a tellement de multiples de 9 compris entre 9 et 81?

    PS:
    Je ne sais pas si ta démarche est pertinente j'ai la flemme de me plonger dans ton exercice.
  • gerard0
    gerard0
    En général, ce qu'il y a à voir est connu quand on apprend les tables de multiplication !!
  • UnSalsifi
    UnSalsifi
    Il me faut une démonstration mathématique, et bien sur que j'ai compris le principe et que je connais ma table de 9, je demande seulement de l'aide pour la fin de ma démonstration (peut être que j'ai mal commencé j'en sais rien)
  • Poirot
    Poirot
    Écris ta table de multiplication de $9$, tu verras la solution te tomber dessus.
  • UnSalsifi
    UnSalsifi
    Mais je sais mais traduit cela avec des entiers naturels notés a et b et compris entre 0 et 9?
  • Poirot
    Poirot
    Ton nombre $N_3$ est un multiple de $9$ de deux chiffres. Si tu montres que pour tout multiple de $9$ à deux chiffres, sa somme avec son nom "inverse" fait $99$, tu auras prouvé ce que tu veux non ?
  • UnSalsifi
    UnSalsifi
    Comment je le montre?? Une phrase ca suffit pas.. C'est tout le sujet de mon post ;)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    UnSalsiFi:

    Combien y-a-t-il de nombres compris entre 9 et 81 qui sont des multiples de 9?
    (on n'apprend plus les tables de multiplication à l'école?)

    Par ailleurs, je te rappelle ta consigne:
    Consigne a écrit:
    "Choisir un nombre N1 formé de deux chiffres distincts non consécutifs
  • abstract
    abstract
    "Ce que je cherche donc à démontrer la est : Chaque multiple de 9 compris en 9 et 81 additionné par l'inverse de ses chiffres donne 99".

    N_3 = 9(a-b) .
    Puisque N_3 est divisible par 9, la somme de ses chiffres l'est aussi selon les critères de divisibilité.
    N_4 est donc aussi divisible par 9
    et on a
    N_3+N_4 = 9*Y = (10m+n)+(10n+m)=11(m+n)
    Donc 9*Y = 9*11 = 99
  • Poirot
    Poirot
    Pour la dernière fois, écris la liste des multiples de $9$ compris entre $9$ et $81$. Tu n'as qu'à vérifier que l'opération dont on parle donne bien $99$ dans tous les cas...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Si $10a+b=9a+(a+b)$ est divisible par $9$, alors $a+b$ est divisible par $9$. Avec $a$ compris entre $1$ et $8$ et $b$ entre $0$ et $9$, $a+b$ est forcément ...
  • UnSalsifi
    UnSalsifi
    Ecrire la table de 9 ne m'aide pas vraiment mais si vous voulez:
    9
    18
    27
    36
    45
    54
    63
    72
    81

    Je remarque que l'inverse des chiffres est un multiple de 9 (je le savais déjà) mais comment le démontrer? Une simple table de 9 je pense que ça suffit pas en terminale S.

    Pour en venir à ce que dit abstract : je ne comprends pas bien les deux dernières lignes mais ce que tu dis paraît juste. (m, n et Y c'est quoi exactement?)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    UnSalsifi:

    18+81=99
    27+72=99
    (...)
    81+18=99

    9 additions à faire !

    Une fois que tu as vérifié tous les cas possibles et que tu constates, avec calcul, que la propriété fonctionne c'est fini.

    En arithmétique on est souvent amené à traiter un nombre (pas trop grand) fini de cas pour achever un raisonnement (congruence par exemple).

    Ce que propose Abstract m'a l'air bien aussi.
  • Math Coss
    Math Coss
    Plagiat: on remarque que $10a+b=9a+(a+b)$ (et bien sûr $10b+a=9b+(a+b)$). Donc $10a+b$ est divisible par $9$ si et seulement si $a+b$ est divisible par $9$, si et seulement si $10b+a$ est divisible par $9$.
  • abstract
    abstract
    @UnSalsifi :
    "je ne comprends pas bien les deux dernières lignes mais ce que tu dis paraît juste. (m, n et Y c'est quoi exactement?)"

    1) Comme pour N_1 = 10a+b et N_2 = 10b+a, on peut écrire
    N_3 = 10m+n et N_4 = 10n+m

    2) Puisque N_4 est divisible par 9, alors N_4 = 9*X
    et N_3 + N_4 = 9( a-b + X)= 9*Y
  • UnSalsifi
    UnSalsifi
    Une simple démonstration avec des additions suffit pour cloturer mon raisonnement?
  • Poirot
    Poirot
    Bah oui, une fois que tu as montré que $N_3 \in \{9, 18, 27, \dots, 81\}$, si tu montres que pour chaque élément de cet ensemble, l'addition avec son "nombre inverse" fait $99$ tu auras bien prouvé que dans tous les cas tu tombes bien sur $99$. C'est clair non ?
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