Théorème fondamental de l'arithmétique

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Ce qui compte c'est qu'il existe une partie $S \subset \mathcal P$, où $\mathcal P$ est l'ensemble des nombres premiers, telle que $$n = \prod_{p \in S} p^{\alpha(n)},$$ où $\alpha : S \to \mathbb N$. Comme $\emptyset \subset \mathcal P$, ça marche aussi pour $n=1$. Encore une fois ça n'a aucune importance, c'est juste une histoire de cohérence, mais l'essence même du théorème apparaît à partir de $2$.

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@NdT: d'accord, que si on met des propriétés suffisantes sur l'anneau, on n'a "évidemment" plus besoin de rien, puisqu'on a déjà mis "des hypothèses qui vont faire marcher le truc". Par contre, quand "on ne choisit pas l'anneau", je pense que c'est bien parce qu'on "a affaire à IN" (et ses potes***) que les choses marchent et IN c'est bien la partie de blabla qui vérifie la récurrence (du second ordre si tu veux).

Pour le dire autrement, un semi-anneau totalement ordonné comme IN quelconque n'offre pas grand chose (pas de noethérianité, etc).

Par contre, c'est vrai que les preuves sont indirectes, par exemple :-D on ne prouve pas la décomposition thématique de ce fil en passant "naivement" de n à n+1, peut-être est-ce ça que tu voulais dire?

*** les "corps de nombres" (définis à partir de IN).