Caractérisations du pgcd et du ppcm

mpsi_quatre
mpsi_quatre
dans Arithmétique
Bonjour

Soit $(a,a_1,a_2)\in\mathbb Z^3$. Comment est ce qu'on démontre la propriété $pgcd(aa_1,aa_2)=|a|pgcd(a_1,a_2)$ ?

Les caractérisations du pgcd que je connais sont :
- le pgcd de $x$ et $y$ est l'unique $d\in\mathbb N$ tel que $x\mathbb Z+y\mathbb Z=d\mathbb Z$
- le pgcd de $x$ et $y$ est le plus grand $d\in\mathbb N$ qui divise $x$ et $y$

Edit pour mémoire :

Caractérisations du pgcd : le pgcd de $x\in\mathbb Z$ et $y\in\mathbb Z$ est au choix :
- l'unique $d\in\mathbb N$ tel que $x\mathbb Z+y\mathbb Z=d\mathbb Z$
- l'unique $d\in\mathbb N$ tel que $Div(d)=Div(x,y)$
- le plus grand $d\in\mathbb N$ au sens de la divisibilité tel que $d$ divise $x$ et $y$

Caractérisations du ppcm : le ppcm de $x\in\mathbb Z$ et $y\in\mathbb Z$ est au choix :
- l'unique $m\in\mathbb N$ tel que $x\mathbb Z\cap y\mathbb Z=m\mathbb Z$
- l'unique $m\in\mathbb N$ tel que $Mul(m)=Mul(x,y)$
- le plus petit $m\in\mathbb N$ au sens de la divisibilité tel que $x$ divise $m$ et $y$ divise $m$.

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Le G dans PGCD signifie grand.

    Si d divise a et b tu penses que le pgcd de a,b n'est pas divisible par d?
  • mpsi_quatre
    mpsi_quatre
    Si mais je n'arrive pas à le montrer :)

    On suppose que $d$ divise $a$ et $b$. Il faut montrer que $d$ divise $pgcd(a,b)$ avec l'une de mes caracterisations...
  • mpsi_quatre
    mpsi_quatre
    On peut écrire $a=\alpha d=\alpha' pgcd(a,b)$ et $b=\beta d=\beta' pgcd(a,b)$ mais pour montrer que $d$ divise $pgcd(a,b)$...
  • Poirot
    Poirot
    On a donc $a=da'$ et $b=db'$ avec $a', b' \in \mathbb Z$. D'après ta première caractérisation, il existe $u, v \in \mathbb Z$ tels que $au+bv=pgcd(a,b)$. Je te laisse continuer.

    Sache que dans ta deuxième caractérisation, tu peux remplacer "plus grand" par "plus grand au sens de la divisibilité", ce que tu vas prouver d'ailleurs.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    J'ajouterais une autre caractérisation :
    - le pgcd de $x$ et de $y$ est l'unique $d\in \N$ tel que l'ensemble des diviseurs de $d$ est égal à l'ensemble des diviseurs communs de $x$ et $y$.
    À mon avis, c'est la meilleure caractérisation/définition.
    La deuxième caractérisation que tu donnes n'est pas tout à fait correcte : quel est le pgcd de $0$ et de $0$ ?

    Tu peux t'en servir pour démontrer l'égalité que tu cites (démontrer que $|a|\,\mathrm{pgcd}(a_1,a_2)$ divise $,\mathrm{pgcd}(aa_1,aa_2)$ et vice-versa).

    PS : si $k$ divise $x$ et $y$ et si $x\mathbb Z+y\mathbb Z=d\mathbb Z$, ne peux-tu pas en déduire que $k$ divise $d$ ?
  • mpsi_quatre
    mpsi_quatre
    J'ai réussi a montrer que ces caractérisations sont équivalentes :
    - le pgcd de $x$ et $y$ est l'unique $d\in\mathbb N$ tel que $x\mathbb Z+y\mathbb Z=d\mathbb Z$
    - le pgcd de $x$ et de $y$ est l'unique $d\in\mathbb N$ tel que $Div(d)=Div(x,y)$
    - le pgcd de $x$ et $y$ est le plus grand $d\in\mathbb N$ au sens de la divisibilité tel que $d$ divise $x$ et $y$

    Maintenant je reviens à la démonstration de $pgcd(aa1,aa2)=|a|pgcd(a_1,a_2)$
    J'arrive à montrer que $Div(|a|pgcd(a_1,a_2))=Div(aa_1,aa_2)$, ce qui suffit d'après la deuxième caractérisation, merci !
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